第三章 第5节 探索规律 第2课时
授课人： 贾小波 课型：新授课
教学目标：
（1）能利用字母表示及其代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象．
（2）能综合所学知识解决实际问题和数学问题，发展学生应用数学的意识，培养学生的实践能力和创新意识．
2、过程与方法
（1）经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律的过程．
（2）在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象还有类比、转化等思维方法，发展学生抽象思维能力，培养学生良好的思维品质．
3、情感、态度与价值观
通过对实际问题中规律的探索，体验“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想，激发学生的探究热情和对数学的学习热情．
教学重点、难点：
重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律．
难点：用字母、符号表示一般规律．
教法与学法指导：
由于学生对生活中熟悉的日历及其简单图形的规律的探索，在学生的头脑中已经基本形成了探索规律的方法和技巧，为本节课的顺利完成做好了铺垫．虽然规律的发现相对较难，但学生完全可以通过“做数学”开展独立探索或小组合作学习完成学习任务．所以，本节课教师先从复习上节课学生感兴趣的几个规律入手，在引入到学生较为感兴趣的数字游戏，设置悬念，为学生提供了充分的探索规律的活动，让学生在经历符号化的过程后，进一步体会用字母表示数和用代数式表示规律的含义和方法，进一步体会“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想．本节内容具有较强的趣味性、挑战性和探索性，是一节极好的培养学生数学兴趣和爱好的数学活动课，更是一节培养学生学会研究数学问题的探究课．
课前准备：师：多媒体课件 生：棋子
教学过程：
一、复习回顾，引入新课
多媒体出示：
师：我们上节课研究了日历的哪些规律？
（生回答合理就应予以鼓励．）
设计意图：由此问学生复习加深日历的一些规律如3×3的正方形、2×2的正方形、H、N、M、W、I、X型等，并同时调动起了学生的积极性.
师：其实在我们周围的生活中存在着大量的数学信息，希望同学们做生活的有心人。下面我们来做一个数字游戏，只要你按照我说的去做，我就可以猜出你心中所想的的数，同学们信不信？（教师的情绪一定要高涨．）
生：不信．
师：（多媒体出示）请你任意想一个数，将这个数减去1后乘以2，再减去3，然后加上5，将最后的结果告诉老师.让老师猜猜你心中想的那个数是几？
（学生开始在心中默默计算．）
师：谁来试一试。
生：10
师：5
生：48
师：24
……
（学生诧异）
师：同学们一定想知道老师是怎么猜到的？这个游戏的奥秘在哪里？
（学生积极参与，跃跃欲试.）
[板书课题：3.5 探索与表达规律（2）]
设计意图：通过数字游戏创设问题情境，目的是让学生在玩中形成认知冲突，激发学生的学
习兴趣和探究欲望，为本节课作好情感、方法和思维铺垫，同时也让学生呼之欲出由“任意”想到“字母表示数”．结果是学生的情绪特别高涨，只是猜测推理有些慢，无从入手．
二、合作探究、展示交流
师：大家要想明白这个原理，我们先解决一下课本99页的这个数字游戏.请大家看大屏幕：（多媒体出示）
师：大家都在心里想一到两个两位数，按照上述规则计算一下，然后把你的结果告诉同位，互相猜测一下彼此心里所想的两位数，探讨一下你心里所想先后两数之间它们有什么关系？你会有什么发现吗？
生：动起来，而且气氛有些活跃.
师：你能用语言描述你的发现吗？
生：经过探讨后得出：结果为原两位数与15的和.
师：你能用字母表示并借助代数式运算解释其中的道理吗？
（生分组讨论后展示）
生：用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b，则5(2a+3)+b=10a+b+15.
生：规律：结果为原两位数与15的和.
生：原来这么简单！（有的同学开始叫出来）
设计意图：一是给学生自主探究的时间和空间，让学生学会独立思考问题的习惯，再次经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感.二是给学生交流表达的机会，让学生明确说理的方法和技巧，并能对简单的规律进行解释.虽然刚开始学生无从入手，一旦老师开了头学生立马明确了方向.
师：大家不是认为这个游戏简单吗，那么请大家自己解决刚开始老师说的那个数字游戏，可以讨论.
（生分组讨论后很快找到规律，并展示）
生：可以设这个数为a，则可得：2(a-1)-3+5=2a-2-3+5=2a.
设计意图：趁着学生情绪高涨，趁热打铁很容易就解决了这个数字游戏，并且加深了学生的理解和记忆.
师：你能设计类似的数字游戏并解释其中的道理吗？
要求生以小组为单位设计游戏，鼓励学生大胆设想，也可猜年龄和电话号码等.
小组1：（小组长展示）我们由1号学生随便想一个两位数，将十位数字加上5，然后乘以10，再把所得新数减去50，最后把得到的新数加上个位数字.最后将结果告诉我们，我们就知道1号学生心里想的两位数了，结果还是原数.
原理是：（小组长在黑板写下式子）用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b，则10(a+5)-50+b=10a+50-50+b=10a+b.
小组2：（3号学生展示）我们是由4号学生随便想一个数，并将此数字乘以2加3，然后乘以5减5，最后再除以10.最后告诉我们结果，我们很轻松就知道同伴所想的数了，结果比原数大1.
原理是：（3号学生在黑板写下式子）用a表示这个数，则
［5(2 a +3)-5］÷10=（10 a +15-5）÷10=（10 a +10）÷10=a+1
小组3：（1号学生展示）我们设计的是猜电话号码游戏，就是我设计的：1、2位是3 的5倍，3、4位是3 的32倍，5、6、7位是445，8、9位是3 的25倍，10、11位是3 的27倍多1.结果大家很容易猜出来了是15964457582.是您的号码.
原理是：（1号学生在黑板开始计算）1、2位是3×5=15，3、4位是3×32=96，5、6、7位是445，8、9位是3×25=75倍，10、11位是3×27+1=82，所以是15964467582.
（由于是数学老师的电话号码，游戏又比较容易，小组3的展示惹得下面学生哈哈大笑，不过课堂气氛变得更融洽了.）
设计意图：这个设计数字游戏具有较强的开放性，同时又体现了设计过程是解释过程的逆向思维——往往需要先设计好代数式及其简化结果，再由此赋予鲜活的背景。所以有利于培养学生的创造性思维和创新意识.再者活跃了课堂气氛，激发了学生的求知欲，并巩固新知.三是通过学生合作、交流、展示表达，提高了学生的综合能力.
三、训练反馈、应用提升
师：下面大家再跟着老师做两个数字游戏.
1.P100随堂练习，摆棋子游戏.（多媒体出示）
有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚. 从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并解释其中的道理.
生：情绪激动，跃跃欲试.（生每个桌上有课前准备的棋子.）
师：请每位同学们自己动手试试，找出其中奥妙.
生：很快发现无论开始每堆摆几枚，只要数目相等，按规则取拿之后，结果中堆的棋子数都是10，也就是说结果与你开始摆的棋子数目无关.
小组代表：列代数式、进行代数式运算，验证规律，解开游戏的奥秘：
第一堆 第二堆 第三堆
第一步 分发三堆数目相同的棋子 a a a
第二步 从左堆中取出3枚放入中堆 a-3 a+3 a
第三步 从右堆取出4枚放入中堆 a-3 a+3+4 a-4
第四步 从中堆取出与左堆剩余棋子 a-3 (a+3+4)-(a-3)=10 a-4
数目相等的棋子放入左堆
设计意图：通过玩这个游戏，课堂气氛空前的热烈，都在积极地活动.同时通过合作学习，锻炼了学生的合作意识，促进了学生发散思维的形成.
2.（多媒体出示）破译密码 L dp d vwxghqw. 你能看出这些字母代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x-3，联想英文字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它.
（答案：英文字母表中，字母是按以下顺序排列的：
a b c d e f g h I j k l m n o p r s t u v w x y z
如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x-3可能代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有：
L dp d vwxghqw. 变成 I am a student.
这样，就能解读它的意思了.）
3.你能否自己设计一个类似的密码游戏呢？
设计意图：通过游戏调动学生的积极性，并巩固和应用新知.效果还是不错的.
四、课堂小结，反思提升
师：请同学们谈谈学习本节课的收获和体会，包括基本知识和基本方法.请用自己的语言表述.
生：学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述，达到了预期的目的.
设计意图：让学生自己回顾本节课的主要内容，促进学生由“被动状态”向相应的“主动状态”转变，让学生准确全面的表述自己的观点，既巩固了新知又培养了及时归纳总结的习惯.
五、布置作业，拓展延伸
必做题：1.课本第100页，习题3.1 第1题.
2.小强：“在你心里想好一个数，按照下列步骤进行运算：把这个数乘4，然后加8，再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把得到的数乘5.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数了.”同学们试了几次，小强都猜对了.你知道这是为什么吗？
选做题：（多媒体出示）
美国学生的怪题
蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持，图一个“乐善好施”的好名声，决定施舍每个男人1美元，每个女人40美分（1美元等于100美分）.为了不使他花费过多，这位陛下盘算来盘算去，最后想出了一个妙法，决定将他的直升机于正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚，在那个时刻，村庄里有60％的男人都外出打猎去了.该村庄里共有成年人口3085人，儿童忽略不计，女性比男性多.请问，这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱？
（答案：山村里究竟有多少男人，多少女人，题中没有说明，条件残缺不全，这道题能做吗？
假定村庄里有l000个男人．那么因为60％的男人都打猎去了，所以国工只能碰到400个男人，再加上料理家务的2085个女人，所以国王施舍的钱应当是1×400＋0.4×2085=400+834=1234（美元）.如果村庄里只有500个男人，那么国王能碰到的男人只有500×（1-0.6）=200（人），他的开销应是1×200＋0.4×2585=1234（美元）.假定这个村庄里一个男人也没有，国王碰到的全是女人，他的施舍支出竟然还是1234美元！三种情况下所得答数竟然完全一样！
听说这道题出自一位著名数学教育家之手.美国的孩子很喜欢做这一类刁钻古怪的开放性问题.
这真是一道怪题！试试看用代数方法能不能揭穿这道题的怪异之处.设村庄里有男人x人，那么女人有（3085-x）人，国工施舍的钱数为：（1-0.6）x＋0.4（3085-x）=0.4x＋1234-0.4x=1234（美元）.原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关！）
设计意图：再次调动学生的积极性和，激发学生后续学习的求知欲.
板书设计
3. 5 探索与表达规律（2）
日历中的规律．
3×3的正方形、2×2的正方形
H、N、M、W、I、X型
数字游戏：
学生展示区
教学反思
本节课说是带领学生做数字游戏，其实就是探索数字规律．几个问题的设置确确实实带动了学生的积极性，课堂气氛热烈，时常有精彩的表现，出现欲罢不能的场面．尤其在谈本节课的收获与体会时，同学们畅所欲言，一位平时数学成绩较差的同学谈到：过去认为数学枯燥、乏味，没想到数学原来如此有趣．有的学生发出感叹：生活中处处有数学．不过关键是教师要指导学生如何入手，学生一旦明确方法，积极性和解题速度就上来了，且小组间探讨情绪高涨．可以说是一节较好地体现了以生为本的新理念和“动手实践、自主探索、合作交流”新要求的课．
需要注意的：课堂气氛一旦热烈，容易失控，教师要适时把握课堂情绪可时间，否则完不成预定的教学任务．不要为了完成教学任务而加快教学速度，急于给出结论，让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．
在今后的教学中要恰到好处地给足学生的时间和空间，给他们“做数学”的过程，让他们亲身经历实践、观察、猜想、归纳、验证、交流的过程，并在此过程中鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的经验，激发学生的学习热情．
课件20张PPT。3.5探索与表达规律江西省萍乡市第四中学
执教人：贾小波
2015 年 1 月 请观察日历图，说出横排相邻两数和竖列相邻两数之间有什么规律？探究活动一横排相邻两数总是相差1，竖列相邻两数总是相差7。下面是2013年10月份的日历图，请认真观察，并解决以下几个问题：
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什
么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这
个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数
式表示。探究二：（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？9个数之和为90
90=10×9（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？789141516212223112341018172027281329成 立你能用代数式表示这个关系吗？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？成立 设正中间的数为a,这九个数可以表示为： 将这九个数相加，正好等于9a 。 利用字母表示数与运算，可从一般角度来验证所发现的规律。 (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。你能发现哪些规律？ 探究三：想一想（1）如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？ 如果改为H形框呢？（2）你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？作业1．P98 随堂练习
2．P99 T1 T2观察是智慧的眼睛；
猜想是创新的翅膀；
验证是成功的灵魂。
带上这三件宝，一定能助你在数学王国
纵横经纬，驰骋天地。我的QQ：419162570结束寄语感谢大家！祝大家身体健康，万事如意！请多多指教！ 这样的方框中的9个数之和能等于100吗？
能等于180吗？270呢？猜猜看下面是用棋子摆成的“小房子”思考题：5111723596n-129AB教学目标：1.通过探索数量关系，会用代数式表示规律，并通过运算验证规律。
2.在活动中发展观察、发现、合作、动手、创新、交流等能力，认识探索规律的必要性，激发探究热情，并提高我们分析问题
和解决问题的能力，同时体验数学学习的
乐趣。1、探索规律的一般步骤：猜 想 规 律表 示 规 律验 证 规 律具 体 问 题观 察 特 例成立得出结论头 回新 重索 探2、谈谈本节课你的收获？2. 如下图,现有两种方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可各坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
若你是 一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你会选择上面哪种餐桌的摆法？摆放方法一：摆放方法二：1. P99习题T2作业：课件14张PPT。第三章 整式及其加减5.探 索与表达 规 律 (二)
请你任意想一个数,将这个数减去1后乘以2,再减去3,然后加上5,将最后的结果告诉老师.
让老师猜猜你心中想的那个数是几？ 一、数字游戏1.如果长方形的长为m,宽为n,则长方形的周长为 ,面积为 .2.若圆的半径为 ,则其面积为 ，周长为 .3.若长方体的长宽高分别为a，b，c，则其体积表示为 .4.用字母表示运算律：
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：a+b=b+aa+b+c=a+(b+c)ab=baabc=a(bc)a(b+c)=ab+ac二、回顾旧知2（m+n）mnr∏r22∏rabc 形如2（m+n）,mn，∏ r2 ， 2∏r， abc，a+b，ab+ac这样的式子.即用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．二、回顾旧知代数式: 单独的一个数字和字母也叫代数式.单独的一个数或者字母也是代数式，如：５，∏，a等.注意：二、回顾旧知列代数式要注意以下几点:1.数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；如2×a写作2a，a×b写作ab， 2×(a+b)或（a+b）×2写作2(a+b)．2.数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；如4÷a写作 .3.如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数；如 .三、探索新知 小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘
以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到
的新数加上个位数字,把你的结果告诉我，我就知道
你心里想的两位数.
小亮：怎么知道的呢?三、探索新知要求：同桌两人分工进行.为什么呢？规律：结果为原两位数与15的和.三、探索新知你发现的规律是什么？ 如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 ,则可得：5（2a+3）+b=10a+b+15 10a+b三、探索新知 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数; 这些和有什么规律？
你们组能发现并验证这个规律吗?
1.任意写出一个两位数;3.求这两个数的和 .三、探索新知要求：
1.请解决本节课最初的游戏问题；
2.以小组为单位，设计类似的数字游戏并解释其中的道理 .1.基本方法： 2.基本思想：四、归纳提炼五、扩展延伸 一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各
位数字的和能不能被3整除，这是为什么？四位数能
否被3整除是否也有这样的规律？你还能得到哪些结
论？布置作业随堂练习与问题解决谢谢各位，
再见！ 3.5探索规律（第1课时）
江西省萍乡市第四中学 贾小波
一、教学内容分析：
初中阶段的数学学习主要是培养学生的思维能力、发展学生的智力。本节课内容是在学生学习了“用字母表示数”、“代数式”、“整式的加减”等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，对学生体会数学建模具有重要的作用。它是“字母表示数”的一个重要内容，探索规律往往是对事物进行一般化表示的首要工作，同时也是抽象地分析数学对象的开始，是今后学习方程、函数等内容的基础。本课时是让学生在提供背景下寻找不同的规律，感受规律的多样性，进而用字母表示并借助运算验证一般规律。
二、教学目标
（一）知识和技能
1.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
2.培养学生的观察能力，动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.经历探索数量关系，运用代数式表示规律，通过运算验证规律的过程。
2.经过自主探索与合作交流，解决与生活经验密切联系的问题。
（三）情感、态度与价值观
数学知识来源于生活，体会数学就在身边，在活动中发展观察、发现、合作、交流等能力，认识探索规律的必要性，激发探究热情；体验数学活动的探索性与创造性，培养学生实事求是的科学态度；体验数学学习的乐趣。
三、教学重点：学会探索数量关系，会用代数式表示规律
教学难点：探索规律的方法
四、教学方法：启发引导，尝试探索，交流讨论，让学生做小老师，学生教会学生，力争让每位学生的个性得以张扬。
五、教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
一、
创
设
情
境
引
入
新
课
一、创设情境，引入新课
首先请同学们认真观察手中的日历图，然后请你任意圈出同一横排或同一竖列上相邻的三个数，把它们的和告诉我，我就能猜出你圈出来的是哪三个日期。
学生观察日历图，圈出日期，老师来猜。
游戏激趣，引出课题，提供能够吸引学生且富有相应数学内涵的游戏，让学生在做游戏的过程中从事探索性活动。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
二、
自
主
探
究
合
作
交
流
二、建立模型，探索发现，表达规律
（一）活动一：请同学们认真观察手中的日历图，说出横排相邻两数和竖列相邻两数之间的规律。
（二）活动二：做一做，日历问题
下面是2013年10月份的日历图：
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1.日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数是什么关系？
2.这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
3.这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
4.你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
（三）活动三：想一想
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1.如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为H形框呢？
2.你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
教师用投影给出日历图和问题串。先鼓励每个学生尽可能独立思考，然后引导学生小组合作，积极探索。
鼓励学生用不同的思维方式，可以有不同的方法，最后得出最佳方案。
学生通过独立思考、小组讨论等方式发现和探索其中的规律，经历观察、猜想、发现、归纳和验证等步骤，用代数式表示出规律，并交流表述。
1.让学生经历从特殊到一般再到特殊的认知过程。通过观察、探讨、归纳总结表达规律是这一环节的主要目的。
2.从具体问题出发，让学生尝试获得解决问题的方法，为下一问题的引入做铺垫，由浅入深，层层深入，符合学生的思维习惯。
3.开放性问题的设置，给学生留下了充分而广阔的空间，进一步培养学生的创新能力和乐于探索，勤于思考的好习惯。也有助于学生问题提出意识的培养。
4.同时也给学生提供了一个充分表达自己想法的机会，培养学生的语言表达能力。
5.在动手操作过程中培养学生动手动脑学数学的良好习惯。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
三、
感
悟
和
收
获
三、课堂小结
放手交给学生，让学生畅所欲言，相互交流补充，学生给学生解答问题，最后总结：
1.探索规律的主要过程：
特殊——一般——特殊
2.探索规律的一般步骤：
（1）观察特例
（2）猜想规律
（3）表示规律
（4）验证规律
教师引导
学生自己总结并表达出来
让学生回顾梳理本节课的内容，掌握探索规律的方法，使他们的思维能力逐步得以升华。
四、
应
用
与
拓
展
四、请同学们按座位进行编号。
1.看谁能快速说出你的前、后、左、右4位同学的编号。
2.看谁能快速说出你所在这一竖列所有同学的编号。
3.要是也用3×3的方框框住在座的9位同学，他们的编号之间还存在这样的规律吗？
老师提出问题，学生思考回答。
进一步将这个规律一般化，从而得到拓展与延伸。
五、
作
业
布
置
五、作业：课本P98随堂练习
P99T1 T2
