甘肃省兰州市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·兰州） 下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
2．（2025·兰州） 计算：（ ）
A．6 B． C． D．1
3．（2025·兰州） 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（ ）
A．26° B．30° C．36° D．54°
4．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
5．（2025·兰州） 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
6．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2025·兰州） 若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
8．（2025·兰州） 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·兰州） 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·兰州） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（ ）
A．95° B．100° C．110° D．145°
11．（2025·兰州） 如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（2025·兰州）因式分解：2x2+4x+2= 。
13．（2025·兰州） 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩（单位：环） 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
14．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ ．
15．（2025·兰州） 如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·兰州）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
17．（2025·兰州）解方程：．
18．（2025·兰州）解不等式组：．
19．（2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
20．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
21．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
22．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
23．（2025·兰州）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中a＝ ，b＝ ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
24．（2025·兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cos∠AEC，求OD的长．
25．（2025·兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．
（1）【解决问题】小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展问题】小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．
26．（2025·兰州）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵
∴ 最小的数是 -2
故答案为：A .
【分析】根据有理数比较大小法则：负数小于0小于正数，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的乘法法则，计算即可解答.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵ 集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高
∴
∵正午太阳光线与水平面的夹角β为54°
∴ α=
故答案为：C .
【分析】根据题意光能利用率最高即满足，再利用α=计算即可解答.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
5．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，
∴图2中∠ABC=90+60=150
故答案为：D .
【分析】观察图形发现图2中∠ABC由一个正三角形的内角和一个正方形的内角组成，再根据正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，计算即可解答.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1 =22=1 ；y2 =2-2=-1
∴y1＞y2
故答案为：C .
【分析】根据点在图像上可得：把点A（2，y1）与B（﹣2，y2）代入函数解析式计算即可判断大小，由此解答即可.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将所有结果列表格如下：
a e i
d da de di
t ta te ti
l la le li
所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为.
故答案为：A .
【分析】先用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可解答.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得：
故答案为：A .
【分析】设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，由两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格可得2x+y-10000=；由一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格得到10000-（x+2y）=，由此可得解答即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC= 90°，
∵∠ADB=35°，
∴∠CBD=∠ADB= 35°，
∵∠ABC= 90°， P为EF的中点，
∴PB= PF=EF，
∴∠CBD=∠PFB= 35°，
∴∠BPF= 180°- 35°- 35° = 110°，
∴∠DPE=∠BPF= 110°，
故答案为：C .
【分析】根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB = 35°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得PB= PF，进而得到∠CBD=∠PFB= 35°，再利用三角形内角和定理以及对顶角相等，即可解答.
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
∵正方形ABCD中，AB = 2cm，
∴AB= BC= CD= DA = 2cm，
∴AC=AD=AB= 2cm， ，
∴OC=OA=AC=cm， .
当点P在OA上运动时，由题意得CQ = x，CP=OC+OP= +x，
如图1，
作PG⊥CD于点G，
∵∠PCG = 45°，
∴CG=PG==x+1
∴y=是二次函数；
当点P在AB上运动时，如图2，
由题意得CQ = x，
∴y=是一次函数；
故答案为：D .
【分析】当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x，CP=OC+OP=+x，作PG⊥CD于点G，求得CG= PG=x+1，利用y=列式计算即可解答；当点P在AB上运动时，利用三角形面积公式求解即可解答.
12．【答案】2（x+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2+2x+1）=2(x+1)2.
故答案为：2(x+1)2.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可.
13．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
∵方差越大，成绩越不稳定，
∴新手是甲.
故答案为：甲 .
【分析】由表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，根据方差越大，成绩越不稳定；由此即可判断新手是甲，解答即可.
14．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=x4=2，
∴AE=BE=x2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形ABCD中，且AD=2，
∴AB=-1，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF=BF=AB=-1.
∴PC=ED=2-(-1)=3-.
∵四边形FGHC是正方形，
∴GF=GH=HC=FC=3-，
∴CD=AB=-1，
∴HD=CD- CH=(-1)(3-)=2-4，
∵四边形LKDH是正方形，
∴LH=HD=2-4.
∴“黄金螺线” AFHK的长为： =
=
故答案为： .
【分析】先根据黄金矩形ABCD中且AD=2，求出AB=-1，进而求出GF =GH=HC=FC=3-，LH=HD=2-4， 再根据弧长公式l=即可求出“黄金螺线”AFHK的长，由此即可解答.
16．【答案】解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式得到 （a+2）（a﹣2）=a2﹣4，再算单项式乘以多项式得到 a（3﹣a） =3a﹣a2，最后进行加减运算即可解答.
17．【答案】解：原方程去分母得：3x＝2x+2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母解得x＝2，再检验即可解答.
18．【答案】解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解每一个不等式分别得到x＜5，x＞3，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可解答．
19．【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答；
（2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答.
20．【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
21．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
22．【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
23．【答案】（1）100；40；35
（2）C
（3）解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】
解：（1）由题意可得，1414%=100 (个)
a= 100x40%=40，b=100-5-14-40-6=35，
故答案为： 100，40，35
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数： 5+14+40= 59 ，
所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为： C
【分析】
(1)根据B类的数14除以对应的白分比14%即可求出总数，再根据对应的白分比和总量减部分即可求出答案；
(2)根据中位数的定义：偶数个数据的中位数是将数据从小到大排列后，第50和51个数据的平均数进行计算即可解答；
(3)根据选取样本的特点进行分析即可解答.
24．【答案】（1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC；
（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，
∴cos∠ADB＝cos∠AEC，
在Rt△ABD中，∵cos∠ADB，
∴设BDx，AD＝3x，
∴AB2x，
即2x＝4，
解得x＝2，
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2，
∴OD2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；余角；余弦的概念
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠ABD＝90°，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可根据同角的余角相等得到∠ADB＝∠ABC，再结合已知条件即可解答；
（2）由（1）的条件转化得到cos∠ADB＝cos∠AEC，根据余弦的定义可设设BDx，AD＝3x，利用勾股定理得到AB=2x；再根据AB=4，计算即可得到x，在由勾股定理计算即可解答.
25．【答案】（1）解：，理由如下，
如图3，当点G，H重合时，
∵正方形ABCD与正方形BEFG，
∴AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，
∴EH，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∴；
（2）解：，理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BCH＝∠MAB，
在AE上截取AM＝CH，
∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，
∴△MAB≌△HCB（SAS），
∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，
∵∠HBG＝90°﹣∠CBH﹣∠EBC，∠EBM＝90°﹣∠MBA﹣∠EBC，
∴∠HBG＝∠EBM，
∴∠MBH＝∠EBM+∠EBC+∠CBH＝∠HBG+∠EBC+∠CBH＝∠EBG＝90°，
∴△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵AH＝AM+MH，
∴；
（3），
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】
解：（3），理由如下，由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB，
在CG上截取CM＝AH，
∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，
同理，△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵CH＝CM+MH，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)利用正方形的性质得到EH，即可利用SAS证明△ABE≌△CBG，从而得出AE'=CG，根据AH=AE+EH，解答即可：
(2)在AE上截取AM =CH，利用SAS证明△MAB≌△HCB，推出∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，通过角度的和差运算即可证明△MBH是等腰直角三角形，从而得到，根据AH = AM + MH，解答即可；
(3)在CG上截收CM = AH，利用SAS证明△ABH≌△CBM，得到BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，同理得到
△MBH是等腰直角三角形，求得，根据CH = CM+ MH，解答即可.
26．【答案】（1）P1（﹣1，0）
（2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）﹣2≤t≤2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角的运算；切线的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：（1）当A，N重合时，P关于ON(即OA)的对称点为(0，-1)，在线段AB上
∴P1(-1，0)是图W1的“映射点”：
而P2(1，2)关于ON的对称点不在AB上，则P2(1，2)不是图W的“映射点”；
故答案为： P1(-1，0).
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当P为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
故答案为：﹣2≤t≤2．
【分析】(1)根据定义，观察 P1（﹣1，0），P2（1，2） ， 经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解：
(2)根据正方形的顶点到O的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得b的最大值，将D(-1，1)代入y=x+b得，1=-1+b，计算即可求解；
(3)根据新定义，找到临界值，ON，OP'分别为⊙T的切线情形，求得OT＝2，再根据当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即⊙T的内部，再根据对称性求得t的另一个范围，解答即可.
1 / 1甘肃省兰州市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·兰州） 下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵
∴ 最小的数是 -2
故答案为：A .
【分析】根据有理数比较大小法则：负数小于0小于正数，即可解答.
2．（2025·兰州） 计算：（ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的乘法法则，计算即可解答.
3．（2025·兰州） 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（ ）
A．26° B．30° C．36° D．54°
【答案】C
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵ 集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高
∴
∵正午太阳光线与水平面的夹角β为54°
∴ α=
故答案为：C .
【分析】根据题意光能利用率最高即满足，再利用α=计算即可解答.
4．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
5．（2025·兰州） 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，
∴图2中∠ABC=90+60=150
故答案为：D .
【分析】观察图形发现图2中∠ABC由一个正三角形的内角和一个正方形的内角组成，再根据正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，计算即可解答.
6．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
7．（2025·兰州） 若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1 =22=1 ；y2 =2-2=-1
∴y1＞y2
故答案为：C .
【分析】根据点在图像上可得：把点A（2，y1）与B（﹣2，y2）代入函数解析式计算即可判断大小，由此解答即可.
8．（2025·兰州） 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将所有结果列表格如下：
a e i
d da de di
t ta te ti
l la le li
所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为.
故答案为：A .
【分析】先用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可解答.
9．（2025·兰州） 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得：
故答案为：A .
【分析】设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，由两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格可得2x+y-10000=；由一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格得到10000-（x+2y）=，由此可得解答即可.
10．（2025·兰州） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（ ）
A．95° B．100° C．110° D．145°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC= 90°，
∵∠ADB=35°，
∴∠CBD=∠ADB= 35°，
∵∠ABC= 90°， P为EF的中点，
∴PB= PF=EF，
∴∠CBD=∠PFB= 35°，
∴∠BPF= 180°- 35°- 35° = 110°，
∴∠DPE=∠BPF= 110°，
故答案为：C .
【分析】根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB = 35°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得PB= PF，进而得到∠CBD=∠PFB= 35°，再利用三角形内角和定理以及对顶角相等，即可解答.
11．（2025·兰州） 如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
∵正方形ABCD中，AB = 2cm，
∴AB= BC= CD= DA = 2cm，
∴AC=AD=AB= 2cm， ，
∴OC=OA=AC=cm， .
当点P在OA上运动时，由题意得CQ = x，CP=OC+OP= +x，
如图1，
作PG⊥CD于点G，
∵∠PCG = 45°，
∴CG=PG==x+1
∴y=是二次函数；
当点P在AB上运动时，如图2，
由题意得CQ = x，
∴y=是一次函数；
故答案为：D .
【分析】当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x，CP=OC+OP=+x，作PG⊥CD于点G，求得CG= PG=x+1，利用y=列式计算即可解答；当点P在AB上运动时，利用三角形面积公式求解即可解答.
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（2025·兰州）因式分解：2x2+4x+2= 。
【答案】2（x+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2+2x+1）=2(x+1)2.
故答案为：2(x+1)2.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可.
13．（2025·兰州） 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩（单位：环） 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
∵方差越大，成绩越不稳定，
∴新手是甲.
故答案为：甲 .
【分析】由表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，根据方差越大，成绩越不稳定；由此即可判断新手是甲，解答即可.
14．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=x4=2，
∴AE=BE=x2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
15．（2025·兰州） 如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 ．（结果用π表示）
【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形ABCD中，且AD=2，
∴AB=-1，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=EF=BF=AB=-1.
∴PC=ED=2-(-1)=3-.
∵四边形FGHC是正方形，
∴GF=GH=HC=FC=3-，
∴CD=AB=-1，
∴HD=CD- CH=(-1)(3-)=2-4，
∵四边形LKDH是正方形，
∴LH=HD=2-4.
∴“黄金螺线” AFHK的长为： =
=
故答案为： .
【分析】先根据黄金矩形ABCD中且AD=2，求出AB=-1，进而求出GF =GH=HC=FC=3-，LH=HD=2-4， 再根据弧长公式l=即可求出“黄金螺线”AFHK的长，由此即可解答.
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·兰州）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
【答案】解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式得到 （a+2）（a﹣2）=a2﹣4，再算单项式乘以多项式得到 a（3﹣a） =3a﹣a2，最后进行加减运算即可解答.
17．（2025·兰州）解方程：．
【答案】解：原方程去分母得：3x＝2x+2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母解得x＝2，再检验即可解答.
18．（2025·兰州）解不等式组：．
【答案】解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解每一个不等式分别得到x＜5，x＞3，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可解答．
19．（2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答；
（2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答.
20．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
21．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
22．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
23．（2025·兰州）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中a＝ ，b＝ ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【答案】（1）100；40；35
（2）C
（3）解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】
解：（1）由题意可得，1414%=100 (个)
a= 100x40%=40，b=100-5-14-40-6=35，
故答案为： 100，40，35
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数： 5+14+40= 59 ，
所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为： C
【分析】
(1)根据B类的数14除以对应的白分比14%即可求出总数，再根据对应的白分比和总量减部分即可求出答案；
(2)根据中位数的定义：偶数个数据的中位数是将数据从小到大排列后，第50和51个数据的平均数进行计算即可解答；
(3)根据选取样本的特点进行分析即可解答.
24．（2025·兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cos∠AEC，求OD的长．
【答案】（1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC；
（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，
∴cos∠ADB＝cos∠AEC，
在Rt△ABD中，∵cos∠ADB，
∴设BDx，AD＝3x，
∴AB2x，
即2x＝4，
解得x＝2，
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2，
∴OD2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；余角；余弦的概念
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠ABD＝90°，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可根据同角的余角相等得到∠ADB＝∠ABC，再结合已知条件即可解答；
（2）由（1）的条件转化得到cos∠ADB＝cos∠AEC，根据余弦的定义可设设BDx，AD＝3x，利用勾股定理得到AB=2x；再根据AB=4，计算即可得到x，在由勾股定理计算即可解答.
25．（2025·兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．
（1）【解决问题】小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展问题】小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．
【答案】（1）解：，理由如下，
如图3，当点G，H重合时，
∵正方形ABCD与正方形BEFG，
∴AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，
∴EH，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∴；
（2）解：，理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BCH＝∠MAB，
在AE上截取AM＝CH，
∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，
∴△MAB≌△HCB（SAS），
∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，
∵∠HBG＝90°﹣∠CBH﹣∠EBC，∠EBM＝90°﹣∠MBA﹣∠EBC，
∴∠HBG＝∠EBM，
∴∠MBH＝∠EBM+∠EBC+∠CBH＝∠HBG+∠EBC+∠CBH＝∠EBG＝90°，
∴△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵AH＝AM+MH，
∴；
（3），
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】
解：（3），理由如下，由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB，
在CG上截取CM＝AH，
∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，
同理，△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵CH＝CM+MH，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)利用正方形的性质得到EH，即可利用SAS证明△ABE≌△CBG，从而得出AE'=CG，根据AH=AE+EH，解答即可：
(2)在AE上截取AM =CH，利用SAS证明△MAB≌△HCB，推出∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，通过角度的和差运算即可证明△MBH是等腰直角三角形，从而得到，根据AH = AM + MH，解答即可；
(3)在CG上截收CM = AH，利用SAS证明△ABH≌△CBM，得到BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，同理得到
△MBH是等腰直角三角形，求得，根据CH = CM+ MH，解答即可.
26．（2025·兰州）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）P1（﹣1，0）
（2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）﹣2≤t≤2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角的运算；切线的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：（1）当A，N重合时，P关于ON(即OA)的对称点为(0，-1)，在线段AB上
∴P1(-1，0)是图W1的“映射点”：
而P2(1，2)关于ON的对称点不在AB上，则P2(1，2)不是图W的“映射点”；
故答案为： P1(-1，0).
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当P为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
故答案为：﹣2≤t≤2．
【分析】(1)根据定义，观察 P1（﹣1，0），P2（1，2） ， 经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解：
(2)根据正方形的顶点到O的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得b的最大值，将D(-1，1)代入y=x+b得，1=-1+b，计算即可求解；
(3)根据新定义，找到临界值，ON，OP'分别为⊙T的切线情形，求得OT＝2，再根据当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即⊙T的内部，再根据对称性求得t的另一个范围，解答即可.
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