24.1 测量 同步练习（含答案）

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24.1 测量
一、单选题
1．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，P=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是（　　）.
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
2．（2025·象州模拟）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　）
A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m
3．（2025·高州模拟）一个油画架如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·郧西模拟）数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点为沙坑底面所在圆的圆心，为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点看到坑底（甲同学的视线起点与点，点三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·江阴月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端处观察井水水岸处，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么的长为（　　）
A．2米 B．3米 C．米 D．米
6．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020九上·汽开区期末）我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（　　）步
A．360 B．270. C．180 D．90
8．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表，如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是（　　）
A．1.44cm B．2.16cm C．2.4cm D．3.6cm
9．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）
A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m
10．（2019·枣庄）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
11．（2023九上·藁城期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点在同一条直线上），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米．然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高1.6米，则凉亭的高度约为　 　．
12．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA=20cm， =50cm，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是　 　。
13．（2024九上·衡阳期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 　 　m．
14．（2019九上·金凤期中）如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m.已知CD＝4m，BD＝6m.则大树的高度为　 　m.
15．（2024九上·桂平期中）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高　 　m（杆的粗细忽略不计)．
16．（2023八上·东阳期中）如图，‘ABC中，AB=AC，AD」BC于点D，DE平分经ADC，交AC与点E，EF」AB于点F，且交AD-于点G，若AG=2，BC=12，则AD=　 　，AF=　 　.
三、计算题
17．（2023九上·内乡县期中）在一次数学活动课上，为了测量河宽，小聪采用了如下方法：如图，从处沿与垂直的直线方向走45m到达处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达处，再右转走到处，使点恰好在一条直线上，量的m，这样就可以求出河宽．请说明理由，并计算出结果．
18．（2024九上·重庆市月考）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度．
四、解答题
19．（2024九上·历下月考）伴随着每周的升旗仪式，同学们想到用所学知识测量校园内的旗杆的高度．曼曼找来了一根2米长的杆子竖直立在自己（线段）和旗杆（线段）之间，保证自己的眼睛C、杆顶E、旗杆顶端A，三点恰好在一条直线上（如图）．可测得曼曼的眼睛距地面的高度为1.5米，脚跟到杆底的距离为1.5米，杆底距离旗杆底部长度是46.5米，求旗杆的高度．
20．（2024九上·简阳期末）“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点．某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔的高度．小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．如图，此时测得，，，求印鳌阁塔的高度．
21．（2021九上·凤翔期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆 ，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度 .
22．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
11．【答案】米
【知识点】相似三角形的实际应用
12．【答案】4：25
【知识点】相似三角形的实际应用
13．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
14．【答案】7.2
【知识点】相似三角形的实际应用
15．【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
16．【答案】8；1.6
【知识点】全等三角形的实际应用；角平分线的性质；相似三角形的实际应用
17．【答案】河宽为60米
【知识点】相似三角形的实际应用
18．【答案】咸阳钟楼的高度米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
19．【答案】旗杆的高度为米
【知识点】相似三角形的实际应用
20．【答案】印鳌阁塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
21．【答案】解：∵DC∥AB，HG∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵DC＝HG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得： CA＝120（米），
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，解得： AB＝62（米）.
答：大雁塔的高度AB为62米.
【知识点】相似三角形的实际应用
22．【答案】答：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∴BC=BC′，BA=BA′．∵∠A′BC′=∠ABC=60°，∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．∴∠BAA′=∠BC′C=60°．∵∠A′C′B=90°，∴∠DC′A′=30°．∵∠AC′D=∠BC′C=60°，∴∠ADC′=60°．∴∠DA′C′=30°．∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．∴AD=DC′，DC′=DA′．∴AD=A′D．（2）仍然成立：AD=A′D．证法一：利用相似．如图2﹣1．由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）∴∠1=∠3．设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC∴△BOC∽△DOA．∴∠2=∠4，=．连接BD，∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA．∴∠5=∠6．∵∠ACB=90°，∴∠2+∠5=90°．∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．∵BA=BA′，∠ADB=90°，∴AD=A′D．证法二：利用全等．如图2﹣2．过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴∠4=∠5．∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6．∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．在△ADE与△A′DC′中，∴△ADE≌△A′DC′（ASA），∴AD=A′D．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．在Rt△ACB和Rt△AC′B中，．∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．∴∠ABC=∠ABC′=60°．∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
【知识点】全等三角形的实际应用；相似三角形的实际应用
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