24.2 直角三角形的性质 同步练习（含答案）

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24.2直角三角形的性质
一、单选题
1．（2025八上·成都期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10
2．（2024七下·南明月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)
A．2 cm，2 cm，5 cm B．3 cm，4 cm，7 cm
C．4 cm，6 cm，8 cm D．5 cm，6 cm，12 cm
3．（2025·东莞模拟）如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若菱形的周长是，则长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021八上·桐梓期末）以下列各组线段长（单位：厘米）为边能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·宁江模拟）已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·三水期末）如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021八上·武汉月考）如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则 的值（　　）
A． B． C． D．
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
9．（2023八下·保定期末）如图所示.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
10．（2024八下·武汉期末）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为18；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2024七下·哈尔滨期中）在中，，，若第三边c的长是奇数，则c的长是　 　．
12．（2024七下·邗江期末）的三边长为a、b、c，若，c是偶数，则该三角形的周长等于　 　；
13．（2020七下·兴化期中）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为　 　cm.
14．（2021八上·九台期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为　 　．
15．（2025八下·望城月考）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为　 　．
16．（2021八下·成都期末）如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为　 　.
三、计算题
17．（2024八上·青阳期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：．
18．化简 ﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
19．（2023八上·丹阳期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．
【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．
如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______．
【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接，
（1）请完成小明的证明过程；
（2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______．
【思维拓展】
如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______．
四、解答题
20．（2023九上·洋县月考）已知菱形中，与相交点，若，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积．
21．（2025八下·湘阴期中）如图，在中，，，，，求的长．
22．（2024九上·南昌月考）如图，，都为等腰直角三角形，，点B，C分别在线段，AD上，，将绕点A顺时针旋转角，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，求的度数．
23．（2024八下·从化期末）点为平面直角坐标系的原点，点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标是4时，求的面积；
（2）用含的式子表示，并写出的取值范围；
（3）求周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形三边关系
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的性质
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理
8．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形三边关系；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
11．【答案】3或5
【知识点】三角形三边关系
12．【答案】10
【知识点】三角形三边关系
13．【答案】8
【知识点】三角形三边关系
14．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
17．【答案】．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
18．【答案】解：原式= +=+===，
∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，
∴1＜a＜5，即a=2，3，4，
当a=2或a=3时，原式没有意义，
则a=4时，原式=1．
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
19．【答案】[初步感知]，；
[方法探索]（1）见证明：（2）．
[思维拓展]．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
20．【答案】菱形的面积为平方厘米
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
21．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
22．【答案】的度数为或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
23．【答案】（1）解：x+y=6，当X=4时y=6，故P(4，2)，如图1，
∴的面积为4；
（2）解：由题意知，，∵点在第一象限，
∴，
解得，，
即，；
（3）解：作的图象，分别交轴于点，如图2，作关于的对称点于，连接交于点，连接，. OA是定值4，当、P、A三点共线OP+AP=O，三角形周长最小。
当时，，即；
当时，，即；
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，垂直平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵周长为
当三点共线时 OP+PA=
∴周长最小为
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的性质；列一次函数关系式；点的坐标与象限的关系
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