14.2 三角形全等的判定 第5课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.2 三角形全等的判定 第5课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 79.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 19:49:54 | ||
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文档简介
14.2 三角形全等的判定
第5课时
【教学目标】
1.经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
2.掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题.
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
4.经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.
【重点难点】
重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
【情境导入】如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗
方法一:测量斜边和一个对应的锐角.(AAS),
方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS),
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗
学完本节课后,相信同学们会找到答案.
二、探究归纳
活动一:探究归纳 “HL”判定方法
1.问题:出示问题
△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',BC=B'C'.这两个三角形全等吗
学生先独立思考,然后交流,利用前面学习的叠合法证明.
∵∠C=∠C'=90°,∴让点C与点C'重合,射线C'B'与射线CB重合.那么射线C'A'与射线CA重合.由B'C'=BC,则点B与B'重合.
教师追问A点和A'重合吗
学生答:若点A不与A'重合,则有两种情况,一是点A落在边AC上,记为点M,则∠BMA>∠C.这时BA>BM(A')而AB≠A'B'.
若点A'落在射线CA的延长线上的点为N,由刚才的分析可知BN(A')>BA从而点A与A'重合.
2.总结规律:直角三角形全等的判定方法:斜边、直角边(HL)
(1)内容:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
(2)书写格式:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
因为
所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
3.注意:“HL”适用的前提条件
“HL”只适合直角三角形全等的判定,不适合一般三角形全等的判定.
4.到现在为止我们学习的直角三角形全等的判定方法有哪些 “SAS”,“AAS”,“ASA”,“SSS”,“HL”.
5.我们再来看一下一开始的问题(2)中的方法能行吗
答案是肯定的,用的就是“HL”判定两个三角形全等.
活动二:应用举例:
【例1】如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.
分析:欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB,AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
证明:因为AC⊥BC,BD⊥AD,
所以∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,AC=BD,AB=BA,
所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).所以BC=AD.
变式:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,要证△ABC≌△BAD,需要添加一个什么条件 请说明理由.
(1)AD=BC(HL)
(2)AC=BD(HL)
(3)∠DAB=∠CBA(AAS)
(4)∠DBA=∠CAB(AAS)
【例2】 如图,AD⊥CD,AB⊥CB,垂足分别是D,B,且AD=AB,求证:AC平分∠DCB.
证明:因为AD⊥CD,AB⊥CB,
所以∠D与∠B都是直角.
在Rt△ADC和Rt△ABC中,因为
所以Rt△ADC≌Rt△ABC(HL).
所以∠ACD=∠ACB,即AC平分∠DCB.
三、交流反思
明确“HL”判断全等的条件,规范符号语言表达形式,学会运用HL公理,掌握HL公理证题的规范格式;并通过各种变换,加强学生的应用能力,活跃学生的思维.
四、检测反馈
1.使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一个锐角对应相对
B.两个锐角对应相对
C.一条边对应相等
D.斜边与直角边对应相等
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,则△ADB与△ADC________(填“全等”或“不全等” ).
3.如图,已知∠1=∠2=90°,AD=AE,那么图中有________对全等三角形.
4.如图,已知∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC,AB=7,则DE的长度为_________________.
5.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B,C作AD及其延长线的垂线BE,CF,垂足分别为点E,F.求证:BE=CF.
6.已知如图,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,求证:DE=BD+CE.
五、布置作业
课本P43练习第1,2题
六、板书设计
14.2 三角形全等的判定
(第5课时)
1.直角三角形全等的判定定理:
斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
2.例题板演
3.总结,到现在为止,我们学习了六种判定三角形全等的方法:
(1)全等三角形的定义
(2)边边边(SSS)
(3)边角边(SAS)
(4)角边角(ASA)
(5)角角边(AAS)
(6)HL(仅用在直角三角形中)
七、教学反思
本节课教学,主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,教师让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课从“问题情境出发,建立模型、寻求结论、解决问题”,让学生从这一过程中抽象出几何图形,建立模型,研究具体问题,起到了较好的作用,学生也体会到数学与现实的联系,以及学习处理此类问题的方法.作为八年级的学生,他们的抽象思维已有一定程度的发展,具有初步的推理能力,因此,教学中,教师除了注重情境的运用外,更多地运用符号语言,在比较抽象的水平上,提出数学问题,加深和扩展了学生对数学的理解.
纵观整个教学,不足主要体现在提出的一些问题,启发性、激趣性不足,导致学生的学习兴趣不易集中,在学生的自主探究与合作交流中,时机控制不好,导致部分学生不能有所收获;在评价学生表现时,不够及时,没有让他们获得成功的体验,丧失激起学生继续学习的很多机会,今后教学还需不断地改进和提高.
第5课时
【教学目标】
1.经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
2.掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题.
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
4.经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.
【重点难点】
重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
【情境导入】如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗
方法一:测量斜边和一个对应的锐角.(AAS),
方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS),
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗
学完本节课后,相信同学们会找到答案.
二、探究归纳
活动一:探究归纳 “HL”判定方法
1.问题:出示问题
△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',BC=B'C'.这两个三角形全等吗
学生先独立思考,然后交流,利用前面学习的叠合法证明.
∵∠C=∠C'=90°,∴让点C与点C'重合,射线C'B'与射线CB重合.那么射线C'A'与射线CA重合.由B'C'=BC,则点B与B'重合.
教师追问A点和A'重合吗
学生答:若点A不与A'重合,则有两种情况,一是点A落在边AC上,记为点M,则∠BMA>∠C.这时BA>BM(A')而AB≠A'B'.
若点A'落在射线CA的延长线上的点为N,由刚才的分析可知BN(A')>BA从而点A与A'重合.
2.总结规律:直角三角形全等的判定方法:斜边、直角边(HL)
(1)内容:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
(2)书写格式:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
因为
所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
3.注意:“HL”适用的前提条件
“HL”只适合直角三角形全等的判定,不适合一般三角形全等的判定.
4.到现在为止我们学习的直角三角形全等的判定方法有哪些 “SAS”,“AAS”,“ASA”,“SSS”,“HL”.
5.我们再来看一下一开始的问题(2)中的方法能行吗
答案是肯定的,用的就是“HL”判定两个三角形全等.
活动二:应用举例:
【例1】如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.
分析:欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB,AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
证明:因为AC⊥BC,BD⊥AD,
所以∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,AC=BD,AB=BA,
所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).所以BC=AD.
变式:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,要证△ABC≌△BAD,需要添加一个什么条件 请说明理由.
(1)AD=BC(HL)
(2)AC=BD(HL)
(3)∠DAB=∠CBA(AAS)
(4)∠DBA=∠CAB(AAS)
【例2】 如图,AD⊥CD,AB⊥CB,垂足分别是D,B,且AD=AB,求证:AC平分∠DCB.
证明:因为AD⊥CD,AB⊥CB,
所以∠D与∠B都是直角.
在Rt△ADC和Rt△ABC中,因为
所以Rt△ADC≌Rt△ABC(HL).
所以∠ACD=∠ACB,即AC平分∠DCB.
三、交流反思
明确“HL”判断全等的条件,规范符号语言表达形式,学会运用HL公理,掌握HL公理证题的规范格式;并通过各种变换,加强学生的应用能力,活跃学生的思维.
四、检测反馈
1.使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一个锐角对应相对
B.两个锐角对应相对
C.一条边对应相等
D.斜边与直角边对应相等
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,则△ADB与△ADC________(填“全等”或“不全等” ).
3.如图,已知∠1=∠2=90°,AD=AE,那么图中有________对全等三角形.
4.如图,已知∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC,AB=7,则DE的长度为_________________.
5.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B,C作AD及其延长线的垂线BE,CF,垂足分别为点E,F.求证:BE=CF.
6.已知如图,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,求证:DE=BD+CE.
五、布置作业
课本P43练习第1,2题
六、板书设计
14.2 三角形全等的判定
(第5课时)
1.直角三角形全等的判定定理:
斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
2.例题板演
3.总结,到现在为止,我们学习了六种判定三角形全等的方法:
(1)全等三角形的定义
(2)边边边(SSS)
(3)边角边(SAS)
(4)角边角(ASA)
(5)角角边(AAS)
(6)HL(仅用在直角三角形中)
七、教学反思
本节课教学,主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,教师让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课从“问题情境出发,建立模型、寻求结论、解决问题”,让学生从这一过程中抽象出几何图形,建立模型,研究具体问题,起到了较好的作用,学生也体会到数学与现实的联系,以及学习处理此类问题的方法.作为八年级的学生,他们的抽象思维已有一定程度的发展,具有初步的推理能力,因此,教学中,教师除了注重情境的运用外,更多地运用符号语言,在比较抽象的水平上,提出数学问题,加深和扩展了学生对数学的理解.
纵观整个教学,不足主要体现在提出的一些问题,启发性、激趣性不足,导致学生的学习兴趣不易集中,在学生的自主探究与合作交流中,时机控制不好,导致部分学生不能有所收获;在评价学生表现时,不够及时,没有让他们获得成功的体验,丧失激起学生继续学习的很多机会,今后教学还需不断地改进和提高.
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