15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

15.1.2　线段的垂直平分线　
第1课时
【教学目标】
1.了解线段的垂直平分线的定义.
2.探索线段垂直平分线的性质和判定,并能进行有关计算和证明.
3.了解互逆命题和互逆定理的概念,能够由原命题写出其逆命题.
4.在探索的过程中,培养学生分析、归纳的能力.
【重点难点】
重点:线段垂直平分线的性质和判定.
难点:线段垂直平分线的性质和判定的理解与应用.
【教学过程】
一、 创设情境,导入新课:
1.线段是轴对称图形吗 其对称轴是什么
2.什么是线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质是什么,怎样判断一条直线是线段的垂直平分线,这一节课我们就来学习它.
二、探究归纳
活动1:探究线段垂直平分线的性质
1.问题:如图.木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现
2.探究:(1)用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,…,连接AP1,AP2,AP3,BP1,BP2,BP3…
(2)作好图后,用直尺量出AP1,AP2,AP3,BP1,BP2,BP3…讨论发现什么样的规律.
3.归纳探究结论:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2…
证明:证法一:利用两个三角形全等判定.
如图,在△APC和△BPC中,
△APC≌△BPC PA=PB.
证法二:利用轴对称性质.
由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线l对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.
带着探究出的结论我们来看下面的问题.
活动2:探究线段的垂直平分线的判定方法
1.问题:如图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎样才能保持出箭的方向与木棒垂直呢 为什么
2.探究过程:
(1)用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作l,在l上取点P1,P2,连接AP1,AP2,BP1,BP2.会有以下两种可能.
(2)讨论:要使l与AB垂直,AP1,AP2,BP1,BP2应满足什么条件
(3)如图(1),若AP1≠BP1,那么沿l将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即l与AB不垂直.
(4)如图(2),若AP1=BP1,那么沿l将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即l与AB垂直.当AP2=BP2时,亦然.
3.归纳探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
点拨:上述探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
活动3:互逆命题和互逆定理
问题1:分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题,它们的题设和结论有什么关系
这两个命题的题设和结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题,另一个命题就叫作逆命题.
问题2:请写出对顶角相等的逆命题.
原命题:对顶角相等.
逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.
问题3:(1)原命题:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.此命题正确吗 其逆命题正确吗
原命题和逆命题都正确.
(2)原命题对顶角相等正确吗 它的逆命题正确吗
原命题正确,逆命题不正确.
(3)由此你能得出什么结论
原命题正确,逆命题不一定正确.
(4)你能举出其他的例子吗
学生举例.
问题4(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.这一命题是真命题吗 是定理吗
是真命题,经过推理证明的.
(2)其逆命题呢 也是定理吗
互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
活动4:应用举例
例1:如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上的一点,BE是否与CE相等 试说明理由.
解:连接BC,因为AB=AC,
所以点A在线段BC的垂直平分线上.
同理,D点也在线段BC的垂直平分线上.
因为两点确定一条直线,
所以AD所在的直线是线段BC的垂直平分线.
因为E是AD延长线上的一点,所以BE=EC.
总结:线段垂直平分线性质及判定的应用
(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一,在应用时要注意分清条件与结论,防止混淆.
(2)线段垂直平分线的图形结构中,含有全等三角形,但在应用时,一般情况下不要用三角形全等的方法来解决,以免给解题增加麻烦.
例2如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE.
(1)求证:AB=EC;
(2)若△ABC的周长为20 cm,AC=9 cm,求DC长.
(1)证明∵EF垂直平分AC,
∴AE=EC,
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=EC.
(2)∵△ABC的周长为20 cm,
∴AB+BC+AC=20 cm,
∵AC=9 cm,
∴AB+BC=11 cm,
∵AB=EC,BD=DE,
∴DC=DE+EC=BE+EC+EC
=BC+AB
=(AB+BC)
=5.5 cm.
例3写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例进行说明.
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)末位数是0或5的整数能被5整除.
(3)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形,那么这条线段是这个三角形的中线;
(4)对顶角是有公共顶点且相等的角.
【解析】(1)逆命题:在同一平面内,如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线.
判断:真命题.
(2)逆命题:能被5整除的整数,其末位数是0或5,
判断:真命题.
(3)逆命题:如果一条线段是一个三角形的中线,那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形.判断:真命题.
(4)逆命题:如果两个角有公共顶点且相等,那么这两个角是对顶角;
是假命题.
反例如下:如图:∠1=∠2,且有公共顶点O,但这两个角不是对顶角;
总结:要写出一个命题的逆命题,关键是把原命题写出如果……那么……的形式,找出题设和结论,然后题设和结论相互交换,再加以连接词进行补充.
三、交流反思
经历“动手实践、推理论证和合作交流”这一探究活动,充分感受垂直平分线性质的形成过程,鼓励学生大胆的进行推理论证,这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.
四、检测反馈
1.如图,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,则下列结论中不一定正确的是 (　　)
A.∠B=∠C　　　　　 B.AB=AC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
2.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有 (　　)
A.1个　　　B.2个 C.3个　　　D.4个
3.下列定理中,没有逆定理的是 (　　)
A.直角三角形的两锐角互余
B.同位角相等,两直线平行
C.有两边相等的三角形是等腰三角形
D.全等三角形的对应角相等
4.命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是_________________.
5.(2024·镇江中考)如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD=_________.
6.风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等,起源于中国东周春秋时期,距今已有2 000多年的历史,如图是一款风筝骨架的简化图,已知AB=AD,BC=CD,AC=90 cm,
BD=60 cm,制作这个风筝需要的布料至少为_________cm2.
7.按要求解答下列各小题.
(1)请写出以下命题的逆命题:
①相等的角是内错角;
②如果a+b>0,那么ab>0;
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理.
8.如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,求△BCD的周长.
9.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若BC=15,DE=4,则AD+AE=________;
(2)设直线DM,EN交于点O,判断点O是否在BC的垂直平分线上.
五、布置作业:
教科书P67练习第1,2题.
六、板书设计
15.1.2线段的垂直平分线
(第1课时)
性质:线段垂直平分线上的点与这条线段　例1
两个端点的距离相等.
判定:与线段两个端点的距离相等的
点在线段的垂直平分线上.　　　　　　例2
互逆命题与互逆定理　　　　　　　　　例3
七、教学反思
　　线段垂直平分线在以后的几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用.线段的垂直平分线的性质定理是推证线段相等的重要途经,它的逆定理常常用来推证一条直线是一条线段的垂线或一点是一条线段的中点.
在设计教案时,结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索.在利用实际问题导入新课后,先让学生做一条线段AB的垂直平分线MN,在MN上取一点P,让学生量出PA、PB的长度,引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系:得到什么结论 学生回答:PA=PB.然后再让学生另取一点试一试,这两个长度也相等,由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理.在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量再得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证、通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理及几何语言,以及证明思路方法.