15.3.1　等腰三角形 第1课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时
【教学目标】
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
3.经历作(画)出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.探索并掌握等腰三角形的性质.
【重点难点】
重点:等腰三角形的性质及应用.
难点:等腰三角形性质的证明.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
[问题情境]
　在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗 ②什么样的三角形是轴对称图形
有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.
问题:什么样的三角形是轴对称图形
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形——等腰三角形.
二、探究归纳
活动一:同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.
　作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.
[生]在甲同学的作法中,A点可以取直线L上的任意一点.
[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.
活动二:请同学们拿出一张长方形纸片,按照老师的要求对折,然后用剪刀或小刀裁去阴影部分,再把裁剪后的直角三角形展开.得到的三角形有什么是什么三角形呢
[问题]1.从折剪的过程可知,△ABC是什么三角形呢
2.在上述△ABC中,AB、AC、BC,∠B、∠C的名称是什么呢
3.上面剪出的等腰△ABC是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么(借助图中的线表示)
(1)由折叠和对称可知,在△ABC中,∠B与∠C的大小关系如何
(2)由折叠和对称又可知:∠BAD与∠DAC,BD与DC大小关系如何 AD与BC的位置关系是什么
[师总结]按照我们的作法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的两边叫作腰,另一边叫作底边,两腰所夹的角叫作顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
[问题]有了上述概念,同学们来想一想.
1.等腰三角形是轴对称图形吗 请找出它的对称轴.
2.等腰三角形的两底角有什么关系
3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗
4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗 底边上的高所在的直线呢
[生回答]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合、对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[师问题]
如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,沿顶角的平分线对折,则△ABD与△ADC完全重合.由此得到等腰三角形是轴对称图形.
　同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.
学生的不同回答:
[生1]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.
[生2]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[生3]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
[生4]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.
[师问]你们说的是同一条直线吗 大家来动手折叠、观察.
[生回答]它们是同一条直线.
[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.
[总结]等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高互相重合(通常称作“三线合一”).
如图,在△ABC中,由∠ADB=∠ADC,得∠ADB=90°,所以AD⊥BC,即AD为△ABC底边BC上 的高线;由BD=CD,得AD为底边BC上的中线.所以等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.(简称“三线合一”)
[点拨]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
订正学生答案:
[生1]如图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SSS).所以∠B=∠C.
[生2]如图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的平分线AD,因为
所以△BAD≌△CAD.
所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.
[师点拨]很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看例题.
例题讲解:等腰三角形性质的应用
例1:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求:△ABC各角的度数.
分析:根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
解:因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC.
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
例2:
如图,已知AB=AC,AD=AE.求证BD=CE.
分析:因为△ABC和△ADE是有公共顶点,且底边在同一直线上的等腰三角形,作△ABC或△ADE的高AF,可同时平分BC,DE,利用等腰三角形的三线合一性质易得答案.
解:如图,作AF⊥BC,垂足为F,则AF⊥DE.
因为AB=AC,AD=AE,AF⊥BC,AF⊥DE,所以BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合),所以BD=CE.
总结:1.在证明边或角相等时,常考虑利用三角形全等,等腰三角形的两个底角相等常常是隐含条件,注意挖掘和应用.
2.利用等腰三角形三线合一性质,不仅能够证明相关的线段或角相等,还可以证明有关的线与线之间的关系.
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:观察——归纳——猜想——证明.
2.通过本节课探索出等腰三角形的性质及推论.
四、检测反馈
1.若等腰三角形的顶角为80°,则它的底角度数为(　　)
A.80°　　 　B.50°　　 　C. 40°　 　　D.20°
2.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为 (　　)
A.16 B.20或16 C.20 D.12
3.如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为 (　　)
A.68° B.32°
C.22° D.16°
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于 (　　)
A.30° B.40°
C.45° D.36°
5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于 (　　)
A.80° B. 70° C.60° D.50°
6.(1)等腰三角形一腰为3 cm,底为4 cm,则它的周长是________ cm; (2)等腰三角形的一边长为3 cm,另一边长为4 cm,则它的周长是________ cm; (3)等腰三角形的一边长为3 cm,另一边长为8 cm,则它的周长是________ cm.
7.如图所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
8.如图:AB=AC,AD⊥BC于D,P为AD上的一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,求证:PE=PF.
五、布置作业
教科书P79-80练习第1,2,3题
六、板书设计
15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形　(第1课时)
一、等腰三角形性质　二、例题分析　三、学生板演
1.等边对等角
2.三线合一
七、教学反思
　　《等腰三角形的性质》这节课重点是让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出“等腰三角形的两底角相等”及“三线合一”的性质.设计理念是让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质:等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.然后运用全等三角形的知识加以论证.使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,从而实现教学目标.
等腰三角形作为特殊的三角形,既是三角形轴对称等知识的深化,又是证明角相等、线段相等、直线垂直的常用依据,也为三角形相似等后继知识的学习,奠定了坚实的基础.
教学时可采用多媒体辅助教学,对等腰三角形的性质证明,多角度的展开,活跃了思维,积累了一题多证的解题经验.