15.3.1　等腰三角形 第2课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

15.3.1　等腰三角形
第2课时
【教学目标】
1.理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论
2.能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
3.探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
【重点难点】
重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用.
难点:正确区分等腰三角形的判定与性质,能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
【教学过程】
一、 创设情境,导入新课
　出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点)为B标,然后在这棵树的正南方(南岸A点插一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家测得AC的长度就可知河流宽度.
学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么 带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形的判定”.
二、探究归纳
活动一:探究等角对等边
1.问题1:如图,位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
同学们思考上面的问题并讨论:
[生1]应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
[生2]我认为能同时赶到.O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.
2.问题2:在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
学生思考讨论,教师订正点拨.
上面问题转化为已知:在△ABC中,∠B=∠C(如图).
求证:AB=AC.
证明:作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD中,
因为∠1=∠2,∠B=∠C,AD=AD,
所以△BAD≌△CAD(AAS).所以AB=AC.
3.师引导学生总结证明的结论:在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.
4.归纳:等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简写成“等角对等边”).
5.教师引导学生明确:等腰三角形的判定定理与性质的关系:判定定理与性质定理是互逆的,性质:线段相等→角相等;判定:角相等→线段相等.
6.点拨:(1)性质和判定应用的前提都是在同一三角形中,并且不经过三角形全等的证明,直接由等边得等角或由等角得等边,所以应用起来更简单、便捷.
(2)等腰三角形的判定方法的理解
教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种:一是判定定理,二是定义.另外还有很多方法,如在同一个三角形中,三线中两线重合,也能说明是等腰三角形.但不常用,一般是通过推理得出角相等或边相等,再得出是等腰三角形.
活动二:活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.
分析:利用等腰三角形的性质即等边对等角、全等三角形的判定及性质.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.
求证:BD=CE.
证明:因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB(等边对等角).
因为∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
所以∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
因为∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
所以△BDC≌△CEB(ASA).
所以BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.
求证:BE=CF.
证明:因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又因为BE、CF分别是△ABC的高,
所以∠BFC=∠CEB=90°.
在△BFC和△CEB中,
因为∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,
所以△BFC≌△CEB(AAS).
所以BE=CF.
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.
求证:BD=CE.
证明:因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又因为CD=AC,BE=AB,
所以CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
因为BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
所以△BEC≌△CDB(SAS).
所以BD=CE.
活动三:等腰三角形的判定定理的应用
例1:
如图,BE平分∠ABC,交AC于E,过E作DE∥BC,交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形.
分析:根据等角对等边进行判定.
证明:因为DE∥BC,
所以∠EBC=∠DEB.
因为BE平分∠ABC,
所以∠DBE=∠EBC.
所以∠DBE=∠DEB.
所以BD=DE,即△BDE是等腰三角形.
总结:等腰三角形判定三种方法
(1)当三角形有两条边相等时,应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定三角形是等腰三角形.
(2)当三角形中有两个角相等时,应用“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等”来证明.
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时.应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离构成的三角形是等腰三角形”来证明.
例2:求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
分析:这个题是文字叙述的证明题,我们首先将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).
求证:AB=AC.
证明:因为AD∥BC,
所以∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
又因为∠1=∠2,
所以∠B=∠C,
所以AB=AC(等角对等边).
例3:如图(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4米,绳子CD和CE要多长
分析:这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解:选取比例尺为1∶100(即为1 cm代表1 m).
(1)作线段DE=4 cm;
(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;
(3)在MN上截取BC=2.5 cm;
(4)连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以算出要求的绳长.
三、交流反思
　本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.
四、检测反馈
1.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图,把两个一样大的含30°的直角三角板,按如图方式拼在一起,其中等腰三角形有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为 (　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
4.如图,∠C=36°,∠B=72°,∠BAD=36°,AD=4,则CD=________.
5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且AC=AB=BD,DA=DC,则∠BAC=________.
6.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证:AB=AD.
7.上午8时,一条船从海岛A出发,以20海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离.
8.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.
(1)求证:△ABD是等腰三角形.
(2)求∠BAD的度数.
五、布置作业
教科书P81练习第1,2,3题
六、板书设计
15.3.1　等腰三角形(第2课时)
一、等腰三角形的判定定理——等角对等边
二、等腰三角形判定定理的应用
七、教学反思
等腰三角形的判定定理,(该定理是证明两条线段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,此定理为证明线段相等提供了又一种方法);本节内容的难点是性质定理与判定定理的区别(等腰三角形的性质定理与判定定理是互逆定理,学生们在应用它们的时候,经常混淆,帮助学生认识判定与性质的区别,这是本节课的难点);另外由于知识点的增加,题目复杂程度的提高,一定要让学生真正理解定理,让学生逐步掌握解题的思想方法,才能在解题时结合条件选择定理加以应用.
等腰三角形的性质定理—等边对等角的逆命题,顺利提出本节课我们所要解决的问题,引出课题《等腰三角形的判定》.
操作:在纸上画△ABC,使∠B=∠C(利用量角器);再用量角器画出∠BAC的平分线AD,设AD与BC相交于点D.三角形纸片可让学生课前准备,鉴于学生在学习“等边对等角”的性质时,也是通过操作,观察图形运动而得到的,所以这里就让学生自主讨论,尝试语言的组织、叙述,并解释清楚为什么,教师则通过图片直观形象地演示给学生,从而得出等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写为“等角对等边”).判定定理引入之后,教师引导学生运用刚刚探究得到的知识,解决引入新课时所提到的问题.并注意收集学生在应用知识过程中所出现的问题,及时纠正、做出评价,适时指出判定定理在运用时要注意的地方,养成学生严谨的科学学习态度.