15.3.2　等边三角形 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

15.3.2　等边三角形
【教学目标】
1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形.
2.了解等边三角形的定义,掌握等边三角形的性质和判定方法,并能够运用性质和判定方法解决相关问题.
3.掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的关系,能利用含30°角的直角三角形的性质解决简单的实际问题.
4.经历探究等边三角形的性质和判定方法的过程,并能进行简单的应用.
【重点难点】
重点:等边三角形的性质和判定方法及其运用;利用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题.
难点:能够运用等边三角形相关性质和判定解决相关数学问题.
【教学过程】
一、 创设情境,导入新课
如图,将两个含有30°角的三角板放在一起,借助这个图形,
1.你能判断出新组合的三角形是什么三角形吗
2.你能找到每个三角板中的最短的直角边与斜边之间的数量关系吗
二、探究归纳
活动1:问题回顾
　什么是等边三角形 它与以前学过的等腰三角形有何关系
学生回答:三条边都相等的三角形叫作等边三角形,它是一种特殊的等腰三角形.
活动2:探究等边三角形的性质
1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想.
2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的
等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°.
3.上面的条件和结论如何叙述
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,也称为正三角形.
4.(1)教师引导学生动手,通过动手折叠,由学生发现等边三角形是轴对称图形吗 它有几条对称轴
(2)通过折叠你发现等边三角形的角有哪些性质,你能证明吗
总结:引导学生归纳等边三角形的性质
(1)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
(2)等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
5.由等腰三角形“三线合一”的性质,可以推出等边三角形也具有“三线合一”的性质.
活动3:探究等边三角形的判定
问题:(1)一个三角形满足什么条件就是等边三角形
(2)一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形
教师引导学生从两个角度思考判定等边三角形需要满足的条件:
问题(1):对于三角形来说:
(1)边:三边相等的三角形是等边三角形
(2)角:三角相等的三角形是等边三角形
问题(2):对于等腰三角形来说,分两种情况:
探究:[1]如果顶角是60°:
根据三角形的内角和定理,顶角是60°,等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°÷2=60°,则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.
点拨:如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.
[2]如果底角是60°:
同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质,可得等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形.
点拨:在等腰三角形中,不论底角是60°,还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.即:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
总结:等边三角形常用的判定方法:
边:三边相等的三角形是等边三角形
角:三角相等的三角形是等边三角形
边角:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
活动4:探究含30°角的直角三角形的性质
　探究:用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.
其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中,∠BAD=30°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.
问题: 师:同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗
[生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半.
师:我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗
[生]可以,在图(1)中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.而∠ADB=90°,即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=BC.所以BD=AB,即在Rt△ABD中,∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半.
定理证明:
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=AB.
分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图②)
因为∠ACB=90°,所以∠ACD=90°.
因为AC=AC,
所以△ABC≌△ADC(SAS).
所以AB=AD(全等三角形的对应边相等).
所以△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
所以BC=CD=BD=AB.
活动5:应用举例
例1:
求证:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:因为∠A=∠B,
所以BC=AC(等角对等边).
又因为∠A=∠C,
所以BC=AB(等角对等边).
所以AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
例2:
已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,AC于D,E.
求证:△ADE是等边三角形.
证明:因为△ABC是等边三角形(已知),
所以∠A=∠B=∠C(等边三角形各角相等).
因为DE∥BC,
所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).
所以∠A=∠ADE=∠AED.
所以△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
例3:
如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°,AP=BP=200 m,他们便得出一个结论:A,B之间距离不少于200 m,他们的结论对吗
分析:我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°且AP=BP,结合本节课探究结论知△APB为等边三角形.
解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60°,
所以∠PAB=∠PBA=(180°-∠APB)
=(180°-60°)=60°.
于是∠PAB=∠PBA=∠APB.
从而△APB为等边三角形,AB的长是200 m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.
例4:
如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长
分析:观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所以DE=AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以AD=AB.
解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知
BC=AB,DE=AD,
所以BC=×7.4=3.7(m).又AD=AB,
所以DE=AD=×3.7=1.85(m).
答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m.
例5:
等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的长.
分析:观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°×2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,可求出CD.
解:因为∠ABC=∠ACB=15°,
所以∠DAC=∠ABC+∠BCA=30°.
所以CD=AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:观察——归纳——猜想——证明.
2.通过本节课类比等腰三角形的性质和判定探究等边三角形的性质和判定.
四、检测反馈
1.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 (　　)
A.25°　　　　　　 B.60°
C.85° D.95°
2.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为 (　　)
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
3.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 (　　)
A.180° B.220°
C.240° D.300°
4.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要 (　　)
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在BC上,且AD⊥AC.若AD=1,则BC的长为_________.
6.已知,如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC.屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
7.已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD.
求证:DB=DE.
8.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试说明你的结论.
五、布置作业
教科书P84-85练习1,2,习题5,10,11
六、板书设计
15.3.2　等边三角形
1.等边三角形的性质:
(1)等边三角形三条边都相等.
(2)等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
(3)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
(4)等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
2.等边三角形判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
3.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
七、教学反思
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上,进一步认识等边三角形.学习等边三角形的定义、性质和判定,在折一折的过程中体会等边三角形的特征,三条边相等,三个角也相等,都是60度.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中,进一步发展空间观念,锻炼思维能力.让学生在学习活动中,进一步产生对数学的好奇心,增强动手能力和创新意识.
在教学过程中,我穿插习题进行练习,让学生在学习新的知识的同时,能运用知识解决问题.让他们在掌握新知识的同时,复习前面已学过的知识.同样等边三角形也配相应的题目进行巩固.在课本后面的练习中,介绍既是直角三角形又是等腰三角形的是等腰直角三角形.将课本知识进行进一步拓展.