18.1.2　分式的基本性质 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

18.1.2　分式的基本性质
【教学目标】
1.理解分式的基本性质.
2.使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形.
3.在教学的过程中,学会用类比的方法探究分式的基本性质.
【重点难点】
重点:使学生理解并掌握分式的基本性质.
难点:灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
1.创设情境:
多媒体课件播放有关“自然景色美”的短片,烘托气氛,然后,打出字幕:“数学因简约、对称、和谐而美”.
2.探索发现:
展示分蛋糕的图片(如图),从图中得到三个分数:,,.然后提出问题:
问题1:根据我们对数学的“审美标准”,上面的哪个分数最具“简约之美”
答:.
问题2:从,到,我们实施了怎样的变形
答:分数的约分.
问题3:这种变形的依据是什么 其内容是什么
答:变形的依据是分数的基本性质,其内容是分数的分子与分母同乘以或同除以同一个不为零的数,分数的值不变.
类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗 这节课我们就学习分式的基本性质.
二、探究归纳
活动一:探究分式的基本性质
1:思考与相等吗 与相等吗 为什么
2.说出与之间变形的过程,与之间变形的过程,并说出变形依据.
3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质.
总结:分式的基本性质:
(1)文字语言:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变;
(2)字母表示:=,=(C≠0),其中A,B,C是整式.
活动二:探究分式的约分
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的
(1)=.(2)=(b≠0).
答:(1)中分式的分子、分母同除以x2.
(2)中分式的分子、分母同乘以b.
2.对分数怎样化简
答:约去公因数4.
3.类似地,分式也可约分吗
答:可以.
4.填空:
(1)=.(2)=.
(3)=.(4)=.
归纳:(1)约分:把分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分.
(2)最简分式:分式的分子与分母没有公因式的分式,叫作最简分式.
注意:约分的根据都是分式的基本性质,约分的结果是最简分式或整式.
活动三:探究分式的通分
1.分式、、有什么共同点
答:它们都不是最简分式,并且分母都相同.
2.试将它们分别化成最简分式,约分后得到的分式分别是:、、;
此时它们的分母不相同.将它们变形成分母相同的分式.
归纳:(1)通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分.
(2)最简公分母:各分母的所有因式的最高次幂的积.
注意:通分的根据都是分式的基本性质.
活动四:应用举例
例1:下列等式的右边是怎样从左边得到的
(1)=(c≠0).(2)=.
解:(1)由c≠0,知==.
(2)由x≠0,知==.
想一想:为什么(1)给出c≠0;而(2)没有给出x≠0
答:因为(1)等号左边的分母没有出现c所以要明确c≠0;而(2)等号左边的分式中分母已经出现x,如果x=0,则给出的分式没有意义.
总结:应用分式性质对分式进行变形的方法
(1)对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母,发生了怎样的变化.找到同乘(或除以)的整式.
(2)根据分析的结果,应用分式基本性质进行变形.
点拨:应用分式的基本性质时,一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
例2:不改变分式的值,使下列分子与分母都不含“-”.
(1).(2).(3)-.
解:(1)=-.(2)=.(3)-=.
例3:约分:(1).(2).(3).
解:(1)=-.
(2)=.
(3)==.
总结:约分的方法
(1)把分子、分母分解因式.
(2)约去分子、分母相同因式的最低次幂.
(3)尽量把分子、分母的最高次项的系数化为正数.
注意:分子分母是多项式,应先分解因式再约分.约分的过程中注意完全平方式(a-b)2=(b-a)2的应用.
例4:通分:
(1)与.(2)与.
分析:通分要想确定各分式的公分母,一般要取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
==.
==.
(2)最简公分母是(x+5)(x-5).
==.
==.
总结:确定最简公分母的方法
(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数.
(2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.
(3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.
三、交流反思
“四化”充分展现了分式基本性质的应用:“简化”(约分);“同化”(通分);“整化”;“正化”,整个过程从数学美的角度自然顺畅、合情合理地引入了四类问题,四类问题的条件似乎成了学生大脑中固有的想法,只不过要通过审美行为来激活而已.
四、检测反馈
1.下列各式约分中,正确的是 (　　)
A.=b
B.=-1
C.=-1
D.=a-b
2.下列分式是最简分式的是 (　　)
A.　 　B.　 　C.　 　D.
3.下列等式成立的是 (　　)
A.=-
B.=-
C.=-
D.=-
4.若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍,则此分式的值 (　　)
A.是原来的20倍
B.是原来的10倍
C.是原来的
D.不变
5.化简的结果为________;分式,,,的最简公分母是_____.
6.约分:
(1).(2).(3).
通分:(1)与.(2)与.
(3)与.
7.不改变下列分式的值,使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数
(1).(2).
8.请从下列三个代数式中任意选两个构成一个分式,并化简该分式.
x2-4xy+4y2,x2-4y2,x-2y
五、布置作业
教科书P141-142第1,2,3题,P144练习,P145习题18.1第5,6,7,8,9,10,12题
六、板书设计
18.1.2　分式的基本性质
“四化”分式的基本性质
七、教学反思
　　本节课的内容有三点:分式的基本性质、约分、通分.总的来说分式的基本性质比较简单.因为分式的基本性质和分数的基本性质一样,一理通,百理通.约分和通分都是根据分数的基本性质来做的.但是在实际计算中,分式的约分和通分比分数要复杂,这是因为在这之前需要先对分子分母进行因式分解,再找出最简公分母,这中间还有分式是否有意义的问题.因式分解这个知识点是上学期学的,必须要复习.
在分数基本性质、分数约分的基础上,学习分式基本性质、分式约分方法,让学生体会到类比的思想.由学生自己归纳,体现了学生是学习的主人,可以培养学生的语言表达能力和总结知识的能力.