18.2 分式的乘法与除法
第2课时
【教学目标】
1.掌握分式的乘方法则,并能用法则进行计算.
2.能熟练地进行分式的乘方、乘除混合运算.
3.通过应用分式的乘除法法则进行混合运算及分式乘方原理与规律的探索,在应用探索的过程中,养成反思的习惯.
【重点难点】
重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算.
难点:熟练地进行分式乘除法及乘方的混合运算.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
1.回顾:分式的乘除法运算法则如何 积的乘方法则是什么
2.实数乘除混合运算的运算顺序是如何规定的 分式乘除混合又该如何运算呢 分式的乘方如何运算呢 这就是我们今天所要学习的内容.
二、探究归纳
活动一:分式乘除混合运算
1.计算÷·.
展示点评:÷·
=··
=··=.
2.分组讨论:在这个式子中包含几种运算 本题的运算顺序是怎样的
3.总结:本题包含(1)分式的除法运算;(2)分式的乘法运算;(3)分式的乘除混合运算.
同分数的混合运算方法是一致的.分式的乘除、乘方混合运算顺序:先算乘方,再算乘除(同级运算应按从左到右的顺序进行),有括号的先算括号内的.
活动二:探究分式的乘方的法则
1.回顾幂的运算法则
(1)am·an=________;(2)am÷an=________;
(3)(am)n=________;(4)(ab)n=________.
2.探究:计算下列各式
(1)2=×=.
(2)3=××=.
(3)4=×××=.
(4)5=××××=.
3.类比上面的例题归纳:
n=·=.
n===,即n=(n为正整数).
归纳:分式的乘方法则:
(1)文字语言:分式乘方要把分子、分母分别乘方.
(2)字母表示:n=(n是正整数).
点拨:分式的分子与分母乘方时,一定要加上括号,分式本身的符号也要乘方.
活动三:应用举例
例1:·÷.
分析:分式的乘除混合运算是化除为乘,统一成乘法运算.
解析:原式=··=.
总结:分式乘除运算的两点注意:
1.运算顺序:分式的乘除运算要从左到右依次运算;
2.运算技巧:乘除混合运算,先统一成乘法运算,能约分的要先约分,以减少运算量.
例2:(1)-3;(2)-3·-2÷4.
分析:(1)先确定符号,再根据乘方的法则运算;
(2)先乘方,再进行分式的乘除运算.
解析:(1)-3=-=-;
(2)3·2÷4=··
=-.
点拨:在运算时,先确定运算结果的符号,负数的偶次幂为正,而奇次幂为负;式与数有相同的运算顺序,先乘方,再乘除.
三、交流反思
(1)分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.·==.
(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.÷=·=.
(3)分式的乘方法则:根据乘方的意义转化为乘法,利用分式的乘法法则进行运算.
(4)同级运算按从左到右的顺序进行
四、检测反馈
1.计算a÷b×的结果为 ( )
A.a B. C. D.1
2.计算·÷-的结果是 ( )
A. B.- C. D.-
3.计算a3·2的结果是 ( )
A.a B.a5 C.a6 D.a9
4.化简÷·,其结果是 ( )
A.-2 B.2
C.- D.
5.计算:(1)3xy2÷-3·2;
(2)÷·.
(3)÷(a+1)·.
6.计算:3÷2·2,其中a=-,b=.
7.通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜和西瓜瓤看成球心在同一点上的球体,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜皮的厚度是d,已知球的体积公式为V=πR3(其中R为球的半径),如果西瓜的半径为R,那么
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积之比是多少
(2)你认为购买大西瓜合算还是买小西瓜合算 说明理由.
五、布置作业
教科书P150练习第1,2题,P150第3题,P151第3,4,5,10题.
六、板书设计
18.2 分式的乘法与除法
(第2课时)
1.分式乘除混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,有括号的先算括号内的.
2.分式的乘方法则:
(1)文字语言:分式乘方要把分子、分母分别乘方.
(2)字母表示:n=(n是正整数).
七、教学反思
在进行分式的乘方、乘除混合运算时,先乘方,其次观察分式的分子和分母能否分解因式,再将除法转化为乘法,然后约分,直到化为最简分式或整式.分式的分子、分母都是多项式的分式除法先转化为乘法,然后把多项式进行因式分解,最后约分.如果除式是整式,则把它的分母看作“1”.
在分式乘方教学中,通过回忆乘方的意义,让学生利用乘方的意义和分式的乘除法则进行一些具体的计算,进而归纳出分式的乘方法则,再通过一组练习加深对运算法则的理解和应用.本节课知识点较多,对运算法则的推理过程占了相当多的时间,因此,对基本法则的理解和熟练程度还有待于在后续的练习中予以加强.18.2 分式的乘法与除法
第1课时
【教学目标】
1.掌握分式的乘除运算法则.
2.会进行分式的乘除运算.
3.能用分式的乘除运算解决有关的实际问题.
4.经历观察、猜想、归纳等探索分式的乘除运算法则的过程,使学生感知数学知识具有普遍联系性,并熟练掌握这一法则.
【重点难点】
重点:熟练掌握分式的乘除法法则.
难点:熟练进行分式的乘除运算,尤其是分子分母为多项式的分式的运算,正确体会具体的运算过程和一般步骤.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高为多少
通过提问后,列式:·.
问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
通过提问后,列式:÷.
完成问题1,2后,师追问:以上两类式子是什么运算
如何进行分式的乘除运算,这一节课我们就来探究.
二、探究归纳
活动一:探究分式的乘除法则
1.请同学们阅读、观察下列运算:
×=,
×=,
÷=×=,
÷=×=.
问题1 上述运算我们熟悉吗 它的依据是什么
通过提问共同解决:分数的乘除运算,体现了分数的乘除运算法则.
问题2 能用文字表述这一法则吗
学生往往能做但说不好,注意引导.内容为(屏幕显示):
分数乘法法则:分数乘以分数,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.
分数除法法则:分数除以分数,把除数的分子和分母颠倒位置后,再和被除数相乘.
同学们思考:分式如何进行乘除混合运算
×= ÷=
2.类比分数的乘除,归纳分式的乘除法则:
(1)分式的乘法:
①文字语言:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
②字母表示:·=
(2)分式的除法:
①文字语言:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
②字母表示:÷=·=.
点拨:通过类比,得出:分式乘除法与分数乘除法类似.
活动二:应用举例
例1:计算:(1)·.
(2)·.
分析:(1)根据分式乘法法则运算,约分化为最简分式.
(2)分子、分母是多项式的,先因式分解,再利用法则约分化为最简分式.
解析:(1)·==.
(2)·=·===.
点拨:分式乘法运算的实质就是约分.因此,分式乘法的计算结果必须通过约分化为最简分式或整式.
例2:计算:(1)÷.(2)÷
分析:先把除转化为乘,再按分式的乘法法则进行计算.
解析:(1)÷=·=.
(2)÷=·=.
三、交流反思
这节课我们学习了分式的乘除法则,
(1)“类比”是数学学习中的重要方法,体会“类比”的思想.
由分数的乘除法类比到分式的乘除法,分式的除法可以化归为分式的乘法.
(2)牢记法则,熟练运用法则对分式进行乘除.
(3)运用法则时,注意符号变化.
(4)体会因式分解在乘除法中的应用.
四、检测反馈
1.下列各式计算不正确的是 ( )
A.a÷= B.·=1
C.÷=a D.a2÷=a4
2.化简÷的结果是 ( )
A. B.a
C.a-1 D.
3.化简-÷的结果是 ( )
A.-a-1 B.-a+1
C.-ab+1 D.-ab+b
4.计算:(1)·=________,
(2)(ab-b2)·=________.
5.化简:÷=________.
6.在如图所示的甲乙两块地上(阴影部分)各栽m棵树,则甲乙两块地中的每棵树平均所占的面积之比为________.
7.计算:(1)·.
(2)··.
(3)÷8x2y.(4)÷.
8.先化简,再求值:
÷,其中x=2,y=-1.
五、布置作业
教科书P148第1,2,3,4题P150-151习题18.2第1,2,6,7,8,9题
六、板书设计
18.2 分式的乘法与除法
(第1课时)
(1)分式的乘法: 例题讲解 练习
·=.
(2)分式的除法:
÷=·=.
七、教学反思
本节的核心就是熟练掌握分式的乘除法法则,故而,整堂课紧紧围绕分式的乘除法运算来组织教学,重点突出.通过与分数乘除法运算的类比,使学生较易掌握本节内容.而难点则通过逐层推进、交流探讨、适时反思的形式实现突破,使学生掌握正确的运算方法、运算顺序.
在教学中,老师采用了类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法则.学生反应较好,能基本上完整地讲出分式的乘除法法则.
