18.4　整数指数幂 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

18.4　整数指数幂
【教学目标】
1.理解负整数指数幂a-n=(a≠0,n是正整数).
2.掌握整数指数幂的运算性质.
3.会用科学记数法表示小于1的数.
4.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展代数推理能力和有条理的表达能力.
【重点难点】
重点:整数指数幂的运算性质、科学记数法表示小于1的数.
难点:认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.
【教学过程】
一、导入新课
1.根据已学过的幂的运算性质,计算下列题目:
①35×33;②a1·a0;③(x3)3;④(mn)4;⑤a5÷a3.
2.(学生回答,教师导课)am÷am=am-m,若把条件 (a≠0.m,n是正整数,m>n)中的m>n这个条件去掉,性质是否成立,a3÷a5,103÷107等于多少 这一节课我们进一步研究上面的问题.
二、探究归纳
活动一:探索负整数指数幂的性质:
1.回忆正整数指数幂的运算性质:
(1)同底数的幂的乘法:am·an=am+n(m,n是正整数);
(2)幂的乘方:(am)n=amn(m,n是正整数);
(3)积的乘方:(ab)n=anbn(n是正整数);
(4)同底数的幂的除法:am÷an=am-n( a≠0,m,n是正整数,m>n);
(5)商的乘方:n=(n是正整数);
2.问题:(1)你还记得a0=1(a≠0)是怎么得到的吗
由于am÷am=1,又若利用同底数幂的除法处理可得am÷am=am-m=a0,于是规定了a0=1(a≠0).
(2)同底数幂除法公式am÷an=am-n中,a,m,n有什么限制吗
有.a≠0,m,n是正整数,m>n.
(3)你会计算它们吗 53÷55=________;103÷107=________.
思路一:53÷55==,103÷107==.
思路二:53÷55=53-5=5-2,103÷107=103-7=10-4.
说明:若学生不能形成两大思路,可适时引导,造成冲突,激化矛盾,引起思考.
(4)由以上计算,你能发现什么
发现:5-2=;10-4=.
(5)请你类比0指数的规定,你认为可作怎样的规定 能用一般的公式表示吗
能.
规定:当n是正整数时,a-n=(a≠0),即任何不等于零的数的-n(n为任何正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数.
(6)议一议:为什么公式中规定a≠0
因为a实际上是处在分母的位置上.
活动二:引入负整数指数幂后,指数的取值范围就扩大到全体整数,现在am 中指数m可以是哪些整数 am各表示什么意思
思考:引入负整数指数和0指数后,am ·an=am+n(m,n都是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形 计算下列各式,并判断各组式子有怎样的关系
(1) a2·a-3=________=________,
则 a2·a-3________.
(2)a-3·a-5=________=________,
则a-3·a-5________.
(3)a0·a-5=________=________,
则a0·a-5________.
即:am ·an=________(a≠0,m,n为________).
所以,引入负整数指数和0指数后,am ·an=am+n(m,n都是正整数)这条性质________(能或不能)推广到指数m,n是任意整数的情形.类似地,幂的运算性质都________(能或不能)推广到指数m,n是任意整数的情形.
总结:正整数指数幂的运算性质在整数范围内仍然适用
(1)am·an=am+n(m,n是整数).
(2)(am)n=amn(m,n是整数).
(3)(ab)n=anbn(m,n是整数).
活动三:科学记数法
1.小于1的正小数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式,其中a是整数数位只有一位的正数,n是正整数.
2.探究:用科学记数法表示小于1的正小数时,连续0的个数(包括小数点前的0)与10的指数的关系:
0.1=10-1,0.01=10-2,0.001=10-3,0.000 1=10-4,0.000…1=10-n
归纳:小于1的正小数,连续零的个数(包括小数点前的零)等于10的幂的指数的绝对值
点拨:大于1的整数的位数减1等于10的幂的指数.两者勿混.
活动四:应用举例
例1:计算:(1)(2a3b-2)-3(a-2b3)2;
(2)4xy2z÷(-2x-2yz-1).
分析:根据整数指数幂的运算法则计算,结果化为整式或分式.
解析:
(1)(2a3b-2)-3(a-2b3)2=2-3·(a3)-3·(b-2)-3·(a-2)2·(b3)2
=·a-9·b6·a-4·b6=·a-13·b12=;
(2)4xy2z÷(-2x-2yz-1)=[4÷(-2)]·x1-(-2)·y2-1·z1-(-1)=-2x3yz2.
点拨:整数指数幂的运算按照整数指数幂的运算性质进行,先乘方,再乘除,最后算加减.
例2:石墨烯是世界上目前最薄却也是最坚硬的纳米材料,还是导电性最好的材料,其理论厚度仅为0.000 000 000 34米.该数用科学记数法表示为 (　　)
A.0.34×10-9　　　 B.34.0×10-11
C.3.4×10-10 D.3.4×10-9
解析:选C.因为0<0.000 000 000 34<1,所以用科学记数法表示时,应该用负整数指数.因为原数左起第一个非零数字以前共有10个0,所以0.000 000 000 34=3.4×10-10.
总结:将一个数据表示成科学记数法a×10n的形式,表示之前需要仔细观察数据是绝对值大于1的较大数据还是小于1的较小数据.若数据是绝对值大于1的较大数据,表示成a×10n的形式中,n为正整数,其值为数据中整数数位减去1,若数据是绝对值小于1的较小数据,表示成a×10n的形式中,n为负整数,其值为原数据中从左边起第一个非零数据前0的个数(包括小数点前的0).
三、交流反思
1.随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
2.绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10-n的形式,其中,a的取值为1≤|a|<10,但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.
四、检测反馈
1.(-2)-2等于 (　　)
A.-4　　　　B.4　　　　C.-　　　　D.
2.某桑蚕丝的直径约为0.000 016米,将0.000 016用科学记数法表示是 (　　 )
A.1.6×10-4 B.1.6×10-5
C.6.8×10-7 D.68×10-5
3.空气的密度为0.001 29 g/cm3,0.001 29这个数用科学记数法可表示为 (　　)
A.0.129×10-2 B.1.29×10-2
C.1.29×10-3 D.12.9×10-1
4.把0.22×104写成科学记数法的形式,正确的是 (　　)
A.2.2×103 B.2.2×104
C.2.2×105 D.2.2×106
5.(x-1+y-1)-1= (　　)
A.x+y B.
C. D.
6.若(x-3)-2有意义,则x________;若(x+3)0=1则x________.
若(x-2)0+(x-1)-1有意义,则x的取值范围是________.
7.计算(2-3)-1-(-1)0的结果是________.
8.计算:(1)5-2;(2)(-3)-5 ;(3)--2.
9.计算;(1);(2)(m+n)-5·(2m-n)3÷(m+n)-2.
五、布置作业
教科书P161练习第1,2题,P162练习第1,2题,P162习题18.4.
六、板书设计
18.4整数指数幂
1.负整数指数幂.　　　　　例:　　　 练习:
2.整数指数幂的运算性质.
3.用科学记数法表示小于1的数.
七、教学反思
本节课教学的主要内容是整数指数幂,整数指数是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学,教材中利用分式除法的意义及同底数幂相除的性质给出负整数指数及零指数的意义.在教学中我在复习幂的有关运算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数,如果是负数又表示什么意义呢 ”通过小组合作讨论让学生寻找规律,猜想出零指数幂和负整数指数幂的意义,通过观察、验证、探究等活动,加深对新知识的理解,调动了学生学习的积极性,而且印象更深,达到了预期的效果.
对于绝对值小于1的较小数据,表示成a×10n的形式中,n为负整数,其值为原数据中从左边起第一个非零数据前0的个数(包括小数点前的0).
通过将幂指数扩展到全体整数的探索,培养学生抽象的数学思维能力;合理运用公式进行有关计算,培养学生的计算能力以及综合分析问题的能力.其特点主要体现在:(1)以探索为主线;(2)立足已有知识与经验.