18.5　分式方程 第1课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

18.5　分式方程
第1课时
【教学目标】
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.
3.了解解分式方程解的检验方法.知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.
4.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
【重点难点】
重点:可化为一元一次方程的分式方程的解法.
难点:检验分式方程解的原因.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少
分析:设江水的流速为v km/h,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程=.
类似这样的方程是什么方程呢,如何解此方程呢 这就是本课所学习的主要内容.
二、探究归纳
活动一:探究分式方程的概念
1.问题:上面所得到的方程=是我们以前学过的方程吗 以前我们学过什么方程 试举例说明.
2.订正:不是,以前学过一元一次方程和二元一次方程,如x-1=3,x+y=7等.
3.比一比:以前学过的方程与上面刚得到的方程有什么不同
以前学过的都是整式方程,里面没有分式,而刚才的两个方程都含分式,且有未知数处在分母的位置上.
4.说一说:你能尝试给它一个名字吗 说一说命名的原因.
估计学生能答出——分式方程,因为里面含有分式.
5.想一想:方程x+(x+1)=是不是分式方程
为什么 你能归纳出分式方程的概念吗
不是,因为它不含分式,分母中没有未知数.
6.归纳:分式方程:分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
注意:以前学过的分母里不含有未知数的方程叫作整式方程.
活动二:探究分式方程的解法
1.问题1:回顾解一元一次方程的方法步骤,思考解一元一次方程是怎么去分母的
师生共解方程+=2.
2.类比解一元一次方程的方法步骤,
(1)解分式方程:(1)=;
(2)=.
为了解决本问题,请同学们先思考并回答以下问题:
(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法,想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢
在学生回答的基础上,让学生板演订正.
(3)师引导学生后,概括:
解分式方程的过程实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
3.验根的必要性:
解方程=.
(1)生做订正:方程两边同乘(x+1)(x-1),约去分母,得x+1=2.
解这个整式方程,得x=1.
(2)问题:x=1真是原分式方程的解吗
督促学生进行检验、反思.学生通过代回发现:x=1时,原方程的分母为0,分式根本没有意义,产生困惑:问题出在哪里
组织学生讨论,达成共识:问题只能出现在“去分母”这一步,其他步骤一点问题都没有.师捕住时机,强调验根的必要性,解分式方程必须验根.
活动三:应用举例
例:解方程:=.
分析:先去分母,将分式方程转化为整式方程,解所得的整式方程,验根作答.
解析:方程两边乘(x+1)(x-1),得2(x+1)=4.解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0.
所以x=1不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
总结:解分式方程的步骤:
(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(2)解所得的整式方程;
(3)验根作答.
注意:方程中分母是多项式,要先分解因式,再找公分母.
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索分式方程的解法步骤:观察——类比——归纳.
2.通过本节课探索出分式方程的解法步骤.
四、检测反馈
1.下列方程不是分式方程的是 (　　)
A.=1　　　　　　 B.+=1
C.+=2 D.-=x
2.分式方程=的解是 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.无解
3.分式方程-=的解为 (　　)
A.x= B.x=
C.x=5 D.无解
4.已知x=1是分式方程=的根,则实数k=________.
5.当x=________时,分式与分式的倒数相等.
6.关于x的分式方程+=1的解为正数,则m的取值范围是________.
7.若关于x的方程=无解,则m=________.
8.解方程:(1)+=1.
(2)+1=.
五、布置作业
教科书P166练习,P169习题18.5第1,2题.
六、板书设计
18.5　分式方程
(第1课时)
1.分式方程:分母中含有未知数的方程.　　例题　 练习
2.解分式方程的步骤:
(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(2)解所得的整式方程;
(3)验根作答.
七、教学反思
解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想),基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母),而正是这一步有可能使方程无解(产生增根).让学生在学习中讨论从而理解、掌握.启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.