18.5　分式方程 第2课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

18.5　分式方程
第2课时
【教学目标】
1.会分析题意找出等量关系.
2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
3.能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
4.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决实际问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
【重点难点】
重点:利用分式方程组解决实际问题.
难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行.甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样二人恰好在AB中点处相遇,又知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人速度.
你能列出方程求出甲、乙二人速度吗 这一节课我们就来研究这一问题.
二、探究归纳
活动一:探究列分式方程解应用题的步骤
1.复习列方程解应用题的一般步骤:
(1)________;(2)________;
(3)________;(4)________;
(5)________.
订正:复习列方程解应用题的一般步骤:(1)审;
(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.
2.类比一般方程,得出列分式方程解应用题的步骤:
(1)________;(2)________;
(3)________;(4)________;
(5)________;(6)________.
订正:分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意,找清等量关系;(2)设:设未知数;
(3)列:列分式方程;(4)解:解列出的分式方程;
(5)验:检验分式方程是否有解,并检验分式方程的解是否符合实际意义;(6)答:写出答案(不要忘记写上单位).
即:(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答.
活动二:由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型
在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有四种:
(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
(2)工程问题
基本公式:工作量=工作时间×工作效率.
(3)数字问题:
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水.v逆水=v静水-v水.
活动三:应用举例
例1:甲乙两人分别从相距36千米的A,B两地相向而行,甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人的速度各是多少
分析:
路程 速度 时间
甲 18+1×2 x+0.5
乙 18 x
等量关系:t甲=t乙.
解:设乙的速度为x千米/小时,则甲的速度为(x+0.5)千米/小时.
根据题意,列方程得=.解得x=4.5.
检验:当x=4.5时,x(x+0.5)≠0.所以,x=4.5是原方程的解.则x+0.5=5.
答:甲的速度为5千米/小时,乙的速度为4.5千米/小时.
点拨:等量关系是时间相等,那么就要找到相等时间里每个人所走的路程,甲的路程比乙的路程多两个1千米.
例2:一项工程,需要在规定日期内完成,如果甲队独做,恰好如期完成,如果乙队独做,就要超过规定3天,现在由甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,也刚好在规定日期内完成,问规定日期是几天
分析:关键描述语为:“由甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,也刚好在规定日期内完成”;本题的等量关系为:甲2天的工作量+乙规定日期的工作量=1,把相应数值代入即可求解.
解:设规定日期是x天,则甲队独做需x天,乙队独做需(x+3)天,
根据题意,列方程得+=1.解得x=6.
检验:当x=6时,x(x+3)≠0.所以,x=6是原方程的解.
答:规定日期是6天.
点拨:解决本题的关键是得到工作量1的等量关系;易错点是得到甲乙两队各自的工作时间时出错.
三、交流反思
1.列分式方程解应用题,应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设,也可间接设)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和作答.
四、检测反馈
1.小明从家里骑自行车到学校,每小时骑15 km,可早到10分钟,每小时骑12 km就会迟到5分钟.问他家到学校的路程是多少 km 设他家到学校的路程是x km,则据题意列出的方程是 (　　)
A.+=-　　　 　B.-=+
C.-=- D.+10=-5
2.某村计划新修水渠3 600米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠x米,则下面所列方程正确的是 (　　)
A.= B.-20=
C.-=20 D.+=20
3.某市今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米,设去年居民用水价格为x元/立方米,则所列方程为________.
4.一项工程,甲队单独做需40天完成,若乙队先做30天后,甲、乙两队一起合作20天恰好完成任务,请问:乙队单独做需要多少天才能完成任务
5.八年级学生到距离学校15千米的农科所参观,一部分学生骑自行车先走,过了40分钟后,其余同学乘汽车出发,结果两者同时到达.若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍,求骑自行车同学的速度.
6.某工厂承担了加工2 100个机器零件的任务,甲车间单独加工了900个零件后,由于任务紧急,要求乙车间与甲车间同时加工,结果比原计划提前12天完成任务,已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍.求甲、乙两车间每天加工零件各多少件
五、布置作业
教科书P168练习第1,2题,P169习题18.5第3-8题.
六、板书设计
18.5 分式方程
(第2课时)
1.列分式方程解决应用题的步骤　　　　例题　 练习
2.(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间.
(2) 工程问题:工作量=工作时间×工作效率.
七、教学反思
本节课整堂精心铺垫,结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开,选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型,并用数学模型描述日常生活,从而使学生在数学学习过程中掌握数学方法和数学思想的建构的过程,让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识,能够自觉地用数学的眼光观察世界,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.
分式方程解应用题的一般步骤:(1)审题设未知数,　(2)找等量关系列方程,(3)去分母化分式方程为整式方程,(4)解整式方程,(5)检验根是否符合实际意义,
(6)作答.