16.1.2　幂的乘方与积的乘方 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

16.1.2　幂的乘方与积的乘方
【教学目标】
1.理解幂的乘方、积的乘方法则.
2.熟练运用幂的乘方、积的乘方法则进行运算.
3.经历幂的乘方的运算性质探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力.
4.经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.
【重点难点】
重点:幂的乘方、积的乘方法则的推导和应用.
难点:幂的乘方、积的乘方法则的推导过程及灵活应用.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
　如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体积是乙球的n3倍.地球、木星、太阳可以近似地看作是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,你能计算出它们的体积分别约是地球的多少倍吗
大家知道太阳,木星和地球的体积的大致比例吗 我可以告诉你,木星的半径是地球半径的10倍,太阳的半径是地球半径的102倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少 (球的体积公式为V=r3)
导入新课:解:设地球的半径为1,则木星的半径就是10,因此,木星的体积为V木星=π·103= (引入课题)如何计算呢 本节课我们就一起学习和研究它的计算方法及应用.
二、探究归纳
1.【问题解决】请同学们思考一下a3代表什么 (102)3呢
【学生活动】分组讨论、交流,演示:
a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106.
2.知识探究
(1)乘方的意义:52中,底数是_____,指数是_____,表示_____;(52)3的意义:____________.
(2)根据幂的意义解答:
(52)3=_____(根据幂的意义)
=_____(根据同底数幂的乘法法则)
=52×3.
(am)2=_____=_____(根据am·an=am+n).
(am)n=_____(幂的意义)
=_____(同底数幂相乘的法则)
=_____(乘法的意义).
(3)总结:
幂的乘方的法则:(am)n=amn (m,n都是正整数),
语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(4)引导学生比较:幂的乘方与同底数幂的乘法性质的比较:
运算种类 指数
同底数幂的乘法 乘法 相加
幂的乘方 乘方 相乘
3.例题讲解
例1:计算:
(1);(2)-(a2)7 ;(3)[(-6)3]4.
分析:根据幂的乘方的运算法则,先找出底数, 再把指数相乘.
解:(1)原式=3×4=12.
(2)原式=-a2×7=-a14.
(3)原式=(-6)3×4=(-6)12=612.
例2: 若92n=38,求n的值.
解:依题意,得(32)2n=38,即34n=38.
所以4n=8.所以n=2.
点拨:可将等式两边化成底数或指数相同的数,再比较.
例3: 已知ax=3,ay=4(x,y为整数),求a3x+2y的值.
解:a3x+2y=a3x·a2y=(ax)3·(ay)2=33×42=27×16=432.
点拨:利用amn=(am)n=(an)m,可对式子进行灵活变形,从而使问题得到解决.
4.知识探究
(1)趣味猜想(感性认识)
若(ab)2=a2b2,则(ab)3=a( )b( ),(ab)n=a( )b( ).
(2)你能用你学过的知识验证你的猜想吗 从运算结果看能发现什么规律
①(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( );
②(ab)3=_____=_____=a( )b( );
③(ab)n=_____=_____=a( )b( )(n是正整数).
把你发现的规律用文字语言表述,再用符号语言表达.
5.教师引导分析
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2;
(2)(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3;
(3)(ab)n=
=·
=anbn.
6.总结:积的乘方运算法则:
(1)符号表示:(ab)n=an·bn(n是正整数).
(2)文字叙述:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
7.推广:(abc)n=anbncn (n是正整数)
点拨:积的乘方法则的推导实质是按从整体到部分的顺序去思考的.
8.应用举例
例4: 一个正方体的棱长为2×102毫米.
(1)它的表面积是多少 (2)它的体积是多少
解:(1)6×(2×102)2=6×(4×104)=2.4×105.
(2)(2×102)3=8×106.
点拨:结果用科学记数法表示时,a×10n中的a是整数位只有一位的数.
例5:计算:(1)(x4·y2)3;(2)(anb3n)2+(a2b6)n;
(3)[(3a2)3+(3a3)2]2.
解:(1)原式=x12y6.
(2)原式=a2nb6n+a2nb6n=2a2nb6n.
(3)原式=(27a6+9a6)2=(36a6)2=1 296a12.
点拨:先乘方再乘除后加减的运算顺序.
例6: 计算: (1)2 019×2 020;
(2)0.12515×(215)3.
解:(1)原式=×2019×=1×=.
(2)原式=15×(23)15=×815=1.
点拨:反用(ab)n=anbn可使计算简便.
三、交流反思
1.幂的乘方(am)n=amn(m,n都是正整数)使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.
2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或多项式.
3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.
4.积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
5.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数,也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.
6.要注意运算过程,注意每一步依据,还应防止符号上的错误.
四、检测反馈
1.计算(a2)3的结果是 (　　)
A.a5　　　　B.a6　　 　　C.a8　　　　D. a9
2.下列各式计算正确的是 (　　)
A.(a7)2=a9 B.a7·a2=a14
C.2a2+3a3=5a5 D.(ab)3=a3b3
3.填空:108=(_____)2;b27=(_____)9;
(ym)3=(_____)m;p2n+2=(_____)2.
4.如果a3=5,b6=2,那么(ab2)3________ .
5.一个立方体的棱长为25×102 cm,用a×10n cm3(1≤a<10,n为正整数)的形式表示这个立方体的体积为_____.
6.若x3·(xn)5=x13,则n=_____;已知a3n=4,则a6n=________.
7.计算:(x2yn)2·(xy)n-1=____________,(4a2b3)n=_____.
8.计算:(1)(-x3)5;(2)a6·(a2)3·(a4)2;
(3)[(x-y)3]2;(4)x2x4+(x2)3.
9.计算:(1)(-0.25)2017×(-4)2019;
(2)-2100×0.5100×(-1)2017-.
10.若xmx2m=3,求x9m的值;已知,44·83=2x,求x的值.
五、布置作业
教科书第101页练习,习题16.1
六、板书设计
16.1.2　幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则　　例题板演:学生板演
1.语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
2.字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数)
3.积的乘方运算法则:　　　例题　练习
(1)符号表示:(ab)n=an·bn(n是正整数)
(2)文字叙述:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
4.推广:(abc)n=anbncn(n是正整数).
七、教学反思
本节课开始以复习同底数幂相乘计算开始,进而回忆同底数幂的乘法法则,让学生自然地进入到新知识的构建中去,深刻体会到同底数幂相乘与幂的乘方运算之间的联系区别和传承关系,增加了对幂的乘方的学习兴趣.然后又通过类比、从特殊到一般的数学思想方法,了解幂的乘方运算法则的生成过程,通过让学生大胆发言阐述自己的理由,通过学生亲自动手动脑,更深刻体会到如何进行幂的乘方运算.
　　积的乘方公式的理解及应用是这节课的重点,首先要让学生理解这个公式,而要让学生理解这个公式,就要让学生理解积的乘方的含义.这组计算是以前的知识,学生能够比较轻松完成.然后引导学生推导(ab)3和(ab)n.导出性质后,要通过一些实例说明其表达式及语言叙述中每句话的含义,以使学生更好的理解,并能在理解的基础上会用它进行计算.因此在后面设计了几个例题,以便学生进一步理解公式.
计算(-2x)3学生易错误得出-2x3,本题错误在于:括号内应看成-2·x两个因式,而上述结论显然对积的乘方意义缺乏理解,-2漏乘方,正确的应是(-2)3·x3=-8x3.