16.2　整式的乘法 第4课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

16.2　整式的乘法
第4课时
【教学目标】
1.会进行单项式除以单项式,多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的算理.
2.掌握整式除法运算方法,并会运算.
3.经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式,多项式除以单项式的运算法则的过程,掌握整式除法运算.
【重点难点】
重点:单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则.
难点:多项式除以单项式的运算法则的熟练应用.从逆运算入手,利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
　某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为7.9×103米/秒,则该卫星运行2.37×106米所需要的时间约为多少秒
人造地球卫星的轨道示意图
由题意列式可得(2.37×106)÷(7.9×103),怎样计算呢 这一节课我们来学习.
二、探究归纳
活动一:类比探索
1.计算下列各题,并说说你的理由:
把除法式子写成分数形式,把幂写成乘积形式,约分.
(1)(x5y)÷x2=x3y.
(2)(8m2n2)÷(2m2n).
(3)(a4b2c)÷(3a2b).
解:(1)(x5y)÷x2
=
=
=x·x·x·y
省略分数及其运算,上述过程相当于:
(1)(x5y)÷x2
=(x5÷x2)·y
=x5-2·y　　(2)(8m2n2)÷(2m2n)
=(8÷2)·(m2÷m2)·(n2÷n)
=(8÷2)·m2-2·n2-1
(3)(a4b2c)÷(3a2b)
=(1÷3)(a4÷a2)(b2÷b)c
=a4-2b2-1c
=a2bc.
2.观察探索:
(1) (2) (3) 被除式 除式 商式
(x5y)÷x2=x5-2·y (8m2n2)÷(2m2n)=(8÷2)·m2-2·n2-1; (a4b2c)÷(3a2b)=(1÷3)·a4-2·b2-1·c.
仔细观察一下,并分析与思考下列几点:
(1)单项式除以单项式,其结果(商式)仍是一个单项式.
(2)商式的系数=(被除式的系数)÷(除式的系数).
(3)(同底数幂)商的指数=(被除式的指数)-(除式的指数).
(4)被除式里单独有的幂,写在商里面作因式.
3.总结:单项式的除法法则:单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
活动二.引例:因为
(ma+mb)÷m=(ma+mb)×
=ma×+mb×=a+b.
ma÷m+mb÷m=a+b.
所以(ma+mb)÷m=ma÷m+mb÷m.
仿照上面的计算,完成下面各题
(1)因为(ma+mb+mc)÷m=_____;
ma÷m+mb÷m+mc÷m=_____;
所以________=________.
(2)因为(x2y2-xy+x)÷x=________;
x2y2÷x-xy÷x+x÷x=________.
所以________=________.
如果式子中的“+”换成“-”,计算仍成立吗
观察上面的计算,总结、归纳多项式除以单项式该如何进行
教师引导生总结得出:多项式除单项式的法则:
(1)语言叙述:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
(2)式子表示:(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m(m≠0).
活动三:例题讲解
例1:计算:
(1)28x4y2÷7x3y;(2)-5a5b3c÷15a4b;
(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3.
分析: (1)、(2)直接运用单项式除法的运算法则;
(3)要注意运算顺序:先乘方,再乘除,再加减.
解析:(1)28x4y2÷7x3y =(28÷7)·x4-3·y2-1=4xy.
(2)-5a5b3c÷15a4b =(-5÷15)a5-4b3-1c
=-ab2c.
(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y 3
=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3
=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3
=(-56÷14)·x7-4·y5-3 =-4x3y2.
点拨:单项式除法法则四点注意:
(1)把数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数包含它前面的符号.
(2)把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数.
(3)被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏.
(4)要注意运算顺序,有乘方要先算乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.
例2:计算:(1)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d).
(2)(24m3n-16m2n2+mn3)÷(-8m).
分析:用多项式的每一项去除以多项式,再把所得的商相加.要注意运算不能漏项,注意符号的变化.
解析: (1)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d)
=(6c2d)÷(-2c2d)-(c3d3)÷(-2c2d)=-3+cd2;
(2)(24m3n-16m2n2+mn3)÷(-8m)
=(24m3n)÷(-8m)-(16m2n2)÷(-8m)+(mn3)÷(-8m)
=-3m2n+2mn2-n3.
点拨:多项式除以单项式四点注意:
(1)多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决;
(2)多项式是几项,所得的商即为几项;
(3) 要注意商的符号,应弄清多项式中每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除;注意符号的变化;
(4)注意运算顺序,灵活地运用有关运算公式.
例3:月球距离地球大约 3.84×105千米, 一架飞机的速度约为 8×102 千米/时.　如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多少时间
解析:3.84×105 ÷( 8×102 )
=(3.84÷8)×( 105 ÷ 102 )=0.48×103
=480(小时)=20(天) .
答:如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要20天.
三、交流反思
1.单项式除以单项式运算时,要注意系数相除与同底数的幂相除的区别:后者运算时是将指数相减,然而前者是有理数的除法.对于单项式除以单项式,仅仅考虑整除的情况.
2.多项式除以单项式时应注意运算中的问题:一是所除的商要写成省略括号的代数和,二是除式与被除式不能交换,还要注意运算顺序,应灵活地运用有关运算公式.
四、检测反馈
1.计算3x3÷x2的结果是 (　　)
A.2x2　　　　B.3x2　　　　C.3x　　　　D.3
2.下列运算中,正确的是 (　　)
A.2a2+3a2=5a4 B.5a2―2a2=3
C.a3×2a2=2a6 D.3a6÷a2=3a4
3.如果(　　)×2a2b=-6a3b2,则(　　)内应填的代数式是 (　　)
A.-3ab2 B.-3ab
C.3ab D.3ab2
4.(6m2n-6m2n2-3m2)÷(-3m2)的值为 (　　)
A.-2n+2n2 B.-2n2-2n2+1
C.-2n+2n2+1 D.-2n+2n2-1
5.计算:
(1)(-4a2b)2÷(2ab2).
(2)-16(x3y4)3÷-x4y52.
(3)(2xy)2·-x5y3z2÷(-2x3y2z)4.
(4)18xy2÷(-3xy)-4x2y÷(-2xy).
6.计算:
(1) (6m2n-6m2n2-3m2)÷(-3m2).
(2)(8x4-6x3-4x2+10x)÷(-2x).
(3)a3b2c-a2bc÷-a2c.
7.先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=1,y=-3.
8.木星的质量约是1.90×1024吨.地球的质量约是5.08×1021吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗
五、布置作业
教科书P109练习第2,3题,P110习题16.2第5,6,7(2)题.
六、板书设计
16.2　整式的乘法(第4课时)
1.单项式除以单项式法则的理解:例题板演　练习板演
2.多项式除以单项式
(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m(m≠0).
七、教学反思
单项式除以单项式运算的实质是把单项式除以单项式的运算转化为同底数幂除法运算,因此在学习本课知识之前对同底数幂除法运算进行复习巩固.
多项式除以单项式的法则导出:根据除法是乘法的逆运算可知,多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算.故多项式除以单项式的法则也可以看作是乘法对加法的分配律的应用.因此建议在学习本课知识之前可对单项式的除法运算进行复习巩固.
多项式除以单项式,其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式,结果仍是多项式,其项数与原多项式的项数相同.因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算,再准确应用相关的运算法则.