16.3.1　平方差公式 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

16.3　乘法公式
16.3.1　平方差公式
【教学目标】
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式.
2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.
3.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.
【重点难点】
重点:用平方差公式进行整式计算.
难点:准确把握运用平方差公式的特征.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
　[师问题]你能用简便方法计算下列各题吗
(1)2 001×1 999; (2)998×1 002.
[生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2 001可以写成2 000+1,1 999可以写成2 000-1,那么2 001×1 999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.
[生乙]那么998×1 002=(1 000-2)(1 000+2)了.
[师]很好,请同学们自己动手运算一下.
[生](1)2 001×1 999=(2 000+1)(2 000-1)
=2 0002-1×2 000+1×2 000+1×(-1)
=2 0002-1=4 000 000-1=3 999 999.
(2)998×1 002=(1 000-2)(1 000+2)
=1 0002+1 000×2+(-2)×1 000+(-2)×2
=1 0002-22=1 000 000-4=1 999 996.
[师总结]2 001×1 999=2 0002-12;
998×1 002=1 0002-22 .
它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢 我们继续进行探索.
二、探究归纳
活动一:学生动手,得到公式
1.计算下列多项式的积:
①(x+1)(x-1);②(m+2)(m-2);
③(2x+1)(2x-1).
生计算师订正:①(x+1)(x-1) = x2-x+x-1 = x2-1;
②(m+2)(m-2) = m2-2m+2m-4=m2-4;
③(2x+1)(2x-1) = 4x2-2x+2x-1 = 4x2-1.
2.提出问题:
观察上述算式,你发现什么规律 运算出结果后,你又发现什么规律
3.分析特点:
等号的一边:两个数的和与差的积,等号的另一边:是这两个数的平方差.
4.得到结论:(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 =a2-b2.
平方差公式:
(1)字母表示:(a+b)(a-b) =a2-b2.
(2)语言叙述:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫作(乘法的)平方差公式.
活动二:思考讨论:平方差公式的几何验证
你能根据如图中的面积说明平方差公式吗
学生讨论并回答,教师总结:
(a+b)(a-b)为长方形①与③的面积和,a2-b2则是长方形①与②的面积和,而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形,面积相等.
所以(a+b)(a-b) = a2-b2.
活动三:例题讲解
例1:运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);(2)(b+2a)(2a-b);
(3)(-x+2y)(-x-2y).
分析:(1)中可以把3x看作a,2看作b.直接运用平方差公式计算,(2)、(3)形式上不符合公式特征,可先做一些简单的转化,使它符合平方差公式的特征,再运用平方差公式计算.
解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
例2:计算:(1)102×98.
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
分析:(1)先写成符合平方差公式的形式,再运用平方差公式计算,(2)先运用平方差公式和多项式乘以多项式的法则计算,再合并同类项.
解:(1)102×98=(100+2)(100-2)
=1002-22=10 000-4=9 996.
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
三、交流反思
运用平方差公式计算,关键是掌握公式的结构特征:(1)公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式;(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式,(3)有些式子形式上不能应用公式,但通过适当变形可以应用公式.
四、检测反馈
1.计算(2a+5)(2a-5)的结果是 (　　)
A.4a2-25　 　 B.4a2-5
C.2a2-25　　 D.2a2-5
2.下列能利用平方差公式计算的是 (　　)
A.(2m-n)(2m-n) B.(x+3)(x-2)
C.(2m-n)(-n+2m) D.(-2m-n)(2m-n)
3.下列计算正确的是 (　　)
A.(x+5)(x-5)=x2-10
B.(x+6)(x-5)=x2-30
C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4
D.(-5xy-2)(-5xy+2)=25x2y2-4
4.计算(1-m)(-m-1)=________.
5.观察图中图形的变化过程,计算其中空白图形的面积能验证的公式是_________.
6.利用平方差公式计算:
(1)(3+4m)(-3+4m);
(2)(-2x-3)(2x-3);
(3)(4a-3b)(3b+4a);
(4)(x+y-z)(x-y-z);
(5)(-x+y)(-x-y)-(y+1)(y-2);
(6)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1.
7.计算: 2 0252-2 024×2 026.
8.先化简,再求值:(2+x)(2-x)+x(x-4),其中x=2.
五、布置作业
教科书P113-114练习第1,2,3题,P117习题16.3第1,6题.
六、板书设计
16.3　乘 法 公 式
16.3.1　平方差公式
平方差公式　　例题板演　　练习板演
语言叙述:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.
符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2.
七、教学反思
　　运用平方差公式计算,关键是掌握公式特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)两个二项式中一项相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方.只有符合公式特点的才能运用平方差公式计算.平方差公式的推导:从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式.(1)“数”方面:平方差公式可以用整式的乘法,用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,合并后即可推导出平方差公式.(2)“形”方面:可以运用某个图形形状变化前后的面积不变,但面积的表达式不同来推导平方差公式.