16.3.2　完全平方公式 第1课时 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

16.3.2　完全平方公式
第1课时
【教学目标】
1.理解完全平方公式的推导和应用.
2.掌握完全平方公式的应用.
3.利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法.
【重点难点】
重点:完全平方公式的推导和应用.
难点:完全平方公式的应用.从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,利用几何模型和割补面积的方法来验证公式的正确性.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
请同学们探究下列问题:
一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块塘,……
(1)第一天有a个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖
(2)第二天有b个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖
(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多 多多少 为什么
我们上一节学了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2,现在遇到了两个数的和的平方,这正是我们这节课要研究的问题.
二、探究归纳
活动一:完全平方公式的探索
问题:
1.计算下列各式,你能发现什么规律
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_____;
(2)(m+2)2=_____;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_____;
(4)(m-2)2=_____;
(5)(a+b)2=_____;
(6)(a-b)2=_____.
[生甲](1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1.
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4.
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p·(-1)+(-1)·p+(-1)×(-1)=p2-2p+1.
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2+m·(-2)+(-2)·m+(-2)×(-2)=m2-4m+4.
(5)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.
(6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
[生乙]我还发现(1)结果中的2p=2·p·1,(2)结果中4m=2·m·2,(3)、(4)与(1)、(2)比较只有一次项有符号之差,(5)、(6)更具有一般性,我认为它可以做公式用.
通过计算你有什么新的发现 请类比上节课平方差公式的学习过程,试着用语言叙述或式子表达出来.
学生交流,讨论.
2.总结:完全平方公式
(1)文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
(2)符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
3.分析特点:口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减.
4.完全平方公式和平方差公式不同:
(1) 形式不同.结果不同:
完全平方公式的结果是三项,即 (a±b)2=a2±2ab+b2;
平方差公式的结果是两项,　即(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)解题过程中要准确确定a和b,对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不漏乘2.
活动二:完全平方公式的验证:
1.学生可以通过计算来验证.
2.如学生想不到通过面积法,教师提示上一节课平方差公式的面积验证过程,提示如何验证(a+b)2=a2+2ab+b2.
先看图1,可以看出大正方形的边长是a+b,还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a,所以它的面积是a2.另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2.另外两个矩形的长都是a,宽都是b,所以每个矩形的面积都是ab;大正方形的边长是a+b,其面积是(a+b)2.于是就可以得出:(a+b)2=a2+2ab+b2.
3.学生尝试验证(a-b)2=a2-2ab+b2,分组交流,各组展示:
如图2中,大正方形的边长是a,它的面积是a2;矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形,长都是a,宽都是b,所以它们的面积都是ab;正方形HCGM的边长是b,其面积就是b2;正方形AFME的边长是(a-b),所以它的面积是(a-b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积,也就是(a-b)2=a2-2ab+b2.
总结:完全平方公式
(1)文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
(2)符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
活动三:例题讲解
例1:运用完全平方公式计算:
(1)2y-2.(2)(-x-y)2.
分析:(1)可看成2y和两数差的平方,运用两数差的平方公式来计算.
(2)可以看成是-x与-y两数和的平方,也可以看成-x与y两数差的平方,利用完全平方公式来计算.
解析:(1)方法一:2y-2
=(2y)2-2·2y·+2 =4y2-y+.
方法二:2y-2==(2y)2+2·2y·-+-2 =4y2-y+.
(2)方法一:(-x-y)2=[(-x)+(-y)] 2
=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2=x2+2xy+y2;
方法二:(-x-y)2=[-(x+y)] 2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
总结:运用完全平方公式计算的技巧:
(1)记忆完全平方公式的口诀:“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍在中央”;(2)(-a+b)2,(-a-b)2在计算中容易出现符号错误,可作如下变形:(-a+b)2=(b-a)2, (-a-b)2=(a+b)2.
例2:已知:a+b=3,ab=-4,求a2+b2的值.
分析:如果出现a、b的平方项并与ab(的积)发生联系,只需依据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行变形把a2+b2当成一个整体进行求解即可.
解析:因为(a+b)2=9,
所以a2+b2+2ab=9,
所以a2+b2+2×(-4)=9,
所以a2+b2=17.
点拨:完全平方公式的几种恒等变形
1.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
2.(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2;(a+b)2-(a-b)2=4ab.
3.ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=[(a+b)2-(a-b)2]=2-2.
三、交流反思
　本节课学习了(a±b)2=a2±2ab+b2,两个乘法公式,在应用时,(1)要了解公式的结构和特征.记住每一个公式左右两边的形式特征,记准指数和系数的符号;(2)掌握公式的几何意义;(3)弄清公式的变化形式;(4)注意公式在应用中的条件;(5)应灵活地应用公式来解题.
四、检测反馈
1.x2+2等于 (　　)
A.x4+2x2+　　　　 B.x4-x2+
C.x4+x2+ D.x4-2x2+
2.下列计算正确的是 (　　)
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x-y)2=x2-2xy-y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
3.若a,b是正数,a-b=1,ab=2则a+b= (　　)
A.-3　　　　B.3 　　　　C.±3　　　　D.9
4.如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是 (　　)
A.2m+3 B.2m+6
C.m+3 D.m+6
5.化简(x-1)(x+1)(x2-1)=________.
6.若a-=4,则a2+=_____.
7.计算:
(1)-2; (2)(2xy+3)2;
(3)-ab+2; (4)(7ab+2)2.
8.运用完全平方公式计算:
(1)1012. (2)9 9982.
9.先化简,再求值:
(a-b)2+a(2b-a),其中,a=-,b=3.
五、布置作业
教科书P115-116练习第1,2,3题,P117-118习题16.3第2,3,4,5,7题
六、板书设计
16.3.2　完全平方公式(第1课时)
完全平方公式　例题板演:　　练习
(a±b)2=a2±2ab+b2
七、教学反思
本节课充分发挥了学生自主学习、探究的能力.从归纳猜想、随堂练习到公式验证、巩固提高,都渗透着从学生自主探索,再到学生与学生之间的合作交流学习,都突出了学生是探索性学习活动的主体这一理念.此外,还充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想,在教学中渗透如数形结合思想、换元思想、化归思想,注重培养学生发现问题、解决问题的能力.