17.1　用提公因式法分解因式 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

第十七章　因式分解
17.1　用提公因式法分解因式
【教学目标】
1.理解因式分解的概念.
2.掌握用提公因式法把多项式分解因式.
3.经历从分解因数到分解因式的类比过程,掌握因式分解的概念,感受因式分解在解决问题中的作用.
【重点难点】
重点:掌握因式分解的概念及用提公因式法把多项式分解因式.
难点:正确地确定多项式的最大公因式.整式乘法与因式分解之间的关系.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
　在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.
在前面学习了整式的乘法,几个整式相乘可以化成一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢 这一节就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.
二、探究归纳
活动一:探究因式分解的定义
1.问题:填空并观察:
(1)计算:x(x+1)=_____;
(x+1)(x-1)=_____.
(2)请你将下列各式写成乘积的形式:
①x2+x=_____;②x2-1=_____;
③am+bm+cm=_____.
2.总结:因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫作把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
3.小组讨论:因式分解与整式乘法有什么关系
点拨:因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形,整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形,它们之间是互逆变形.
活动二:探究公因式的概念
1.问题:填空:(1)6与9的最大公约数是_____.
(2)多项式ma+mb+mc的公因式是_____.
2.总结:公因式的定义:组成多项式的各项都有一个公共的因式,叫作这个多项式各项的公因式.
3.小组讨论:归纳确定公因式的方法:
(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
(2)因式取各项相同的因式.
(3)因式的指数取次数最低的.
活动三:提取公因式法分解因式
1.把多项式ma+mb+mc写成两个整式积的形式是: ma+mb+mc=m(a+b+c),其中m是组成多项式各项的公因式,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商.
2.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提取公因式法.
3.分解因式:
(1)8a3b2+12ab3c.(2)2a(b+c)-3(b+c).
小组讨论:应用提取公因式法分解因式时,其关键是什么 另一个因式如何确定
4.点拨:关键是确定公因式;另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商.
活动四:例题讲解
例1:(1)7x2-21x.(2)8a3b2-12ab3c+ab.
(3)-24x3+12x2-28x.(4)6(x-2)+x(2-x).
分析:先确定公因式,再用提取公因式法进行因式分解.
解析:(1)原式=7x·x-7x·3=7x(x-3).
(2)原式=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b- 12b2c+1) .
(3)原式=-4x·6x2+(-4x)·(-3x)-4x·7=
-4x(6x2-3x+7).
(4)原式=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x).
总结:1.确定公因式的方法: (1)确定系数:系数应是各项系数的最大公约数.(2)确定字母:字母是每一项都有的字母.(3)确定指数:字母的指数应为各项中相同字母的最低指数.
2.提公因式法因式分解的步骤:
(1)确定公因式.(2)把多项式的每一项写成含公因式的乘积形式.(3)把公因式提到括号前,把每一项除公因式外的因式放到括号内.
注意:提公因式要提“净”(每项不再有公因式)提“全”(不漏项).
例2:把下列各式因式分解:
(1)a(a-3)+2(3-a).
(2)9a2b3-6a3b2-3a2b2.
(3)-6x3-10x2-2x.
(4)a(y-z)-4b(z-y).
分析:先确定公因式,再提取公因式,进行因式分解.
解:(1)原式=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2).
(2)原式=3a2b2(3b-2a-1).
(3)原式=-2x(3x2+5x+1).
(4)原式=a(y-z)+4b(y-z)=(y-z)(a+4b).
总结:(1)应特别强调确定公因式的三个条件,以免漏取,即系数、所有相同的字母以及相应的指数.(2)当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提取公因式后剩下的应是1,1作为项的系数时可以省略,但如果单独成一项时不能漏掉.提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等,这样可以检查是否漏项.(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号,若是负号时应用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号,然后再提取公因式.
三、交流反思
1.利用提公因式法因式分解,关键是找准最大公因式.在找最大公因式时应注意:(1)系数要找最大公约数.(2)字母要找各项都有的.(3)指数要找最低次幂.
2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.
四、检测反馈
1.下列变形从左到右属于因式分解的是 (　　)
A.(x-3)(x+3)=x2-9
B.6a3b2c=2a2b·3abc
C.x2-2x+1=x(x-2)+1
D.x2+4x+4=(x+2) 2
2.把x3y2-3x2yz分解因式,正确的结果是 (　　)
A.x2(xy2-3y2)
B.y(x3-3x2z)
C.x3y2z(2xy)
D.x2y(xy-3z)
3.下列因式分解中正确的是 (　　)
A.3xm-12xm+1=xm(3-12x)
B.(a-b)2-(b-a)3=(a-b)2(1-b+a)
C.2(x-2y)-(2y-x)2=(x-2y)(2-2y+x)
D.8x2y-4x=4xy(2x-1)
4.填空:(1) 多项式12x2y-16xy2z的公因式是________.
(2)多项式x(a2+b2)-y(a2+b2)的公因式是________.
5.填空:(1)将多项式-5a2+3ab提出公因式-a后,另一个因式为_________.(2)将多项式4(a+b)-2a(a+b)分解因式,应提出公因式_____.
6.利用提公因式进行计算:
(1)992+99.(2)13×9.98+56×9.98+31×9.98.
7.把下列各式分解因式:
(1)8x-72.(2)-48mn-24m2n3.
(3)a2(x-5)+4a(5-x).
8.先因式分解再求值:5x(m-2)+4x(2-m),其中x=0.4,m=5.5.
9.已知实数a、b满足ab=1,a+b=2,求代数式a2b+ab2的值.
五、布置作业
教科书P125第1,2,3题,P126练习第1,2题,P126-127习题17.1第1-8题.
六、板书设计
17.1　用提公因式法分解因式
1.因式分解:多项式化为几个整式的积. 例题讲解　练习板演
2.公因式:组成多项式的各项的公共因式.
3.提公因式法:把多项式的公因式提取出来,写成公因式与另一个因式的积.
七、教学反思
(1)在刚学多项式因式分解时,非常重要的一点是能否正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系.(2)判断多项式是否为因式分解,需要注意:①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是把多项式由一种形式变成另一种形式;②一个多项式的变形是不是因式分解,关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积.整式可以是单项式,也可以是多项式.(3)因式分解是一种恒等变形,因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形,检验因式分解的结果是否正确,可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等,相同因式之积应写成幂的形式.