13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 教学设计 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
【教学目标】
1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念.
2.掌握三角形的中线、角平分线、高的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
4.经历画图实践过程,理解三角形的中线、角平分线、高的概念.
【重点难点】
重点:了解三角形的中线、角平分线、高的概念,会用工具画出三角形的中线、角平分线、高.了解三角形的稳定性.
难点:三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
如图所示:在△ABC中,有一条线段,一端在顶点A处,另一端从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形成的无数条线(AD,AE,AF,AG……)中,有没有特殊位置的线 你认为有哪些特殊位置
提示:①在这些线中有一条线的端点是BC的中点;②有一条线平分∠BAC;③还有一条线垂直于边BC.
　　这些线分别叫作三角形的中线、角平分线、高,那什么叫作三角形的中线、角平分线、高 它们分别具有什么性质 这一节课我们就来学习这一问题.
二、探究归纳
活动一:探究三角形的中线
　任意画一个三角形,然后画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么
【问题】
1.如图,教师给出一个准备好的三角形纸片,把B,C重合对折,折痕与BC交于点D.
问题:(1)D点有什么特殊性
(2)连接线段AD,AD把△ABC分成的两个三角形的面积有何关系
(3)请归纳线段AD的特点,并用语言描述中线定义.
2.三角形的中线:三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形这条边上的中线.
3.三角形中线的表示方法:(1)AD是△ABC的边BC上的中线.(2)BD=DC=BC.
4.问题:你认为一个三角形有几条中线 并分别作出来,你有什么发现
答案:三角形有三条中线:三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
5.三角形重心的定义:三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
点拨:1.任意三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.这点叫作三角形的重心.
2.三角形一边的中线把三角形分成面积相等的两部分,即三角形的中线平分三角形的面积.
总结: 以上我们学习了三角形的高及中线的定义、表示方法及三角形三条高、中线的位置,与三角形有关的线段,高和中线已经有所了解,还有三角形的角平分线也很重要.下面我们来研究三角形角平分线的定义、表示及位置.
活动二:探究三角形的角平分线
　任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么
【问题】
1.
如图,教师再给出一个三角形纸片,对折,使AC与AB所在直线重合,折痕与BC交于点D.
问题:(1)通过这个操作你认为AD有什么位置特点
(2)请给出三角形角平分线的定义.
2.三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段,叫作三角形的角平分线.
3.三角形的角平分线表示方法:①AM是△ABC的∠BAC的平分线;②∠1=∠2=∠BAC.
4.问题:你认为一个三角形有几条角平分线 并分别作出来,你有什么发现
答案:三条.三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.
活动三:探究三角形的高
1.过一点画已知直线、线段的垂线
2.过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗
【问题】教师先演示画三角形的一条高,再给出问题:
(1)任画一个三角形,你能画出它的三条高吗
(2)同一个三角形的三条高线有什么位置关系
(3)不同类型的三角形的三条高线的交点位置有什么差别
3.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
4.三角形高的表示:
(1)(几何语言) 因为AD是△ABC的边BC上的高,
所以AD⊥BC(∠ADB=∠ADC=90°).
(2)逆向:因为AD⊥BC垂足是D,所以AD是△ABC的边 BC上的高.
5.一个三角形有三条高.
请画出下列三角形的高,这三条高之间有怎样的位置关系 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部 那直角三角形和钝角三角形呢
点拨:锐角三角形的三条高所在直线交于一点;直角三角形的三条高交于直角顶点;钝角三角形的三条高所在直线交于一点.注意:三角形的高是线段.要养成习惯,画好高线后,随手标明垂直的记号和垂足的字母.
总结:以上我们学习了三角形的高的定义、表示方法及三角形三条高的位置,与三角形有关的线段,除高很重要外,还有三角形的中线也是重要线段.下面我们来研究三角形中线的定义、表示及位置.
6.三角形的角平分线与角的平分线的区别:
三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.
7.三角形的高、中线和角平分线是线段还是射线或直线
答案:三角形的高、中线和角平分线都是线段,这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.
点拨:无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.
活动四:应用举例
【例1】以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高,其中画法正确的是 (　　)
分析:找到经过顶点A且与BC或其延长线垂直的AD所在的图形即可.
【解析】选B.A、没有经过顶点A,不符合题意;B、高AD交BC的延长线于点D处,符合题意;C、垂足没有在BC上,不符合题意;D、AD不垂直于BC,不符合题意.
总结:锐角三角形的三条高都在三角形内;直角三角形的三条高有两条和边重合;钝角三角形的三条高有两条在三角形外.
【例2】如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线,已知S△ABE=7 cm2,则△ABC的面积是 (　　)
A.18 cm2　　　　 B.28 cm2
C.36 cm2 D.45 cm2
分析:利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
【解析】选B.因为AD是△ABC的中线,
所以S△ABD=S△ACD,
因为BE是△ABD的中线,所以S△ABE=S△DBE,
而S△ABE=7 cm2,所以S△ABC=4×7=28 cm2.
总结:与三角形“中线”有关的面积问题
(1)利用三角形的中线求面积时,掌握中线分成的两个小三角形的面积等于原三角形面积的一半.
(2)已知两边上的高及其中一边长,求相应另一边时,利用等面积法.
【例3】如图,在△ABC中,∠A,∠B的平分线AF,BE交于点O,连接CO并延长交AB边于点D,则CD是△ABC的 (　　)
A.角平分线　　　　　 B.中线
C.高　　 D.以上都不对
分析:根据三角形的三个内角的平分线交于一点,根据题意,可知CD是△ABC的角平分线.
解:根据三角形的三个内角的平分线交于一点,因为∠A,∠B的平分线交于点O,所以∠C的平分线也过O点,所以CD是△ABC的角平分线.
总结:任意三角形的三条角平分线都在三角形内.
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:观察——归纳——猜想——证明.
2.通过本节课探索得到了三角形的中线、角平分线、高的画法及表示方法.
四、检测反馈
1.三角形的高所在直线的交点一定在外部的是 (　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.有一个角是60°的三角形
2.下列说法正确的是 (　　)
A.三角形的角平分线是射线
B.过三角形的顶点,且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C.一个三角形同一边上的中线、高及这条边所对的角的平分线中,高最短
D.三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B'的位置,则线段AC具有性质 (　　)
A.是边BB'上的中线
B.是边BB'上的高
C.是∠BAB'的角平分线
D.以上三种性质合一
4.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是 (　　)
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.∠C的对边是DE
5.给出下列说法:①三条线段组成的图形叫三角形;②三角形的角平分线是射线;③三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外;④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线;⑤三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的说法有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.在△ABC中,AD是BC边上的中线,若△ABD和△ADC的周长之差为4(AB>AC),AB与AC的和为14,求AB和AC的长.
7.已知AD,AE分别是△ABC的中线和高,△ABD的周长比△ACD大3 cm,且AB=7 cm.
(1)求AC的长.
(2)求△ABD与△ACD的面积关系.
五、布置作业
教科书第9页习题13.2第3,4,7题
六、板书设计
13.3.2三角形的中线、角平分线、高
三角形的 重要线段 定义 图形 表示法
三角形 的中线 三角形中,连接 一个顶点和它对 边中点的线段 1.AE是△ABC的边BC上的中线. 2.BE=EC=BC.
三角形的 角平分线 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段 1.AM是 △ABC的 ∠BAC的 平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC.
三角形 的高线 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 1.AD是△ABC的边BC上的高线. 2.AD⊥BC于点D. 3.∠ADB=∠ADC=90°.
七、教学反思
　　(1)本节课的设计体现了以教师为主导、以学生为主体、以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.教师以探究任务引导学生自学自悟的方式,提供了学生自主合作探究的舞台,营造了思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力.
(2)在课堂教学设计中,尽量为学生提供“做中学”的时空,不放过任何一个发展学生智力的契机,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,完善人格,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上.
(3)“乐思方有思泉涌”,在课堂教学中,时时注意营造积极的思维状态,关注学生的思维发展过程,创设民主、宽松、和谐的课堂气氛,让学生畅所欲言,这样学生的创造火花才会不断闪现,个性才得以发展.