广东省深圳市深实验中学部2025年中考三模数学试题
1．（2025·深圳三模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2025·深圳三模） 下面四幅图是广东省一些场馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解： A是中心对称图形，B，C，D不是中心对称图形
故答案为：A .
【分析】 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可.
3．（2025·深圳三模） 2025年前两个月，安徽省“三新样”（电动汽车、锂离子蓄电池、光伏产品）合计出口131.9亿元，同比增长.其中数据“131.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 131.9亿=13190000000=1.319×1010
故答案为：D .
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．（2025·深圳三模） 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解： 如图：分别作a∥AD，b∥BC，由传递性知AD，a，b，BC均互相平行.
∵IJ∥KL，EF∥GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠3=∠4=∠5，
∵AD∥a，BC∥b，
∴∠1=∠6，∠2=∠7，
由猪蹄模型知，∠5=∠6+∠7=.
故答案为：D .
【分析】利用作平行线，得到∠1=∠6，∠2=∠7，再利用猪蹄模型的结论，得出∠5，进而求得∠3.
5．（2025·深圳三模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
6．（2025·深圳三模） 如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（ ）
A．m B．2m C．4m D．m
【答案】C
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知，，
∴AB==4m.
故答案为：C .
【分析】
根据坡度“铅直距离与水平距离的比”，可知直角三角形三边比例关系，进而求解AB长.
7．（2025·深圳三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）. 经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解： 每件盈利（x-50）元，每天可销售[200+2（99-x）]件，
根据题意得：w=（x-50）[200+2（99-x）]，
故答案为：C .
【分析】 根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式.
8．（2025·深圳三模） 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为. 实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C、D、N、F在一条直线上），经测得：，，则铁架台和点F的水平距离DF的长度（ ）（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，
则∠EBG=α=10°，∠HBM=180°-（145°-α）=45°=∠BFT，
则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG，
∵AB=24cm，则BE=AB=8cm，
在△BEG中，GE=BE sinα=1.36（cm），BG=BE cosα=7.84cm=DT，
则GD=DE-EG=27.36-1.36=26（cm）=BT=TF，
则DF=DT+TF=7.84+26=33.84≈33.8（cm），
故答案为：B .
【分析】 过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，则∠EBG=α=10°，∠HBM=180°-（145°-α）=45°=∠BFT，则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG，即可求解.
9．（2025·深圳三模）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．（2025·深圳三模） 若关于x的方程的一个根是2，则m的值为 .
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+3=0得4+2m+3=0，
解得m=- .
【分析】把x=2的值代入求解即可.
11．（2025·深圳三模） 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为 cm（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将AB=56代入，
得AP=
故答案为： .
【分析】将AB=56代入求解即可.
12．（2025·深圳三模） 筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用. 如图2，筒车与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若，则的度数为 .
【答案】106°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 如图，连接OA．
∵∠ADC=16°，
∴∠AOC=2∠ADC=32°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=148°，
∴∠ABD=0.5∠AOD=74°，
∴∠DBM=180°-∠ABD=106°.
故答案为： 106°.
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠AOD的度数，再由圆周角定理求出∠ABD的度数，进而求出∠DBM的度数.
13．（2025·深圳三模） 如图，正方形ABCD中，绕点A逆时针旋转到，AB'，AC'分别交对角线BD于点E、F，若，则的值为 .
【答案】12
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴=AE2=12.
故答案为：12 .
【分析】 根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
14．（2025·深圳三模）计算：.
【答案】解： 原式 =.
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】 利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂计算即可.
15．（2025·深圳三模）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法. 如：解方程.
解：原方程可变形，得，，.
解得，.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.
解：原方程可变形，得，，
. 解得，)
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 ， ， ， .
（2）请用“平均数法”解方程：.
【答案】（1）7；2；-4；-10
（2）解：原方程可变形，得[(x+1)-6][(x+1)+6]=12
∴(x+1)2-62=12，
∴(x+1)2=48.
解得x1=-1+，x2=-1-.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】 1）由题意，得a==7，b=7-5=2，
由此原方程可变形，得[（x+7）-2][（x+7）+2]=5，
∴（x+7）2-22=5，
∴（x+7）2=5+22，
解得x1=-4，x2=-10．
∵c＞d，
∴c=-4，d=-10．
故答案为：7，2，-4，-10.
【分析】 （1）先根据“平均数法”确定a，b的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定c，d的值即可；
（2）仿照“平均值法”的步骤解答即可.
16．（2025·深圳三模）某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A. 高锰酸钾制取氧气；B. 电解水；C. 木炭还原氧化铜；D. 一氧化碳还原氧化铜；E. 铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）.
请结合统计图，回答下列问题：
（1） ，E所对应的扇形圆心角是 ；
（2）根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有 人最喜欢的实验是“D. 一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A (A，B) (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，A) (B，C) (B，D) (B，E)
C (C，A) (C，B) (C，D) (C，E)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，E)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D)
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)= .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）60÷30%=200（人），
a=200-20-60-30-40=50（人） ，
，
故答案为：50；72°.
（2）800.
故答案为：120.
【分析】 （1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800人乘以D类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可.
17．（2025·深圳三模）综合与实践
背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会 的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮 妮”正式亮相
图片
素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购 买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商 店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元.
素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同
素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍
⑴问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少
⑵问题二 如何购买才能使总费用最少
【答案】解：⑴设甲规格每套x元，乙规格每套(x+20)元，
解得：x=70，
经检验x=70是分式方程的解，
x+20=70+20=90，
答：甲规格每套70元，乙规格每套90元；
⑵设甲规格购买了y套，乙规格购买了(30-y)套，
根据题意可得：2(30-y)≥y，
解不等式得：y≤20，
则购买的总费用是w=70y+90(30-y)=-20p+2700，
∵-20<0，
∴ω随着y的增大而减小，
∴当y=20时，才能使购买总费用最少，
最少费用是w=-20+2700=-20x20+2700=2300(元)，
此时 30-y=30-20=10(套)，
答：购买甲规格的 20套，乙规格的10套时，使总费用最少.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲规格每套x元，则乙规格每套（x+20）元，根据用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列方程求解；
（2）设甲规格购买了y套，则乙规格购买了（30-y）套，列不等式求出y≤20，购买费用为ω=-20y+2700，所以ω随着y的增大而减小，购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少.
18．（2025·深圳三模）如图，内接于.
（1）按照下列作法作出图形：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧交于点P；③连接AP并延长交于点D；④连接OD交BC于点E；
（2）若，，求的直径.
【答案】（1）解：如图所示为所求；
（2）解：如图，连接OB，OC，
由作图可知AD平分，则，
由条件可知，
，
是等腰三角形，
是BC垂直平分线（三线合一），
，，
设的半径为r，则OB = OC = OD = r，OE = OD - DE = r - 3，
在中，由勾股定理可得，
，
的直径为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）根据作图要求结合已知图形作图即可；
（2）如图，连接OB，OC，由作图可知AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理得到∠DOB=∠COD，易证△OBC是等腰三角形，推出OE是BC垂直平分线（三线合一），设⊙O的半径为r，则OB=OC=OD=r，利用勾股定理即可求解．
19．（2025·深圳三模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上.
（1）如图 1，在平面直角坐标系中，函数 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为 (3， 3)，请判断点 A， B 是否为直线 上的点 C 的“共圆点” 并说明理由；
（2）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A(1， 4) 在反比例函数 的图象上，点 A 与点 B 是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点 B 的坐标；
（3）抛物线 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，顶点为点 C，点 D 在抛物线的对称轴上，且在点 C 的上方，点 P 在对称轴右侧的抛物线上， 轴，点 P 与点 C 是抛物线上的点 D 的“共圆点”.
①求点 P 的坐标；
②将抛物线 平移，使其顶点落在原点 O，这时点 P 落在点 E 的位置，点 M 在 y 轴上，当 的周长最小时，求点 M 的坐标.
【答案】（1）解： 是，理由：
函数 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，则点 A、B 的坐标分别为：（2，0）、（0，4），
由点 A、B、C 的坐标得：，，
即 ，
故点 A，B 是直线 上的点 C 的“共圆点”；
（2）解：将点 A 的坐标代入函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，
由题意得：，
设点 B(，即 ，
解得： 或 ，
即点 B的坐标为：(-1，-4)或 (-4，-1) 或 (4，1)；
（3）解：①由抛物线的表达式知，其顶点为 (1，-4)，
设 D(1，m)，则 ，
则点 P(，
②将点 P 的坐标代入 得：，
解得：（舍去）或 -3，
即点 P(2，-3)；
将抛物线 平移，使其顶点落在原点 O，则新抛物线的表达式为：，
即原抛物线向左平移了 1 个单位向上平移了 4 个单位，则点 E(1，1)，
作点 E 关于新抛物线对称轴得大对称点 F(-1，1)，连接 PF 交 y 轴于点 M，则点 M 为所求点.
理由：的周长最小，由点P、F的坐标得，直线PF的表达式为：，当时，，
即点.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】 （1）由AC2=（3-2）2+32，BC2=（4-3）2+32=AC2，即可求解；
（2）由OA=OB，得到 ，即可求解；
（3）①设D（1，m），则CD=m-（-4）=m+4=PD，则点P（m+5，m），将点P的坐标代入y=x2-2x-3得：m=（m+5）2-2（m+5）-3，即可求解；
②作点E关于新抛物线对称轴得大对称点F（-1，1），连接PF交y轴于点M，则点M为所求点，即可求解.
20．（2025·深圳三模）
（1）【问题发现】
如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系；
（2）【类比探究】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，，，如图，点、、三点共线，点在线段DE上时，若，求BE的长.
（3）【拓展延伸】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD由菱形AEFG，如图3，，，AG平分，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接PQ，QC，当时，直接写出AP的长.
【答案】（1）解：如图1，
设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O，
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图2，
作于H.
∵四边形AEFG是矩形，
.
.
.
由得，
.
.
在中，.
.
.
矩形ABCD矩形AEFG.
.
.
∴△BAE∽△DAG
.
；
（3）解：如图3
当Q在AF上时，
连接BD，交AC于T，作，交AF的延长线于H，作，交AF于R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵菱形菱形AEFG，
∴，，.
∴，
∴，
∵AG平分，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
如图4，
.
.
.
.
.
.
如图5，
当Q在AP的延长线上时，
由上可得.
.
；
综上所述，AQ的值为或.
【知识点】四边形的综合；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由，得DG=BE，再利用8字模型，证明DG⊥BE即可；
（2）根据等积法先计算AH的长，再利用勾股定理求出HD，由DH-HG求出GD，根据矩形相似，得，再由，可推出△BAE∽△DAG，从而利用相似比求出BE；
（3） 分为两种情形：当Q在AF上时，连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R，可证得∠DAC=∠GAF， 从而得出△DAT∽△PAQ，从而∠PQA=∠ATD=90°，可推出∠CQH=∠APQ，从而tan∠CQH=tan∠APQ，从而得出， 可求得tan∠CAH= 0.5，从而， 从而得出AH=2CH=6x，进而得出（6x）2+（3x）2=62，进而解得x. 当Q在AF的延长线上时，同样方法得出结果．
1 / 1广东省深圳市深实验中学部2025年中考三模数学试题
1．（2025·深圳三模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳三模） 下面四幅图是广东省一些场馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳三模） 2025年前两个月，安徽省“三新样”（电动汽车、锂离子蓄电池、光伏产品）合计出口131.9亿元，同比增长.其中数据“131.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳三模） 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳三模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·深圳三模） 如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（ ）
A．m B．2m C．4m D．m
7．（2025·深圳三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）. 经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳三模） 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为. 实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C、D、N、F在一条直线上），经测得：，，则铁架台和点F的水平距离DF的长度（ ）（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8
9．（2025·深圳三模）因式分解： = .
10．（2025·深圳三模） 若关于x的方程的一个根是2，则m的值为 .
11．（2025·深圳三模） 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为 cm（结果保留根号）.
12．（2025·深圳三模） 筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用. 如图2，筒车与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若，则的度数为 .
13．（2025·深圳三模） 如图，正方形ABCD中，绕点A逆时针旋转到，AB'，AC'分别交对角线BD于点E、F，若，则的值为 .
14．（2025·深圳三模）计算：.
15．（2025·深圳三模）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法. 如：解方程.
解：原方程可变形，得，，.
解得，.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.
解：原方程可变形，得，，
. 解得，)
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 ， ， ， .
（2）请用“平均数法”解方程：.
16．（2025·深圳三模）某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A. 高锰酸钾制取氧气；B. 电解水；C. 木炭还原氧化铜；D. 一氧化碳还原氧化铜；E. 铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）.
请结合统计图，回答下列问题：
（1） ，E所对应的扇形圆心角是 ；
（2）根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有 人最喜欢的实验是“D. 一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
17．（2025·深圳三模）综合与实践
背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会 的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮 妮”正式亮相
图片
素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购 买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商 店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元.
素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同
素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍
⑴问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少
⑵问题二 如何购买才能使总费用最少
18．（2025·深圳三模）如图，内接于.
（1）按照下列作法作出图形：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧交于点P；③连接AP并延长交于点D；④连接OD交BC于点E；
（2）若，，求的直径.
19．（2025·深圳三模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上.
（1）如图 1，在平面直角坐标系中，函数 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为 (3， 3)，请判断点 A， B 是否为直线 上的点 C 的“共圆点” 并说明理由；
（2）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A(1， 4) 在反比例函数 的图象上，点 A 与点 B 是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点 B 的坐标；
（3）抛物线 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，顶点为点 C，点 D 在抛物线的对称轴上，且在点 C 的上方，点 P 在对称轴右侧的抛物线上， 轴，点 P 与点 C 是抛物线上的点 D 的“共圆点”.
①求点 P 的坐标；
②将抛物线 平移，使其顶点落在原点 O，这时点 P 落在点 E 的位置，点 M 在 y 轴上，当 的周长最小时，求点 M 的坐标.
20．（2025·深圳三模）
（1）【问题发现】
如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系；
（2）【类比探究】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，，，如图，点、、三点共线，点在线段DE上时，若，求BE的长.
（3）【拓展延伸】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD由菱形AEFG，如图3，，，AG平分，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接PQ，QC，当时，直接写出AP的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解： A是中心对称图形，B，C，D不是中心对称图形
故答案为：A .
【分析】 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 131.9亿=13190000000=1.319×1010
故答案为：D .
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解： 如图：分别作a∥AD，b∥BC，由传递性知AD，a，b，BC均互相平行.
∵IJ∥KL，EF∥GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠3=∠4=∠5，
∵AD∥a，BC∥b，
∴∠1=∠6，∠2=∠7，
由猪蹄模型知，∠5=∠6+∠7=.
故答案为：D .
【分析】利用作平行线，得到∠1=∠6，∠2=∠7，再利用猪蹄模型的结论，得出∠5，进而求得∠3.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等，
∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方，
∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润．
故选C．
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由题可知，，
∴AB==4m.
故答案为：C .
【分析】
根据坡度“铅直距离与水平距离的比”，可知直角三角形三边比例关系，进而求解AB长.
7．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解： 每件盈利（x-50）元，每天可销售[200+2（99-x）]件，
根据题意得：w=（x-50）[200+2（99-x）]，
故答案为：C .
【分析】 根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，
则∠EBG=α=10°，∠HBM=180°-（145°-α）=45°=∠BFT，
则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG，
∵AB=24cm，则BE=AB=8cm，
在△BEG中，GE=BE sinα=1.36（cm），BG=BE cosα=7.84cm=DT，
则GD=DE-EG=27.36-1.36=26（cm）=BT=TF，
则DF=DT+TF=7.84+26=33.84≈33.8（cm），
故答案为：B .
【分析】 过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，则∠EBG=α=10°，∠HBM=180°-（145°-α）=45°=∠BFT，则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG，即可求解.
9．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+3=0得4+2m+3=0，
解得m=- .
【分析】把x=2的值代入求解即可.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将AB=56代入，
得AP=
故答案为： .
【分析】将AB=56代入求解即可.
12．【答案】106°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 如图，连接OA．
∵∠ADC=16°，
∴∠AOC=2∠ADC=32°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=148°，
∴∠ABD=0.5∠AOD=74°，
∴∠DBM=180°-∠ABD=106°.
故答案为： 106°.
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠AOD的度数，再由圆周角定理求出∠ABD的度数，进而求出∠DBM的度数.
13．【答案】12
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴=AE2=12.
故答案为：12 .
【分析】 根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
14．【答案】解： 原式 =.
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】 利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂计算即可.
15．【答案】（1）7；2；-4；-10
（2）解：原方程可变形，得[(x+1)-6][(x+1)+6]=12
∴(x+1)2-62=12，
∴(x+1)2=48.
解得x1=-1+，x2=-1-.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】 1）由题意，得a==7，b=7-5=2，
由此原方程可变形，得[（x+7）-2][（x+7）+2]=5，
∴（x+7）2-22=5，
∴（x+7）2=5+22，
解得x1=-4，x2=-10．
∵c＞d，
∴c=-4，d=-10．
故答案为：7，2，-4，-10.
【分析】 （1）先根据“平均数法”确定a，b的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定c，d的值即可；
（2）仿照“平均值法”的步骤解答即可.
16．【答案】（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A (A，B) (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，A) (B，C) (B，D) (B，E)
C (C，A) (C，B) (C，D) (C，E)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，E)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D)
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)= .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）60÷30%=200（人），
a=200-20-60-30-40=50（人） ，
，
故答案为：50；72°.
（2）800.
故答案为：120.
【分析】 （1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800人乘以D类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可.
17．【答案】解：⑴设甲规格每套x元，乙规格每套(x+20)元，
解得：x=70，
经检验x=70是分式方程的解，
x+20=70+20=90，
答：甲规格每套70元，乙规格每套90元；
⑵设甲规格购买了y套，乙规格购买了(30-y)套，
根据题意可得：2(30-y)≥y，
解不等式得：y≤20，
则购买的总费用是w=70y+90(30-y)=-20p+2700，
∵-20<0，
∴ω随着y的增大而减小，
∴当y=20时，才能使购买总费用最少，
最少费用是w=-20+2700=-20x20+2700=2300(元)，
此时 30-y=30-20=10(套)，
答：购买甲规格的 20套，乙规格的10套时，使总费用最少.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲规格每套x元，则乙规格每套（x+20）元，根据用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列方程求解；
（2）设甲规格购买了y套，则乙规格购买了（30-y）套，列不等式求出y≤20，购买费用为ω=-20y+2700，所以ω随着y的增大而减小，购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少.
18．【答案】（1）解：如图所示为所求；
（2）解：如图，连接OB，OC，
由作图可知AD平分，则，
由条件可知，
，
是等腰三角形，
是BC垂直平分线（三线合一），
，，
设的半径为r，则OB = OC = OD = r，OE = OD - DE = r - 3，
在中，由勾股定理可得，
，
的直径为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）根据作图要求结合已知图形作图即可；
（2）如图，连接OB，OC，由作图可知AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理得到∠DOB=∠COD，易证△OBC是等腰三角形，推出OE是BC垂直平分线（三线合一），设⊙O的半径为r，则OB=OC=OD=r，利用勾股定理即可求解．
19．【答案】（1）解： 是，理由：
函数 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，则点 A、B 的坐标分别为：（2，0）、（0，4），
由点 A、B、C 的坐标得：，，
即 ，
故点 A，B 是直线 上的点 C 的“共圆点”；
（2）解：将点 A 的坐标代入函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，
由题意得：，
设点 B(，即 ，
解得： 或 ，
即点 B的坐标为：(-1，-4)或 (-4，-1) 或 (4，1)；
（3）解：①由抛物线的表达式知，其顶点为 (1，-4)，
设 D(1，m)，则 ，
则点 P(，
②将点 P 的坐标代入 得：，
解得：（舍去）或 -3，
即点 P(2，-3)；
将抛物线 平移，使其顶点落在原点 O，则新抛物线的表达式为：，
即原抛物线向左平移了 1 个单位向上平移了 4 个单位，则点 E(1，1)，
作点 E 关于新抛物线对称轴得大对称点 F(-1，1)，连接 PF 交 y 轴于点 M，则点 M 为所求点.
理由：的周长最小，由点P、F的坐标得，直线PF的表达式为：，当时，，
即点.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】 （1）由AC2=（3-2）2+32，BC2=（4-3）2+32=AC2，即可求解；
（2）由OA=OB，得到 ，即可求解；
（3）①设D（1，m），则CD=m-（-4）=m+4=PD，则点P（m+5，m），将点P的坐标代入y=x2-2x-3得：m=（m+5）2-2（m+5）-3，即可求解；
②作点E关于新抛物线对称轴得大对称点F（-1，1），连接PF交y轴于点M，则点M为所求点，即可求解.
20．【答案】（1）解：如图1，
设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O，
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图2，
作于H.
∵四边形AEFG是矩形，
.
.
.
由得，
.
.
在中，.
.
.
矩形ABCD矩形AEFG.
.
.
∴△BAE∽△DAG
.
；
（3）解：如图3
当Q在AF上时，
连接BD，交AC于T，作，交AF的延长线于H，作，交AF于R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵菱形菱形AEFG，
∴，，.
∴，
∴，
∵AG平分，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
如图4，
.
.
.
.
.
.
如图5，
当Q在AP的延长线上时，
由上可得.
.
；
综上所述，AQ的值为或.
【知识点】四边形的综合；手拉手相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由，得DG=BE，再利用8字模型，证明DG⊥BE即可；
（2）根据等积法先计算AH的长，再利用勾股定理求出HD，由DH-HG求出GD，根据矩形相似，得，再由，可推出△BAE∽△DAG，从而利用相似比求出BE；
（3） 分为两种情形：当Q在AF上时，连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R，可证得∠DAC=∠GAF， 从而得出△DAT∽△PAQ，从而∠PQA=∠ATD=90°，可推出∠CQH=∠APQ，从而tan∠CQH=tan∠APQ，从而得出， 可求得tan∠CAH= 0.5，从而， 从而得出AH=2CH=6x，进而得出（6x）2+（3x）2=62，进而解得x. 当Q在AF的延长线上时，同样方法得出结果．
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