贵州省黔东南苗族侗族自治州九年级第一次2025年中考模拟考试数学试卷
1．（2025·黔东南模拟）实数，，，中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：实数，，，中，负数有，，共2个，
故选：B．
【分析】
负数都小于0．
2．（2025·黔东南模拟）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
平行四边形的对角相等、邻角互补．
4．（2025·黔东南模拟）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减并约分，化结果为最简分式或整式．
5．（2025·黔东南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：大于，则应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈，即数轴表示如下：
故选：B．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集，一是注意解集的方向，二是空心圆圈和实心圆圈的选择．
6．（2025·黔东南模拟）如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，
，
∴(SAS)，
故选：A.
【分析】
由于BC是公共边，可直接利用SAS证明两三角形全等，即两边及夹角对应相等两三角形全等.
7．（2025·黔东南模拟）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
8．（2025·黔东南模拟）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：一元二次方程没有实数根，
，
解得：，
四个选项中只有，
的值可能是．
故选：A．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．（2025·黔东南模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
10．（2025·黔东南模拟）玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下．
3 6
8 2
其中记录错误的的数据为（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值，
∴，
∴记录错误的的数据为，
故选：C
【分析】
反比例函数图象上任意一个点的横纵坐标的积是定值.
11．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，，，按下列步骤尺规作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和；②作直线MN，交AB于点，交BC于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，
，，，
，
由作法得：是的垂直平分线，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
，
的周长为：
，
故选：C．
【分析】
由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，则连接AF可得AF=BF，由于BC=CF+BF=8，即AF+CF=8，由于AC=6可利用勾股定理求出AF即BF的长，再在直角三角形ABC中应用勾股定理求出AB的长，再利用中点求出BE的长即可．
12．（2025·黔东南模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵S1=3，S3=9，
∴AB=，CD=3，
过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE= =2，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4，
∴S2=（4）2=48，
故选D．
【分析】
由于已知 ∠ABC+∠DCB=90°， 则过点A作AE、DC交BC于点E可得为 直角三角形，且，则BE2=S1+S2=12，由于AD//BC，则四边形ADCE是平行四边形，所以AD=CE=BE，则S2=（2BE）2=48.
13．（2025·黔东南模拟）计算： ．
【答案】4
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
由乘方的概念直接计算即可．
14．（2025·黔东南模拟）分解因式： =
【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
15．（2025·黔东南模拟）一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）．
【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数过点，
设反比例函数解析式为，
则，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
故答案为：3．
【分析】
先利用待定系数法求反比例函数的解析式，再由反比例函数图象上点的坐标特征代入的值计算即可．
16．（2025·黔东南模拟）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
四边形是边长为2的正方形，
，，
以为折痕将翻折得，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
M是的中点，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】
如图所示，由折叠和正方形的性质可得AE=AB=AD，则连接AF可证，则EF=DF，此时可设DF的长，则EF、MF和CF均可用DF的代数式表示，再在直角三角形MCF中应用勾股定理即可．
17．（2025·黔东南模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，
原式
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数混合运算法则（含乘方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）实数混合运算，先进行乘方运算，去绝对值，特殊角三角形函数，再进行加减运算，即可求解；
（2）分式化简求值，先对分子分母分别进行因式分解，再约分将结果化为最简分式或整式，再代值计算即可．
18．（2025·黔东南模拟）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组，B组，C组，D组．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求A组人数，并补全条形统计图；
（2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
（3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
【答案】（1）解：样本容量为：，
故组人数为：(人，
补全条形统计图如下：
（2）解：(人，
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）答：从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用组的频数除以组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出组的频数，进而补全条形统计图；
（2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可；
（3）可选择众数来进行解答即可．
（1）解：样本容量为：，
故组人数为：(人，
补全条形统计图如下：
（2）(人，
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个．
从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个．
从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)．
19．（2025·黔东南模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点．
（1）求m，n，k的值；
（2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）解：把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）∵
反比例函数解析式为，
的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
【分析】
（1）利用待定系数法分别求出直线和双曲线的解析式即可；
（2）观察图象得，当点C在点B的右侧时的面积小于的面积 ，即可得不等式，解答即可．
（1）解：把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
（2）∵
反比例函数解析式为，
的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
20．（2025·黔东南模拟）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行可得，由对顶角相等可得，再利用中点的概念可证明，则AD=FC，再根据平行四边形的对边相等等量代换即可；
（2）先由平行四边形的对边平行且相等可证明，则相似比为，则，再由面积比等于相似比的平方可得，即得，则答案可解．
21．（2025·黔东南模拟）贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一．某数学兴趣小组为测量鼓楼AB的高度，设计了如图所示的测量示意图．在地面的点处架起测角仪，测角仪的高度米，测得该鼓楼的最高点的仰角为．利用无人机在点的正上方39米的点处（即米）测得点的俯角为．
（1）设鼓楼的高为米，用的代数式表示的长为 米；
（2）求该鼓楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）解：过点作，垂足为．
∴
由（1）得四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
．
在中，．
∵，
∴．
则．
即．
解得：．
答：鼓楼的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴
依题意，，
∴四边形是矩形，
∴
∵鼓楼的高为米，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）如图，过点D作AB的垂线段DH，则四边形是矩形，所以，由于鼓楼的高为米且，则由等腰三角形的判定及性质得．
（2）同理，过点A作CE的垂线段AF，则结合（1）中可证明四边形是正方形，故，再解可得，再根据可得关于x的一元一次方程并求解即可．
（1）解：过点作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴
依题意，，
∴四边形是矩形，
∴
∵鼓楼的高为米，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点作，垂足为．
∴
由（1）得四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
．
在中，．
∵，
∴．
则．
即．
解得：．
答：鼓楼的高度约为．
22．（2025·黔东南模拟）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
23．（2025·黔东南模拟）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵直线l与相切于点A，∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
同理：
，即
∴．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由切线和圆周角定理的推论可得，再由同角的余角相等即可证明；
（2）由（1）可证明，由相似比可得，即，同理有，即，化等积式为比例式得，又和是公共角相等，即，再由勾股定理结合相似比计算即可．
（1）证明：∵直线l与相切于点A，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
24．（2025·黔东南模拟）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】
（1）先由OA=1可得，再利用待定系数法求出即可．
（2）由小星的身高可先计算，解得，，再结合身高为1.6米的小星没有被淋湿可得．
（3）由于地面在x轴上，即，可解得：，．因为，可设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
25．（2025·黔东南模拟）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当P为的中点，，时，求的长；
（3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于矩形的四个角都是直角，即，由折叠的性质知，再由同角的余角相等可得，则；
（2）由折叠知PG=AB、AE=PE，因此求GH，实质是求PH，因此可设PE=x，则DE=3-x，由于，由相似比求得的长即可；
（3）如图，延长，交于点，连接，由矩形的性质结合中点的概念可证明，则，再由折叠的性质可知AP//BG，则由两直线平行同位角相等可证明，由相似比可得，再由勾股定理求出AP的长即可．
（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州九年级第一次2025年中考模拟考试数学试卷
1．（2025·黔东南模拟）实数，，，中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025·黔东南模拟）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黔东南模拟）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2025·黔东南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·黔东南模拟）如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·黔东南模拟）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·黔东南模拟）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·黔东南模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·黔东南模拟）玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下．
3 6
8 2
其中记录错误的的数据为（ ）
A． B． C．8 D．2
11．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，，，按下列步骤尺规作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和；②作直线MN，交AB于点，交BC于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．20
12．（2025·黔东南模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
13．（2025·黔东南模拟）计算： ．
14．（2025·黔东南模拟）分解因式： =
15．（2025·黔东南模拟）一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）．
16．（2025·黔东南模拟）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ．
17．（2025·黔东南模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·黔东南模拟）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组，B组，C组，D组．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求A组人数，并补全条形统计图；
（2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
（3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
19．（2025·黔东南模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点．
（1）求m，n，k的值；
（2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
20．（2025·黔东南模拟）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
21．（2025·黔东南模拟）贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一．某数学兴趣小组为测量鼓楼AB的高度，设计了如图所示的测量示意图．在地面的点处架起测角仪，测角仪的高度米，测得该鼓楼的最高点的仰角为．利用无人机在点的正上方39米的点处（即米）测得点的俯角为．
（1）设鼓楼的高为米，用的代数式表示的长为 米；
（2）求该鼓楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
22．（2025·黔东南模拟）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
23．（2025·黔东南模拟）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
24．（2025·黔东南模拟）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
25．（2025·黔东南模拟）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当P为的中点，，时，求的长；
（3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：实数，，，中，负数有，，共2个，
故选：B．
【分析】
负数都小于0．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
平行四边形的对角相等、邻角互补．
4．【答案】D
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减并约分，化结果为最简分式或整式．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：大于，则应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈，即数轴表示如下：
故选：B．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集，一是注意解集的方向，二是空心圆圈和实心圆圈的选择．
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，
，
∴(SAS)，
故选：A.
【分析】
由于BC是公共边，可直接利用SAS证明两三角形全等，即两边及夹角对应相等两三角形全等.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：一元二次方程没有实数根，
，
解得：，
四个选项中只有，
的值可能是．
故选：A．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值，
∴，
∴记录错误的的数据为，
故选：C
【分析】
反比例函数图象上任意一个点的横纵坐标的积是定值.
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，
，，，
，
由作法得：是的垂直平分线，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
，
的周长为：
，
故选：C．
【分析】
由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，则连接AF可得AF=BF，由于BC=CF+BF=8，即AF+CF=8，由于AC=6可利用勾股定理求出AF即BF的长，再在直角三角形ABC中应用勾股定理求出AB的长，再利用中点求出BE的长即可．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵S1=3，S3=9，
∴AB=，CD=3，
过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE= =2，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4，
∴S2=（4）2=48，
故选D．
【分析】
由于已知 ∠ABC+∠DCB=90°， 则过点A作AE、DC交BC于点E可得为 直角三角形，且，则BE2=S1+S2=12，由于AD//BC，则四边形ADCE是平行四边形，所以AD=CE=BE，则S2=（2BE）2=48.
13．【答案】4
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
由乘方的概念直接计算即可．
14．【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
15．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数过点，
设反比例函数解析式为，
则，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
故答案为：3．
【分析】
先利用待定系数法求反比例函数的解析式，再由反比例函数图象上点的坐标特征代入的值计算即可．
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
四边形是边长为2的正方形，
，，
以为折痕将翻折得，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
M是的中点，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】
如图所示，由折叠和正方形的性质可得AE=AB=AD，则连接AF可证，则EF=DF，此时可设DF的长，则EF、MF和CF均可用DF的代数式表示，再在直角三角形MCF中应用勾股定理即可．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，
原式
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数混合运算法则（含乘方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）实数混合运算，先进行乘方运算，去绝对值，特殊角三角形函数，再进行加减运算，即可求解；
（2）分式化简求值，先对分子分母分别进行因式分解，再约分将结果化为最简分式或整式，再代值计算即可．
18．【答案】（1）解：样本容量为：，
故组人数为：(人，
补全条形统计图如下：
（2）解：(人，
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）答：从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用组的频数除以组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出组的频数，进而补全条形统计图；
（2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可；
（3）可选择众数来进行解答即可．
（1）解：样本容量为：，
故组人数为：(人，
补全条形统计图如下：
（2）(人，
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个．
从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个．
从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)．
19．【答案】（1）解：把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（2）∵
反比例函数解析式为，
的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
【分析】
（1）利用待定系数法分别求出直线和双曲线的解析式即可；
（2）观察图象得，当点C在点B的右侧时的面积小于的面积 ，即可得不等式，解答即可．
（1）解：把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
（2）∵
反比例函数解析式为，
的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行可得，由对顶角相等可得，再利用中点的概念可证明，则AD=FC，再根据平行四边形的对边相等等量代换即可；
（2）先由平行四边形的对边平行且相等可证明，则相似比为，则，再由面积比等于相似比的平方可得，即得，则答案可解．
21．【答案】（1）
（2）解：过点作，垂足为．
∴
由（1）得四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
．
在中，．
∵，
∴．
则．
即．
解得：．
答：鼓楼的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴
依题意，，
∴四边形是矩形，
∴
∵鼓楼的高为米，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）如图，过点D作AB的垂线段DH，则四边形是矩形，所以，由于鼓楼的高为米且，则由等腰三角形的判定及性质得．
（2）同理，过点A作CE的垂线段AF，则结合（1）中可证明四边形是正方形，故，再解可得，再根据可得关于x的一元一次方程并求解即可．
（1）解：过点作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴
依题意，，
∴四边形是矩形，
∴
∵鼓楼的高为米，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点作，垂足为．
∴
由（1）得四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
．
在中，．
∵，
∴．
则．
即．
解得：．
答：鼓楼的高度约为．
22．【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
23．【答案】（1）证明：∵直线l与相切于点A，∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
同理：
，即
∴．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由切线和圆周角定理的推论可得，再由同角的余角相等即可证明；
（2）由（1）可证明，由相似比可得，即，同理有，即，化等积式为比例式得，又和是公共角相等，即，再由勾股定理结合相似比计算即可．
（1）证明：∵直线l与相切于点A，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
24．【答案】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】
（1）先由OA=1可得，再利用待定系数法求出即可．
（2）由小星的身高可先计算，解得，，再结合身高为1.6米的小星没有被淋湿可得．
（3）由于地面在x轴上，即，可解得：，．因为，可设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
25．【答案】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于矩形的四个角都是直角，即，由折叠的性质知，再由同角的余角相等可得，则；
（2）由折叠知PG=AB、AE=PE，因此求GH，实质是求PH，因此可设PE=x，则DE=3-x，由于，由相似比求得的长即可；
（3）如图，延长，交于点，连接，由矩形的性质结合中点的概念可证明，则，再由折叠的性质可知AP//BG，则由两直线平行同位角相等可证明，由相似比可得，再由勾股定理求出AP的长即可．
（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
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