湖南省常德市临澧县2025年中考三模数学试题
1．（2025·临澧模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
2．（2025·临澧模拟）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
3．（2025·临澧模拟）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图
C．赵爽弦图 D．洛书
4．（2025·临澧模拟）点在第三象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·临澧模拟）将“做最好的自己”六个汉字分别写在某正方体的表面上，右图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“己”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
6．（2025·临澧模拟）下面命题，正确的是（ ）
A．三角形的内心到三个顶点的距离相等
B．经过三点一定可以画一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．三角形的外角和为
7．（2025·临澧模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·临澧模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
9．（2025·临澧模拟）如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·临澧模拟）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ）
A．是“乾坤点”
B．函数的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为
11．（2025·临澧模拟）的绝对值是 ．
12．（2025·临澧模拟）分解因式： .
13．（2025·临澧模拟）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 （写出一个答案即可）．
14．（2025·临澧模拟）湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬．若随机从上面美食中选择一种进行品尝，则选中“茶颜悦色”的概率是 ．
15．（2025·临澧模拟）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则 ．
16．（2025·临澧模拟）方程的解是 ．
17．（2025·临澧模拟）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，则的长为 .
18．（2025·临澧模拟）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．
19．（2025·临澧模拟）计算：．
20．（2025·临澧模拟）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．（2025·临澧模拟）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价（元）
销售量（件）
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？
22．（2025·临澧模拟）如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
23．（2025·临澧模拟）今年春晚，秧的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用．
活动主题 测试机器人宇树爬坡（坡角）的能力
测量工具 尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象
测量方案与数据信息 ①机器人的小腿的长度为，大腿上点与点的连线与水平面垂直； ②坡角； ③当机器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿与小腿的夹角，； ④参考数据：．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求点到水平面的距离；
（2）计算大腿的长度（结果精确到）
24．（2025·临澧模拟）近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计图表．
借阅图书的次数 0 1 2 3 4
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1） ________， ________；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数；
（3）该校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数．
25．（2025·临澧模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点．若，求点D的坐标；
（3）如图2，一次函数与抛物线交于M，N两点，与直线交于P点，分别过点M，N，P作x轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求m的值．
26．（2025·临澧模拟）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，若，过C作交于点F，求证：．
（2）如图2，在菱形中，，过C作交的延长线于点E，过E作交于点F，若时，求的值．
（3）如图3，在平行四边形中，，，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式的值为5，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，求解即可．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在第三象限，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：与“己”字所在面相对面上的汉字是“做”，
故答案为：A．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．同一行或同一列有三个或三个以上面时隔一个面的两个面为相对面；同一行或同一列少于三个面时，隔一行并拐弯，即可得到相对面.
6．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；确定圆的条件；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故三角形的内心到三边的距离相等，不能判定到三个顶点距离相等，故原命题不正确，故选项A不符合题意；
B、经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原命题缺少条件，故不正确，故选项B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题缺少条件，故不正确，故选项C不符合题意；
D、三角形的外角和为，原命题正确，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形内心的知识及性质可判断A，利用确定圆的条件可判断B，利用垂径定理可判断C，利用三角形的外角和定理可判断D．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
故选A．
【分析】
设绳长x尺，竿长y尺， 根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴A，M，D三点共线时，的值最小，最小值为的长.
∵，为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：．
【分析】连接，由作图可知，为线段的垂直平分线，即得，可得，即得的最小值为的长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可求解．
10．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵，
∴不是“乾坤点”，故选项A错误，不符合题意；
B、∵函数的图象上存在“乾坤点”，记“乾坤点”的坐标为（a，6a+18），
∴，
解得a=0，
故“乾坤点”的坐标为（0，18），
∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误，不符合题意；
C、若函数是“乾坤函数”，则存在“乾坤点”，设为（a，a2－2a+2025），
∴，即，
∵，
∴方程无解，
∴函数的图象上不存在“乾坤点”，即函数不是“乾坤函数”，故选项C错误，不符合题意；
D、∵是“乾坤函数”，
∴，
化简，得，
∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴，
代入方程得：，
∴，
∴，
∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，设为设为（a，6a+18），可得，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，设为（a，a2－2a+2025），可得，求出，得方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到有两个相等的实数根，于是该方程有两相等的实数根，根据求解，即可判断选项D．
11．【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
故答案为：x(x+5)(x-5).
【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴正方形的边长可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由正方形的面积公式可得，，结合图形得出，即可得到正方形的边长 ．
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意，共种等可能的事件，
∴随机从所给的美食中选择一种进行品尝时，选中“茶颜悦色”的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算即可．
15．【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=40°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
移项合并得：，
经检验当时，，
∴原分式方程的解为∶
故答案为：
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可得到分式方程的解．
17．【答案】4
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴点O为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
18．【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，故结论①正确；
∵四边形为正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴∠ADG+∠ABG=∠ADC－∠CDG+∠ABC+∠CBG=∠ADC+∠ABC=180°.
∴∠BGD=360°－∠DAB－(∠ADG+∠ABG)＝90°，
∴，故结论③正确；
由③得：，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】由旋转的性质得，即得∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，即可判断①；由正方形的性质得，即得，进 而可得，即可判断②；先利用SAS证明△ABG≌△DCG，可得，再利用四边形的内角和定理可求得∠BGD=90°，即可判断③；证明，可得，即可判断④．
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方，零指数幂和算术平方根，再代入特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
20．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
21．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，由题意得：时，；时，，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设将销售单价定为元，则每天的销售量为件，
根据题意得：，
解得：，，
所以，应将销售单价定为或元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）设销售单价定为元，则销售量为件，利用“总利润＝单件利润×销售量”列式求解即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，；，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件，
根据题意得：，
解得：，，
所以，应将销售单价定为或元．
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
由作图可得：∠PAB=∠ACB.
∵AO=CO，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠ACB，
∴△APB∽△CPA，
∴，
∵，，
∴，
∴.
∴，
即的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由作图得∠PAB=∠ACB.由等腰三角形的性质得出∠CAO=∠ACB=∠PAB，
再利用直径所对的圆周角是得出，等量代换可得，即可得证；
（2）证明△APB∽△CPA，可得，代入数据求得BC的长，即可得到结论．
（1）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
即的半径为．
23．【答案】（1）解：过点作BE⊥AF于点E，如图所示，
由题意得：，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵，，
∴，∠BCE=90°，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
在中，BC=40cm，∠CBG=30°，
cm，cm，
∴cm，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质即可求BE的长；
（2）延长交于点，证明是等边三角形，在中解直角三角形，可求得，的长，即可得AE长，再根据等边三角形的性质和线段的和差即可求得DC长．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，，
∴．
24．【答案】（1）17，20
（2）解：（次）
故抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；
（3）解：（人）
故该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数大概为1300人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；加权平均数及其计算；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：借阅图书次数为1次的人数有13人，占总人数的26%，
被调查的总人数为（人），
，，即，
故答案为：17，20；
【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他次数的人数求得的值，最后用3次的人数除以总人数×100%即可求得的值；
（2）求出总阅读次数，再除以总人数即可得到答案；
（3）用总人数乘以样本中“3次及3次以上”的人数所占比例即可得．
（1）解：被调查的总人数为（人），
，，即，
故答案为：17，20；
（2）解：次
答：抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；
（3）解：估计该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数为（人）．
25．【答案】（1）解：∵ 抛物线与x轴交于点，， 二次项系数为﹣1，
∴
（2）解：设的纵坐标为，
当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
当时，，解得，，
∴或，
综上，D的坐标为或或；
（3）解：联立得方程组：，得，
设M、N的横坐标为、，
∵，，
∴和同号，
∴，
联立得方程组，得，
可得：，
∴，
∵，
∴，
∵ 一次函数与直线交于P点，
∴.
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；两一次函数图象相交或平行问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点坐标设解析式为交点式，代入二次项系数即可得抛物线的解析式 ；
（2）设的纵坐标为，求得OC长，根据求出，然后把分别代入求出对应的x，即可求解；
（3）联立方程组，得，设M、N的横坐标为、，根据根与系数的关系可求出，，则，联立方程组，得，解得，则，由两个一次函数交于P点可得k≠2，然b后根据构建关于m的方程并求解即可．
（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：设的纵坐标为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴或，
综上，D的坐标为或或；
（3）解：由题意知：，
联立方程组，得，
设M、N的横坐标为、，
则，，
∴
，
联立方程组，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
26．【答案】解：（1）∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，
过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，则，根据余弦定义可得BE，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点在边上时，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，根据平行四边形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，设，则，，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点在边上时，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，设，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据三角形面积可得，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得，，根据正切定义可得，代值计算即可求出答案；③当点在边上时，过点作于点，根据三角形面积即可求出答案；
1 / 1湖南省常德市临澧县2025年中考三模数学试题
1．（2025·临澧模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·临澧模拟）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式的值为5，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，求解即可．
3．（2025·临澧模拟）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图
C．赵爽弦图 D．洛书
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
4．（2025·临澧模拟）点在第三象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在第三象限，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可得到答案．
5．（2025·临澧模拟）将“做最好的自己”六个汉字分别写在某正方体的表面上，右图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“己”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：与“己”字所在面相对面上的汉字是“做”，
故答案为：A．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．同一行或同一列有三个或三个以上面时隔一个面的两个面为相对面；同一行或同一列少于三个面时，隔一行并拐弯，即可得到相对面.
6．（2025·临澧模拟）下面命题，正确的是（ ）
A．三角形的内心到三个顶点的距离相等
B．经过三点一定可以画一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．三角形的外角和为
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；确定圆的条件；三角形的内切圆与内心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故三角形的内心到三边的距离相等，不能判定到三个顶点距离相等，故原命题不正确，故选项A不符合题意；
B、经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原命题缺少条件，故不正确，故选项B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题缺少条件，故不正确，故选项C不符合题意；
D、三角形的外角和为，原命题正确，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形内心的知识及性质可判断A，利用确定圆的条件可判断B，利用垂径定理可判断C，利用三角形的外角和定理可判断D．
7．（2025·临澧模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
8．（2025·临澧模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
故选A．
【分析】
设绳长x尺，竿长y尺， 根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．
9．（2025·临澧模拟）如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴A，M，D三点共线时，的值最小，最小值为的长.
∵，为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：．
【分析】连接，由作图可知，为线段的垂直平分线，即得，可得，即得的最小值为的长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可求解．
10．（2025·临澧模拟）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ）
A．是“乾坤点”
B．函数的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵，
∴不是“乾坤点”，故选项A错误，不符合题意；
B、∵函数的图象上存在“乾坤点”，记“乾坤点”的坐标为（a，6a+18），
∴，
解得a=0，
故“乾坤点”的坐标为（0，18），
∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误，不符合题意；
C、若函数是“乾坤函数”，则存在“乾坤点”，设为（a，a2－2a+2025），
∴，即，
∵，
∴方程无解，
∴函数的图象上不存在“乾坤点”，即函数不是“乾坤函数”，故选项C错误，不符合题意；
D、∵是“乾坤函数”，
∴，
化简，得，
∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴，
代入方程得：，
∴，
∴，
∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，设为设为（a，6a+18），可得，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，设为（a，a2－2a+2025），可得，求出，得方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到有两个相等的实数根，于是该方程有两相等的实数根，根据求解，即可判断选项D．
11．（2025·临澧模拟）的绝对值是 ．
【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
12．（2025·临澧模拟）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
故答案为：x(x+5)(x-5).
【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．（2025·临澧模拟）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 （写出一个答案即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴正方形的边长可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由正方形的面积公式可得，，结合图形得出，即可得到正方形的边长 ．
14．（2025·临澧模拟）湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬．若随机从上面美食中选择一种进行品尝，则选中“茶颜悦色”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意，共种等可能的事件，
∴随机从所给的美食中选择一种进行品尝时，选中“茶颜悦色”的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式计算即可．
15．（2025·临澧模拟）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则 ．
【答案】140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=40°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
16．（2025·临澧模拟）方程的解是 ．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
移项合并得：，
经检验当时，，
∴原分式方程的解为∶
故答案为：
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可得到分式方程的解．
17．（2025·临澧模拟）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，则的长为 .
【答案】4
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴点O为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
18．（2025·临澧模拟）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．
【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，故结论①正确；
∵四边形为正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴∠ADG+∠ABG=∠ADC－∠CDG+∠ABC+∠CBG=∠ADC+∠ABC=180°.
∴∠BGD=360°－∠DAB－(∠ADG+∠ABG)＝90°，
∴，故结论③正确；
由③得：，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】由旋转的性质得，即得∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，即可判断①；由正方形的性质得，即得，进 而可得，即可判断②；先利用SAS证明△ABG≌△DCG，可得，再利用四边形的内角和定理可求得∠BGD=90°，即可判断③；证明，可得，即可判断④．
19．（2025·临澧模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方，零指数幂和算术平方根，再代入特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
20．（2025·临澧模拟）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
21．（2025·临澧模拟）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价（元）
销售量（件）
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，由题意得：时，；时，，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设将销售单价定为元，则每天的销售量为件，
根据题意得：，
解得：，，
所以，应将销售单价定为或元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）设销售单价定为元，则销售量为件，利用“总利润＝单件利润×销售量”列式求解即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，；，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件，
根据题意得：，
解得：，，
所以，应将销售单价定为或元．
22．（2025·临澧模拟）如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
由作图可得：∠PAB=∠ACB.
∵AO=CO，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠ACB，
∴△APB∽△CPA，
∴，
∵，，
∴，
∴.
∴，
即的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由作图得∠PAB=∠ACB.由等腰三角形的性质得出∠CAO=∠ACB=∠PAB，
再利用直径所对的圆周角是得出，等量代换可得，即可得证；
（2）证明△APB∽△CPA，可得，代入数据求得BC的长，即可得到结论．
（1）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
即的半径为．
23．（2025·临澧模拟）今年春晚，秧的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用．
活动主题 测试机器人宇树爬坡（坡角）的能力
测量工具 尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象
测量方案与数据信息 ①机器人的小腿的长度为，大腿上点与点的连线与水平面垂直； ②坡角； ③当机器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿与小腿的夹角，； ④参考数据：．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求点到水平面的距离；
（2）计算大腿的长度（结果精确到）
【答案】（1）解：过点作BE⊥AF于点E，如图所示，
由题意得：，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵，，
∴，∠BCE=90°，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
在中，BC=40cm，∠CBG=30°，
cm，cm，
∴cm，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质即可求BE的长；
（2）延长交于点，证明是等边三角形，在中解直角三角形，可求得，的长，即可得AE长，再根据等边三角形的性质和线段的和差即可求得DC长．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
即点到水平面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，，
∴．
24．（2025·临澧模拟）近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计图表．
借阅图书的次数 0 1 2 3 4
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．
（1） ________， ________；
（2）求抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数；
（3）该校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数．
【答案】（1）17，20
（2）解：（次）
故抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；
（3）解：（人）
故该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数大概为1300人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；加权平均数及其计算；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：借阅图书次数为1次的人数有13人，占总人数的26%，
被调查的总人数为（人），
，，即，
故答案为：17，20；
【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他次数的人数求得的值，最后用3次的人数除以总人数×100%即可求得的值；
（2）求出总阅读次数，再除以总人数即可得到答案；
（3）用总人数乘以样本中“3次及3次以上”的人数所占比例即可得．
（1）解：被调查的总人数为（人），
，，即，
故答案为：17，20；
（2）解：次
答：抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；
（3）解：估计该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数为（人）．
25．（2025·临澧模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点．若，求点D的坐标；
（3）如图2，一次函数与抛物线交于M，N两点，与直线交于P点，分别过点M，N，P作x轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求m的值．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与x轴交于点，， 二次项系数为﹣1，
∴
（2）解：设的纵坐标为，
当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
当时，，解得，，
∴或，
综上，D的坐标为或或；
（3）解：联立得方程组：，得，
设M、N的横坐标为、，
∵，，
∴和同号，
∴，
联立得方程组，得，
可得：，
∴，
∵，
∴，
∵ 一次函数与直线交于P点，
∴.
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；两一次函数图象相交或平行问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点坐标设解析式为交点式，代入二次项系数即可得抛物线的解析式 ；
（2）设的纵坐标为，求得OC长，根据求出，然后把分别代入求出对应的x，即可求解；
（3）联立方程组，得，设M、N的横坐标为、，根据根与系数的关系可求出，，则，联立方程组，得，解得，则，由两个一次函数交于P点可得k≠2，然b后根据构建关于m的方程并求解即可．
（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：设的纵坐标为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴或，
综上，D的坐标为或或；
（3）解：由题意知：，
联立方程组，得，
设M、N的横坐标为、，
则，，
∴
，
联立方程组，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
26．（2025·临澧模拟）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，若，过C作交于点F，求证：．
（2）如图2，在菱形中，，过C作交的延长线于点E，过E作交于点F，若时，求的值．
（3）如图3，在平行四边形中，，，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，求的长．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，
过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，则，根据余弦定义可得BE，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点在边上时，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，根据平行四边形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，设，则，，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点在边上时，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，设，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据三角形面积可得，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得，，根据正切定义可得，代值计算即可求出答案；③当点在边上时，过点作于点，根据三角形面积即可求出答案；
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