浙江省金衢十二校联盟2025年三模数学试卷（6月）
1．（2025·浙江模拟）下列各数中，2025的相反数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是
故答案为：B.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．（2025·浙江模拟）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图为：
故答案为：D.
【分析】通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图， 即可求解.
3．（2025·浙江模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．（2025·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则分别计算判断即可.
5．（2025·浙江模拟）体育中考某班6名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，180，这组数据的中位数是（ ）
A．178 B．179 C．181 D．180
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：150，166， 178， 180， 181， 193，
∴这组数据的中位数是
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可求解.
6．（2025·浙江模拟）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：连接 CC'交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.
7．（2025·浙江模拟）对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得： 然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算， 即可解答.
8．（2025·浙江模拟）已知点，，都在反比例函数上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 )都在反比例函数 上，
故答案为：D.
【分析】直接把点( 代入反比例函数 求出y1，y2，y3的值，再比较大小即 可.
9．（2025·浙江模拟）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连接DE与FG相交于点M，延长DE交BC于点N，若M是DE的中点，，则EN的长（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和EFGH都是正方形， AB=6，
∴∠DHE =∠HEF =∠ABC =90°，AD=BC=CD=AB=8，
∵ H是AE的中点，
∴DH垂直平分AE，
∴AD=DE=AB=8， ∠DAH =∠DEH，
∵∠DEF+∠DEH =90°， ∠DEF =∠BEN，
∴∠BEN+∠DAH =90°，
∵∠DAH+∠BAE=90°，
∠BAE+∠ABE=90°，
∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠DAH =∠ABE， ∠ADH =∠BAE，
∵Rt△ADH≌Rt△BAE(ASA)，
∴∠ABE=∠DAH，
∵∠ABE+∠NBE=90°，
∴∠DAH+∠NBE=90°，
，
设EN的长为x，
在 中，
解得
即EN的长为 2，
故答案为：D.
【分析】先证明DH垂直平分AE，则 ， 再证明 得到 设EN的长为x，则 则 在 中， 解方程即可得到EN的长.
10．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG=2DG，点H是线段CF上一点，CH=2HF，连接AG，AH，GH，HE.若已知△AGH的面积，则一定能求出（ ）
A．△ABC的面积 B．△ADG的面积
C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积
【答案】B
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠AED =∠C， ∠ADE=∠B，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∵EG=2DG， CH=2HF，
∵∠ADE=∠EFC，
∴△ADG∽△EFH，
∴∠DAG=∠FEH，
∵EF∥AB，
∴∠DAE=∠FEC，
∴∠DAE-∠DAG =∠FEC-∠FEH，即∠GAE=∠HEC，
∴AG∥EH，
∵EG=2DG，
，
∴已知 的面积，则一定能求出 的面积.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到 利用已知条件和相似三角形的判定与性质得到 利用平行线的判定定理得到 利用同底等高的三角形的面积相等的性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论.
11．（2025·浙江模拟）因式分解： .
【答案】（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：（m+2）（m-2）.
【分析】利用平方差公式直接进行因式分解.
12．（2025·浙江模拟）若分式 的值为 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：x-2=0且x+10，
解得x=2.
故答案为：x=2.
【分析】分式的值为零的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0. 两个条件需同时具备，缺一不可. 据此可以解答本题. 注意不要遗漏“分母不为0”这个条件.
13．（2025·浙江模拟）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6个数字，其中4有2个，
∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式求解即可.
14．（2025·浙江模拟）如图，经过A，B两点的⊙0与AC相切于点A，与边BC相交于点E，AD为⊙0的直径，AB=AC，连结DE，若∠C=36°，则∠BED的度数为 .
【答案】18°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠BAC = 180°-∠B-∠C =108°，
∵AD为⊙O的直径， ⊙O与AC相切于点A，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD =∠BAC-∠CAD =18°，
∴∠BED =∠BAD =18°，
故答案为： 18°.
【分析】由AB =AC， 得∠B =∠C =36°， 则∠BAC=180°-∠B-∠C =108°， 由切线的性质得∠CAD=90°， 则∠BED=∠BAD=∠BAC-∠CAD=18°，于是得到问题的答案.
15．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
四边形 DMCN 是正方形，
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
∴CD 平分∠BCA.
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN.
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN.
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA)，
，
则阴影部分的面积是 ，
故答案为： .
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，可得四边形 DMCN 是正方形，求出扇形的面积，然后证明△DMG≌△DNH，即可得到，然后计算阴影部分的面积.
16．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段AD与A'D'关于过点O的直线1对称，点D的对应点D'在线段OC上，A'D'与BC交与点G，将△AEF沿EF折叠，点A与点D'重合，且D'F平分∠AD'A'，则DE：CG= .
【答案】1：3
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，连接DD`、AA`、D`B，延长D`F交AA`于点K，延长FD`交CD于点N，延长D`B交AA`于点M.
关于直线对称
四边形ABCD是菱形
关于EF对称
四边形AED`F是菱形
四边形ADD`K是平行四边形
且
四边形EDND`是平行四边形、
此时，可过D`作，垂足为H，则
设，则，
故答案为：1：3.
【分析】由于菱形的对角线互相垂直平分，所以当线段DD'的对称轴经过菱形的对称中心O时必然有OD=OD'，则都是等腰直角三角形，且；又因为点A关于EF的对称点D'也在AC上，则四边形AED`F也是菱形，此时分别延长D'F交AA'于点K、延长D'B交AA'于M，再由菱形的性质和轴对称的性质可得四边形ADD'K是平行四边形，则有D'K=DA=D'A'，，再结合菱形的对称性和等腰三角形三线合一可证，从而可得，则由菱形性质结合已知可得，此时再延长FD'交CD于点N，则可得四边形EDND'是平行四边形，则DE=ND'，再由平行线的性质可证和都是等腰三角形且相似，从而把ED转化到CN上，此时可利用直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半作CG上的高D`H，再利用勾股定理求出CH，再利用等腰三角形的性质求出CG，再利用相似比即可.
17．（2025·浙江模拟）计算：
【答案】解：原式=3-6+5 =1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和负整数指数次幂，然后加减解题即可.
18．（2025·浙江模拟）解方程组：
【答案】解：①+②×3得 14x=-7
解得x=-
将x=-代入②得 y=1
∴原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AD是BC边上的高线，△ABC的面积为6，BC=2.
（1）求AB的长.
（2）求cos∠ACB的值.
【答案】（1）解：在△ABC中，AD是BC边上的高线，
∵AD是BC边上的高线
∴AD⊥BC
∴∠D=90°
∵∠ABC=135°
∴∠ABD=45°
∴∠BAD=45°
∴AD=BD
∵△ABC的面积为6，BC=2
∴AD=6
在Rt△ABD中，AB=
（2）解：在Rt△ACD中，AC=10
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)先求出AD的长，再结合△ADB是等腰直角三角形即可求出AB的长.
(2)先根据勾股定理求出AC的长，再结合余弦的定义进行计算即可.
20．（2025·浙江模拟）某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试，测试工程师随机抽取了m片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：GHz），将数据整理并绘制成如图表，根据行业标准，运行频率f≥3.0GHz的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率f＜3.0GHz的芯片需降级使用或返工。
运行频率的频数分布表
运行频率区间fIGHz 频数（芯片片数）
2.0≤f<2.5 7
2.5≤f<3.0 a
3.0≤f<3.5 15
3.5≤f<4.0 b
4.0≤f＜4.5 40
（1）m= ，n= .
（2）在扇形统计图中，运行频率为3.5≤f<4.0的扇形的圆心角度数是 .
（3）若该批次共生产了5000片芯片，估计整批芯片中合格品的数量.
【答案】（1）100；40
（2）90°
（3）解：
(片)，
答：估计整批芯片中合格品的数量约为4000片
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）
即
故答案为： 100、40；
(2)运行频率为： 的扇形的圆心角度数是
故答案为：
【分析】(1)用 的频数除以它的频率可得样本容量m， 用 除以样本容量可得n的值；
(2)用 乘对应百分比即可得出答案；
(3)用总数乘样本中合格品的数量所占百分比即可.
21．（2025·浙江模拟）小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个30°角的问题：
如图1，已知在射线AX上，依次取点B，C，使BC=AB.
小明：如图2，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，交于点D，连结AD，BD，则∠ADB=30°.
小丽：如图3，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，交于点D，连结CD，则∠ACD=30°.
小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于AB长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，AB长为半径画弧交射线BD于点E；以E为圆心，BE长为半径画弧交弧AE于点F，连结BF，则∠ABF=30°.
（1）做法正确的同学有 .
（2）请选择你认为正确的一种做法给出证明.
证明：我选择证明图 ▲ （填序号）
【答案】（1）小明、小丽、小颖
（2）解：我选择证明图②
连结CD 由作图可得AD=CD=AC
∴△ACD是等边三角形
∴∠A=60°
∵AB=BC
∴BD⊥AC
∴∠ABD=90°
∴∠ADB=30°
我选择证明图③ 连结AD、BD
由作图可得AD=BD=AB
∴△ABD是等边三角形
∴∠ABD=60°
∵AB=BC
∴BD=BC
∵∠ACD+∠BDC=90°
∴∠ACD=30°
我选择证明图④ 连结AD、CD、EF
由作图可得AD=CD，△BEF是等边三角形
∴∠EBF=60°
∵AB=BC
∴BD⊥AC
∴∠ABD=90°
∴∠ABF=∠ABD-∠EBF=30°
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)结合等边三角形的判定与性质逐个判断即可.
(2)结合等边三角形的判定与性质证明即可
22．（2025·浙江模拟）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），每次支付费用y元与骑行时间xmin之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为y1；B种共享单车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息，解决下列问题：
（1）小金每天早上骑行A种共享单车或B种共享单车去公司上班，已知两种共享单车的平均行驶速度均为300m/min，小金家到公司的距离为9000m，那么小金选择 种电动车更省钱（填“A”或“B”）.
（2）当x>10时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式.
（3）一天，小金骑行A种共享单车从家到公司上班，小衢骑行B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差.
【答案】（1）B
（2）解：当 时，A种共享单车每分钟的费用为 (元)，
B种共享单车每分钟的费用为 (元)，
则
∴当x >10时，A种共享单车的支付费用的函数表达式为
B种共享单车的支付费用的函数表达式为
（3）解：当时，，
当时，7.6=x+4，x=18
19-18=1（分钟）
∴小金和小衢骑行的时间差为1分钟
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)小金从家到公司所用时间为
由图象可知，当 时，
∴小金选择B电动车更省钱.
故答案为：B.
【分析】(1)根据时间=路程÷速度求出小金从家到公司所用时间，再根据图象比较y1与y2的大小即可；
(2)分别计算A、B两种共享单车每分钟的费用，从而写出对应函数关系式即可；
(3)分别计算当 时对应x的值并求差即可.
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数y=x2-3x-m2+3m（m≠0的实数）.
（1）二次函数图象的对称轴是 .
（2）当m=2时，
①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值.
②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
（3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出t的取值范围.
【答案】（1）直线x=
（2）解： 当 时，二次函数的解析式为 ，
①∵将平面内一点A(1，n)向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合，向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，
∴点 ，
由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∵点. )都在二次函数
的图象上，
解得：，
∴点( ，
当 时，；
②∵二次函数的解析式为
，
当 时，y取得最小值 当 时， ，
当 时， ，
，
∴抛物线的开口向上，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是
（3）解：由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x增大而减小；当 时， y随x增大而增大，
设点 在二次函数 的图象上，且满足 ，
当 时，
3m，
∴当 时，
，
∵对于二次函数图象上的两点.
当 时，均满足 ，
∴当点 在点 下方时，满足条件 ，
整理， 得： ，
解得： ，
，
∴抛物线的开口向上，
，
解得：，
∴t的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】(1)
∴二次函数图象的对称轴是直线
故答案为：直线x=.
【分析】(1)将二次函数的解析式配成顶点式即可得出二次函数图象的对称轴；
(2)当 时即可得到二次函数的解析式为
①根据平移即可得到点 根据(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 即可建立关于a的方程，解方程，即可求出点( 即可求出答案；
②根据二次函数的解析式为 即可求出当 时，y取得最小值 及当x =-2时和当 时的二次函数值，根据“亲密点”的概念， 即可得出所有“亲密点”的y的取值范围；
(3)根据 (1)对称轴是直线 ，即可判断二次函数的增减性，通过设点 ，根据题意即可判断出当点 在点 下方时，满足条件，即可建立关于n的方程，求出 根据二次函数的性质即可建立关于t的不等式组，解不等式组，即可求出答案.
24．（2025·浙江模拟）如图，CD为⊙O的直径，在线段OC上取一点P，过点P作AB⊥OC（点A在直径CD上方），连结AC、DB并延长交于点F，过点A作AE⊥BD于点E，交直径CD于点G.
（1）求证：CP=PG.
（2）设∠BAE=α，∠F=β.求B关于α的函数关系式.
（3）当OG=OP时，求tanα·tanβ的值.
【答案】（1）证明：∵AB⊥OC，
∴∠APG=90°，
∴∠PAG+∠AGP=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AGP=∠ABE
∵∠ABE=∠ACG，
∴∠AGP=∠ACG，
∴AC=AG，
∴CP=GP
（2）解：由(1)知AC=AG，CP=GP.
∵AP⊥CG，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠BAE=α，
∴∠FAE=2∠BAE=2α.
∴β=90°-2α.
∴β关于α的函数关系式为β=90°-2α
（3）解：连接OB，如图，
∵∠CDB=∠CAB=∠OBD=α，
∴∠COB=2∠D=2α，
∴∠OBP=90°-∠COB=90°-2α=β，
I.当点G在线段OC上，OP=30G时，
∴PG=2GO，
∴CP=PG=2GO，
∴OD=OC=PO+CP=50G，
∴DP=OD+OP=8OG，
；
Ⅱ.当点G在线段OD上，OP=30G时，
∴PG=4GO，
∴CP=PG=4GO，
∴OD=OC=PO+CP=70G，
∴DP=OD+OP=100G，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用垂直的意义，直角三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定与性质解答即可；
(2)利用等腰三角形的三线合一的性质，圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；
(3)先利用直角三角形的边角关系定理求得tanα，tanβ的值，再利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：I当点G在线段OC上， 时，利用圆的有关性质和(1)的结论求得OP，DP即可求得结论；Ⅱ当点G在线段OD上， 时，利用类比的方法解答即可.
1 / 1浙江省金衢十二校联盟2025年三模数学试卷（6月）
1．（2025·浙江模拟）下列各数中，2025的相反数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．（2025·浙江模拟）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模拟）体育中考某班6名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，180，这组数据的中位数是（ ）
A．178 B．179 C．181 D．180
6．（2025·浙江模拟）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
7．（2025·浙江模拟）对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江模拟）已知点，，都在反比例函数上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江模拟）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连接DE与FG相交于点M，延长DE交BC于点N，若M是DE的中点，，则EN的长（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG=2DG，点H是线段CF上一点，CH=2HF，连接AG，AH，GH，HE.若已知△AGH的面积，则一定能求出（ ）
A．△ABC的面积 B．△ADG的面积
C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积
11．（2025·浙江模拟）因式分解： .
12．（2025·浙江模拟）若分式 的值为 ，则 的值为 .
13．（2025·浙江模拟）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 .
14．（2025·浙江模拟）如图，经过A，B两点的⊙0与AC相切于点A，与边BC相交于点E，AD为⊙0的直径，AB=AC，连结DE，若∠C=36°，则∠BED的度数为 .
15．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
16．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段AD与A'D'关于过点O的直线1对称，点D的对应点D'在线段OC上，A'D'与BC交与点G，将△AEF沿EF折叠，点A与点D'重合，且D'F平分∠AD'A'，则DE：CG= .
17．（2025·浙江模拟）计算：
18．（2025·浙江模拟）解方程组：
19．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=135°，AD是BC边上的高线，△ABC的面积为6，BC=2.
（1）求AB的长.
（2）求cos∠ACB的值.
20．（2025·浙江模拟）某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试，测试工程师随机抽取了m片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：GHz），将数据整理并绘制成如图表，根据行业标准，运行频率f≥3.0GHz的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率f＜3.0GHz的芯片需降级使用或返工。
运行频率的频数分布表
运行频率区间fIGHz 频数（芯片片数）
2.0≤f<2.5 7
2.5≤f<3.0 a
3.0≤f<3.5 15
3.5≤f<4.0 b
4.0≤f＜4.5 40
（1）m= ，n= .
（2）在扇形统计图中，运行频率为3.5≤f<4.0的扇形的圆心角度数是 .
（3）若该批次共生产了5000片芯片，估计整批芯片中合格品的数量.
21．（2025·浙江模拟）小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个30°角的问题：
如图1，已知在射线AX上，依次取点B，C，使BC=AB.
小明：如图2，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，交于点D，连结AD，BD，则∠ADB=30°.
小丽：如图3，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，交于点D，连结CD，则∠ACD=30°.
小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于AB长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，AB长为半径画弧交射线BD于点E；以E为圆心，BE长为半径画弧交弧AE于点F，连结BF，则∠ABF=30°.
（1）做法正确的同学有 .
（2）请选择你认为正确的一种做法给出证明.
证明：我选择证明图 ▲ （填序号）
22．（2025·浙江模拟）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），每次支付费用y元与骑行时间xmin之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为y1；B种共享单车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息，解决下列问题：
（1）小金每天早上骑行A种共享单车或B种共享单车去公司上班，已知两种共享单车的平均行驶速度均为300m/min，小金家到公司的距离为9000m，那么小金选择 种电动车更省钱（填“A”或“B”）.
（2）当x>10时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式.
（3）一天，小金骑行A种共享单车从家到公司上班，小衢骑行B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差.
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数y=x2-3x-m2+3m（m≠0的实数）.
（1）二次函数图象的对称轴是 .
（2）当m=2时，
①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值.
②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
（3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出t的取值范围.
24．（2025·浙江模拟）如图，CD为⊙O的直径，在线段OC上取一点P，过点P作AB⊥OC（点A在直径CD上方），连结AC、DB并延长交于点F，过点A作AE⊥BD于点E，交直径CD于点G.
（1）求证：CP=PG.
（2）设∠BAE=α，∠F=β.求B关于α的函数关系式.
（3）当OG=OP时，求tanα·tanβ的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是
故答案为：B.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图为：
故答案为：D.
【分析】通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图， 即可求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则分别计算判断即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：150，166， 178， 180， 181， 193，
∴这组数据的中位数是
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可求解.
6．【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：连接 CC'交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得： 然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算， 即可解答.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 )都在反比例函数 上，
故答案为：D.
【分析】直接把点( 代入反比例函数 求出y1，y2，y3的值，再比较大小即 可.
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和EFGH都是正方形， AB=6，
∴∠DHE =∠HEF =∠ABC =90°，AD=BC=CD=AB=8，
∵ H是AE的中点，
∴DH垂直平分AE，
∴AD=DE=AB=8， ∠DAH =∠DEH，
∵∠DEF+∠DEH =90°， ∠DEF =∠BEN，
∴∠BEN+∠DAH =90°，
∵∠DAH+∠BAE=90°，
∠BAE+∠ABE=90°，
∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠DAH =∠ABE， ∠ADH =∠BAE，
∵Rt△ADH≌Rt△BAE(ASA)，
∴∠ABE=∠DAH，
∵∠ABE+∠NBE=90°，
∴∠DAH+∠NBE=90°，
，
设EN的长为x，
在 中，
解得
即EN的长为 2，
故答案为：D.
【分析】先证明DH垂直平分AE，则 ， 再证明 得到 设EN的长为x，则 则 在 中， 解方程即可得到EN的长.
10．【答案】B
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠AED =∠C， ∠ADE=∠B，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∵EG=2DG， CH=2HF，
∵∠ADE=∠EFC，
∴△ADG∽△EFH，
∴∠DAG=∠FEH，
∵EF∥AB，
∴∠DAE=∠FEC，
∴∠DAE-∠DAG =∠FEC-∠FEH，即∠GAE=∠HEC，
∴AG∥EH，
∵EG=2DG，
，
∴已知 的面积，则一定能求出 的面积.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到 利用已知条件和相似三角形的判定与性质得到 利用平行线的判定定理得到 利用同底等高的三角形的面积相等的性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论.
11．【答案】（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：（m+2）（m-2）.
【分析】利用平方差公式直接进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：x-2=0且x+10，
解得x=2.
故答案为：x=2.
【分析】分式的值为零的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0. 两个条件需同时具备，缺一不可. 据此可以解答本题. 注意不要遗漏“分母不为0”这个条件.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6个数字，其中4有2个，
∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式求解即可.
14．【答案】18°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠BAC = 180°-∠B-∠C =108°，
∵AD为⊙O的直径， ⊙O与AC相切于点A，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD =∠BAC-∠CAD =18°，
∴∠BED =∠BAD =18°，
故答案为： 18°.
【分析】由AB =AC， 得∠B =∠C =36°， 则∠BAC=180°-∠B-∠C =108°， 由切线的性质得∠CAD=90°， 则∠BED=∠BAD=∠BAC-∠CAD=18°，于是得到问题的答案.
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
四边形 DMCN 是正方形，
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
∴CD 平分∠BCA.
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN.
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN.
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA)，
，
则阴影部分的面积是 ，
故答案为： .
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，可得四边形 DMCN 是正方形，求出扇形的面积，然后证明△DMG≌△DNH，即可得到，然后计算阴影部分的面积.
16．【答案】1：3
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，连接DD`、AA`、D`B，延长D`F交AA`于点K，延长FD`交CD于点N，延长D`B交AA`于点M.
关于直线对称
四边形ABCD是菱形
关于EF对称
四边形AED`F是菱形
四边形ADD`K是平行四边形
且
四边形EDND`是平行四边形、
此时，可过D`作，垂足为H，则
设，则，
故答案为：1：3.
【分析】由于菱形的对角线互相垂直平分，所以当线段DD'的对称轴经过菱形的对称中心O时必然有OD=OD'，则都是等腰直角三角形，且；又因为点A关于EF的对称点D'也在AC上，则四边形AED`F也是菱形，此时分别延长D'F交AA'于点K、延长D'B交AA'于M，再由菱形的性质和轴对称的性质可得四边形ADD'K是平行四边形，则有D'K=DA=D'A'，，再结合菱形的对称性和等腰三角形三线合一可证，从而可得，则由菱形性质结合已知可得，此时再延长FD'交CD于点N，则可得四边形EDND'是平行四边形，则DE=ND'，再由平行线的性质可证和都是等腰三角形且相似，从而把ED转化到CN上，此时可利用直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半作CG上的高D`H，再利用勾股定理求出CH，再利用等腰三角形的性质求出CG，再利用相似比即可.
17．【答案】解：原式=3-6+5 =1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和负整数指数次幂，然后加减解题即可.
18．【答案】解：①+②×3得 14x=-7
解得x=-
将x=-代入②得 y=1
∴原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】（1）解：在△ABC中，AD是BC边上的高线，
∵AD是BC边上的高线
∴AD⊥BC
∴∠D=90°
∵∠ABC=135°
∴∠ABD=45°
∴∠BAD=45°
∴AD=BD
∵△ABC的面积为6，BC=2
∴AD=6
在Rt△ABD中，AB=
（2）解：在Rt△ACD中，AC=10
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)先求出AD的长，再结合△ADB是等腰直角三角形即可求出AB的长.
(2)先根据勾股定理求出AC的长，再结合余弦的定义进行计算即可.
20．【答案】（1）100；40
（2）90°
（3）解：
(片)，
答：估计整批芯片中合格品的数量约为4000片
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）
即
故答案为： 100、40；
(2)运行频率为： 的扇形的圆心角度数是
故答案为：
【分析】(1)用 的频数除以它的频率可得样本容量m， 用 除以样本容量可得n的值；
(2)用 乘对应百分比即可得出答案；
(3)用总数乘样本中合格品的数量所占百分比即可.
21．【答案】（1）小明、小丽、小颖
（2）解：我选择证明图②
连结CD 由作图可得AD=CD=AC
∴△ACD是等边三角形
∴∠A=60°
∵AB=BC
∴BD⊥AC
∴∠ABD=90°
∴∠ADB=30°
我选择证明图③ 连结AD、BD
由作图可得AD=BD=AB
∴△ABD是等边三角形
∴∠ABD=60°
∵AB=BC
∴BD=BC
∵∠ACD+∠BDC=90°
∴∠ACD=30°
我选择证明图④ 连结AD、CD、EF
由作图可得AD=CD，△BEF是等边三角形
∴∠EBF=60°
∵AB=BC
∴BD⊥AC
∴∠ABD=90°
∴∠ABF=∠ABD-∠EBF=30°
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)结合等边三角形的判定与性质逐个判断即可.
(2)结合等边三角形的判定与性质证明即可
22．【答案】（1）B
（2）解：当 时，A种共享单车每分钟的费用为 (元)，
B种共享单车每分钟的费用为 (元)，
则
∴当x >10时，A种共享单车的支付费用的函数表达式为
B种共享单车的支付费用的函数表达式为
（3）解：当时，，
当时，7.6=x+4，x=18
19-18=1（分钟）
∴小金和小衢骑行的时间差为1分钟
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)小金从家到公司所用时间为
由图象可知，当 时，
∴小金选择B电动车更省钱.
故答案为：B.
【分析】(1)根据时间=路程÷速度求出小金从家到公司所用时间，再根据图象比较y1与y2的大小即可；
(2)分别计算A、B两种共享单车每分钟的费用，从而写出对应函数关系式即可；
(3)分别计算当 时对应x的值并求差即可.
23．【答案】（1）直线x=
（2）解： 当 时，二次函数的解析式为 ，
①∵将平面内一点A(1，n)向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合，向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，
∴点 ，
由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∵点. )都在二次函数
的图象上，
解得：，
∴点( ，
当 时，；
②∵二次函数的解析式为
，
当 时，y取得最小值 当 时， ，
当 时， ，
，
∴抛物线的开口向上，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是
（3）解：由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x增大而减小；当 时， y随x增大而增大，
设点 在二次函数 的图象上，且满足 ，
当 时，
3m，
∴当 时，
，
∵对于二次函数图象上的两点.
当 时，均满足 ，
∴当点 在点 下方时，满足条件 ，
整理， 得： ，
解得： ，
，
∴抛物线的开口向上，
，
解得：，
∴t的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】(1)
∴二次函数图象的对称轴是直线
故答案为：直线x=.
【分析】(1)将二次函数的解析式配成顶点式即可得出二次函数图象的对称轴；
(2)当 时即可得到二次函数的解析式为
①根据平移即可得到点 根据(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 即可建立关于a的方程，解方程，即可求出点( 即可求出答案；
②根据二次函数的解析式为 即可求出当 时，y取得最小值 及当x =-2时和当 时的二次函数值，根据“亲密点”的概念， 即可得出所有“亲密点”的y的取值范围；
(3)根据 (1)对称轴是直线 ，即可判断二次函数的增减性，通过设点 ，根据题意即可判断出当点 在点 下方时，满足条件，即可建立关于n的方程，求出 根据二次函数的性质即可建立关于t的不等式组，解不等式组，即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵AB⊥OC，
∴∠APG=90°，
∴∠PAG+∠AGP=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AGP=∠ABE
∵∠ABE=∠ACG，
∴∠AGP=∠ACG，
∴AC=AG，
∴CP=GP
（2）解：由(1)知AC=AG，CP=GP.
∵AP⊥CG，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠BAE=α，
∴∠FAE=2∠BAE=2α.
∴β=90°-2α.
∴β关于α的函数关系式为β=90°-2α
（3）解：连接OB，如图，
∵∠CDB=∠CAB=∠OBD=α，
∴∠COB=2∠D=2α，
∴∠OBP=90°-∠COB=90°-2α=β，
I.当点G在线段OC上，OP=30G时，
∴PG=2GO，
∴CP=PG=2GO，
∴OD=OC=PO+CP=50G，
∴DP=OD+OP=8OG，
；
Ⅱ.当点G在线段OD上，OP=30G时，
∴PG=4GO，
∴CP=PG=4GO，
∴OD=OC=PO+CP=70G，
∴DP=OD+OP=100G，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用垂直的意义，直角三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定与性质解答即可；
(2)利用等腰三角形的三线合一的性质，圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；
(3)先利用直角三角形的边角关系定理求得tanα，tanβ的值，再利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：I当点G在线段OC上， 时，利用圆的有关性质和(1)的结论求得OP，DP即可求得结论；Ⅱ当点G在线段OD上， 时，利用类比的方法解答即可.
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