四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷
1．（2025·绵阳模拟）在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
【分析】
负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．（2025·绵阳模拟）截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》《哪吒2》的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：154亿，
故答案为：A．
【分析】由题意，先将单位"亿元"化为单位“元”，然后根据科学记数法“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
3．（2025·绵阳模拟）如图是绵阳城市标识（）--“绵古创新之印”，标识以四种英文字母“”组成一个“绵”字．“”代表科技（），“”代表巴蜀门户（），“”代表生态（），“”代表绵阳（），其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，
∴图形是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义"把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形"并结合各选项即可判断求解．
4．（2025·绵阳模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【分析】
从物体左边观察得到的图形叫左视图．
5．（2025·绵阳模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．（2025·绵阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
7．（2025·绵阳模拟）已知a和b是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由一元二次方程的解的定义将x=a代入方程可得，，将所求式子变形为，然后整体代入所求式子计算即可求解．
8．（2025·绵阳模拟）一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）．
一
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
在中，，
（米），
由图可得，地毯的长度至少需要米，
楼梯宽度3米，
地毯的面积至少需要．
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，由正切的定义tan∠BAC=将BC表示（米），由图可得，地毯的长度至少需要米，结合已知，根据矩形的面积=长×宽即可求解．
9．（2025·绵阳模拟）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的函数图象在一、三象限可得，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧可得，，根据对称轴在y轴的右侧可知a、b的符号变化特征“左同右异”可得，根据a、b、c的符号并结合一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
10．（2025·绵阳模拟）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．4或 B．4或 C．6或 D．6或
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，
，
与x轴相切，
轴，
，
的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，
设，
，
，
在中，
，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
半径是6或；
故答案为：C．
【分析】设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，在中，由勾股定理得关于m的方程，解方程求出的值，然后将m的值代入半径MD=ME=m+3计算即可求解．
11．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵当点从移至点A时．
，．
∴（），
当时．
此时点到的距离不变．
∴．
当点时．
．
故答案为：B．
【分析】根据题意可表示出各阶段的函数解析式，从而可以得到各阶段的函数图象，求出每一个范围的s与b之间的函数关系式并结合各选项即可判断求解．
12．（2025·绵阳模拟）在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在等腰中，，
，
设，
，
，
，
，
如图，连接，交于点，过点作于点，
由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∴在中，，
故选：C．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，在△ADE中，用面积法可得关于AF的方程，解方程可得的长，从而可得的长，在△AA D中，用面积法可得关于A G的方程，解方程可得A G的长，在Rt△A G D中，用勾股定理可得DG 的长，然后根据线段的和差BG=BD-DG可得的长，在Rt△A G B中，根据正切的定义tan∠A BD=计算即可求解．
13．（2025·绵阳模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先根据题意提取公因式，进而根据平方差公式因式分解即可求解。
14．（2025·绵阳模拟）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义得到，再根据邻补角的性质即可求解．
15．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作轴于点，
∵，
∴，，，
∴，
由旋转性质可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，由旋转的性质可得旋转角，在Rt△ABH中，由勾股定理求出线段的长度，然后根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形AB B+S△AO B并结合扇形的面积公式可求解．
16．（2025·绵阳模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
，
，
又关于x的一元一次不等式组的解集为，
，
解得；
，
关于y的分式方程的解为非负整数，且，即，
符合条件的所有整数a为，，
符合条件的所有整数a的和为；
故答案为：．
【分析】先解一元一次不等式组，根据同大取大可得关于a的不等式，解不等式求得的取值范围；再解分式方程，结合分式方程的解为肺腑正式并结合分式有意义的条件“分母≠0”即可求解．
17．（2025·绵阳模拟）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
18．（2025·绵阳模拟）如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：
如图，过作于，过作于，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先根据∠ABD的正切值，求出，，再利用等面积法，求出，，，再根据题目所给条件，得到，利用勾股定理，求出，再利用等面积法，求出，进一步求解，证明，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴合适的整数只有，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=3，
由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据实数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；根据分式有意义的条件“分母≠0”求出a的取值范围，再把合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
20．（2025·绵阳模拟）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为____________；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
【答案】（1）解：10÷10%=100（人）；
（2）解：C组的人数为：100-20-30-15-10=25（人）
补全条形图如图所示：
（3）
（3）54°
（4）解：画树状图如图所示：
相同的有：AA、BB、CC、DD、EE五种情况；
共有25种情况，故相同的情况概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（3）解：D组对应的度数为：；
故答案为：54°.
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求出此次调查共抽取的学生人数 ；
（2）根据样本容量=各小组频数之和可求出C组人数，于是可将条形图补充完整；
（3）根据圆心角=百分比×360°可求出D对应的圆心角度数；
（4）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可知：符合条件的情况个数，然后由概率公式计算即可求解．
（1）10÷10%=100（人）
（2）C组的人数为：100-20-30-15-10=25（人）
补全条形图如图所示：
（3）D组对应的度数为：
（4）画树状图如图所示：
相同的有：AA、BB、CC、DD、EE五种情况；
共有25种情况，故相同的情况概率为：
21．（2025·绵阳模拟）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心.现有下表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载（吨） 4 3
价格（元） 500 400
（1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
【答案】（1）解：设甲、乙两种货车分别派出和辆，由题意列方程得：
解方程得：
答：甲、乙两种货车分别派出和辆；
（2）解：设运输费用为，派出甲型货车辆，则
由题意知：
随的增大而增大
当时，有最小值，最小值为（元）.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）分别设甲、乙两种货车分别派出和辆，则由等量关系“ 总重为25吨 、 两种货车共8辆 ”列方程组并求解即可；
（2）先分别设出运输费用为，派出甲型货车辆，则由题意可得是的一次函数，且随的增大而增大；再由“ 预算运输费用不超过3600元 ”列不等式，解不等式并结合已知条件可确定的取值范围，显然当最小时，也最小，求出这个最小值即可.
22．（2025·绵阳模拟）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，
∵四边形是正方形，
，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
在△EMF和△ENC中
，
．
（2）解：如图，延长交于点，
则四边形是矩形，
，
根据（1）∵，
，
∵，
∴，，
∴，
，
．
答：AF的长为.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点分别作、的垂线，垂足分别为、，证明四边形是正方形，得出，结合题意，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可求解；
（2）如图，延长交于点，则四边形是矩形，得出，根据（1），得出，根据，由等腰直角三角形的性质可得，用勾股定理得，然后由线段的和差AF=AM+MF即可求解．
（1）证明：如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，
∵四边形是正方形，
，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：如图，延长交于点，
则四边形是矩形，
，
根据（1）∵，
，
∵，
∴，，
∴，
，
．
23．（2025·绵阳模拟）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标；
（2）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意得，将，代入得：
∴，
将，代入得
解得
∴直线，反比例函数
∴，
∴，
∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示，
∴设
∴，，
∵
∴
∴
解得
∴；
（2）解：如图所示，设与交于点M，
∵四边形是垂美四边形且被平分时
∴
∵直线
∴设所占直线表达式为
联立得，
解得
∴
∵M是中点，设
∴
∴将代入和得，
解得
∴，．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）将，代入可将A、B的坐标用含b的代数式表示出来，然后将A、B的坐标代入反比例函数的解析式计算可求出b、k的值，则可得A、B两点的坐标，设，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于c的方程，解方程即可求解；
（2）如图所示，设与交于点M，设所占直线表达式为，两种直线联立求出，设，然后根据中点坐标公式可得，然后代入直线PQ和反比例函数的解析式计算求出t、q的值，则点P、Q的坐标可求解．
（1）解：根据题意得，将，代入得
∴，
将，代入得
解得
∴直线，反比例函数
∴，
∴，
∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示，
∴设
∴，，
∵
∴
∴
解得
∴；
（2）解：如图所示，设与交于点M
∵四边形是垂美四边形且被平分时
∴
∵直线
∴设所占直线表达式为
联立得，
解得
∴
∵M是中点，设
∴
∴将代入和得，
解得
∴，．
24．（2025·绵阳模拟）如图1，在中，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作于点，并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点作 于，当，的半径为时，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过作于，交于，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
在△BDF和△TDG中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
在Rt△DEF和Rt△CGH中
∴，
∴，
在△BDF和△TDG中
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，的半径为，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，（负根舍去），
由（2）得：四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和垂线的定义可得=90°，由同角的补角相等可得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（2）如图，连接，过作于，交于，证明，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，再根据HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据角角边可得，同理可得可求解；
（3）如图，连接，由，设，则，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值（负根舍去），根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，设，则，由，可得，结合乘积式可得关于m的方程，解方程求出m的值（负根舍去），在Rt△DEF中，用勾股定理求解即可.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过作于，交于，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，的半径为，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，（负根舍去），
由（2）得：四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴.
25．（2025·绵阳模拟）如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标；
（3）若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【答案】（1）解：当时，，当时，，
∴，．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，，
①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在△NOG和△ODB中
∴（AAS），
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则，
同理可求出，直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
如答图所示，
设平移中的三角形为，点在线段上，
设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q，
设水平方向的平移距离为，
则图中，，，，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
联立方程组，解得t，
∴．
过点P作轴于点G，则．
∴
，
当时，S有最大值为，
∴S的最大值为．
【知识点】正方形的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）分两种情况讨论：①当M、N在左侧时；②当M、N在右侧时，然后构造全等三角形求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，最后联立方程组即可求解；
（3）设水平方向的平移距离为，由平移的性质求出S的表达式并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：当时，，
当时，，
∴，．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，，
①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则，
同理可求出，直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
如答图所示，
设平移中的三角形为，点在线段上，
设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q，
设水平方向的平移距离为，
则图中，，，，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
联立方程组，解得t，
∴．
过点P作轴于点G，则．
∴
，
当时，S有最大值为，
∴S的最大值为．
1 / 1四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷
1．（2025·绵阳模拟）在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·绵阳模拟）截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》《哪吒2》的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·绵阳模拟）如图是绵阳城市标识（）--“绵古创新之印”，标识以四种英文字母“”组成一个“绵”字．“”代表科技（），“”代表巴蜀门户（），“”代表生态（），“”代表绵阳（），其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·绵阳模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·绵阳模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
6．（2025·绵阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·绵阳模拟）已知a和b是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
8．（2025·绵阳模拟）一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）．
一
A． B． C． D．
9．（2025·绵阳模拟）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
10．（2025·绵阳模拟）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．4或 B．4或 C．6或 D．6或
11．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
12．（2025·绵阳模拟）在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·绵阳模拟）因式分解： ．
14．（2025·绵阳模拟）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，，则的度数为 ．
15．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为 ．
16．（2025·绵阳模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
17．（2025·绵阳模拟）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ．
18．（2025·绵阳模拟）如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数．
20．（2025·绵阳模拟）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为____________；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
21．（2025·绵阳模拟）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心.现有下表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载（吨） 4 3
价格（元） 500 400
（1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
（2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
22．（2025·绵阳模拟）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2025·绵阳模拟）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标；
（2）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标．
24．（2025·绵阳模拟）如图1，在中，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作于点，并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点作 于，当，的半径为时，求的长．
25．（2025·绵阳模拟）如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标；
（3）若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
【分析】
负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：154亿，
故答案为：A．
【分析】由题意，先将单位"亿元"化为单位“元”，然后根据科学记数法“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
3．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，
∴图形是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，
∴不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义"把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形"并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【分析】
从物体左边观察得到的图形叫左视图．
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由一元二次方程的解的定义将x=a代入方程可得，，将所求式子变形为，然后整体代入所求式子计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】平移的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
在中，，
（米），
由图可得，地毯的长度至少需要米，
楼梯宽度3米，
地毯的面积至少需要．
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，由正切的定义tan∠BAC=将BC表示（米），由图可得，地毯的长度至少需要米，结合已知，根据矩形的面积=长×宽即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的函数图象在一、三象限可得，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧可得，，根据对称轴在y轴的右侧可知a、b的符号变化特征“左同右异”可得，根据a、b、c的符号并结合一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，
，
与x轴相切，
轴，
，
的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，
设，
，
，
在中，
，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
半径是6或；
故答案为：C．
【分析】设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，在中，由勾股定理得关于m的方程，解方程求出的值，然后将m的值代入半径MD=ME=m+3计算即可求解．
11．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵当点从移至点A时．
，．
∴（），
当时．
此时点到的距离不变．
∴．
当点时．
．
故答案为：B．
【分析】根据题意可表示出各阶段的函数解析式，从而可以得到各阶段的函数图象，求出每一个范围的s与b之间的函数关系式并结合各选项即可判断求解．
12．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在等腰中，，
，
设，
，
，
，
，
如图，连接，交于点，过点作于点，
由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∴在中，，
故选：C．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，在△ADE中，用面积法可得关于AF的方程，解方程可得的长，从而可得的长，在△AA D中，用面积法可得关于A G的方程，解方程可得A G的长，在Rt△A G D中，用勾股定理可得DG 的长，然后根据线段的和差BG=BD-DG可得的长，在Rt△A G B中，根据正切的定义tan∠A BD=计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先根据题意提取公因式，进而根据平方差公式因式分解即可求解。
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义得到，再根据邻补角的性质即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作轴于点，
∵，
∴，，，
∴，
由旋转性质可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，由旋转的性质可得旋转角，在Rt△ABH中，由勾股定理求出线段的长度，然后根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形AB B+S△AO B并结合扇形的面积公式可求解．
16．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
，
，
又关于x的一元一次不等式组的解集为，
，
解得；
，
关于y的分式方程的解为非负整数，且，即，
符合条件的所有整数a为，，
符合条件的所有整数a的和为；
故答案为：．
【分析】先解一元一次不等式组，根据同大取大可得关于a的不等式，解不等式求得的取值范围；再解分式方程，结合分式方程的解为肺腑正式并结合分式有意义的条件“分母≠0”即可求解．
17．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：
如图，过作于，过作于，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先根据∠ABD的正切值，求出，，再利用等面积法，求出，，，再根据题目所给条件，得到，利用勾股定理，求出，再利用等面积法，求出，进一步求解，证明，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴合适的整数只有，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=3，
由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据实数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；根据分式有意义的条件“分母≠0”求出a的取值范围，再把合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
20．【答案】（1）解：10÷10%=100（人）；
（2）解：C组的人数为：100-20-30-15-10=25（人）
补全条形图如图所示：
（3）
（3）54°
（4）解：画树状图如图所示：
相同的有：AA、BB、CC、DD、EE五种情况；
共有25种情况，故相同的情况概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（3）解：D组对应的度数为：；
故答案为：54°.
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求出此次调查共抽取的学生人数 ；
（2）根据样本容量=各小组频数之和可求出C组人数，于是可将条形图补充完整；
（3）根据圆心角=百分比×360°可求出D对应的圆心角度数；
（4）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可知：符合条件的情况个数，然后由概率公式计算即可求解．
（1）10÷10%=100（人）
（2）C组的人数为：100-20-30-15-10=25（人）
补全条形图如图所示：
（3）D组对应的度数为：
（4）画树状图如图所示：
相同的有：AA、BB、CC、DD、EE五种情况；
共有25种情况，故相同的情况概率为：
21．【答案】（1）解：设甲、乙两种货车分别派出和辆，由题意列方程得：
解方程得：
答：甲、乙两种货车分别派出和辆；
（2）解：设运输费用为，派出甲型货车辆，则
由题意知：
随的增大而增大
当时，有最小值，最小值为（元）.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）分别设甲、乙两种货车分别派出和辆，则由等量关系“ 总重为25吨 、 两种货车共8辆 ”列方程组并求解即可；
（2）先分别设出运输费用为，派出甲型货车辆，则由题意可得是的一次函数，且随的增大而增大；再由“ 预算运输费用不超过3600元 ”列不等式，解不等式并结合已知条件可确定的取值范围，显然当最小时，也最小，求出这个最小值即可.
22．【答案】（1）证明：如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，
∵四边形是正方形，
，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
在△EMF和△ENC中
，
．
（2）解：如图，延长交于点，
则四边形是矩形，
，
根据（1）∵，
，
∵，
∴，，
∴，
，
．
答：AF的长为.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点分别作、的垂线，垂足分别为、，证明四边形是正方形，得出，结合题意，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可求解；
（2）如图，延长交于点，则四边形是矩形，得出，根据（1），得出，根据，由等腰直角三角形的性质可得，用勾股定理得，然后由线段的和差AF=AM+MF即可求解．
（1）证明：如图所示，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，
∵四边形是正方形，
，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：如图，延长交于点，
则四边形是矩形，
，
根据（1）∵，
，
∵，
∴，，
∴，
，
．
23．【答案】（1）解：根据题意得，将，代入得：
∴，
将，代入得
解得
∴直线，反比例函数
∴，
∴，
∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示，
∴设
∴，，
∵
∴
∴
解得
∴；
（2）解：如图所示，设与交于点M，
∵四边形是垂美四边形且被平分时
∴
∵直线
∴设所占直线表达式为
联立得，
解得
∴
∵M是中点，设
∴
∴将代入和得，
解得
∴，．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）将，代入可将A、B的坐标用含b的代数式表示出来，然后将A、B的坐标代入反比例函数的解析式计算可求出b、k的值，则可得A、B两点的坐标，设，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于c的方程，解方程即可求解；
（2）如图所示，设与交于点M，设所占直线表达式为，两种直线联立求出，设，然后根据中点坐标公式可得，然后代入直线PQ和反比例函数的解析式计算求出t、q的值，则点P、Q的坐标可求解．
（1）解：根据题意得，将，代入得
∴，
将，代入得
解得
∴直线，反比例函数
∴，
∴，
∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示，
∴设
∴，，
∵
∴
∴
解得
∴；
（2）解：如图所示，设与交于点M
∵四边形是垂美四边形且被平分时
∴
∵直线
∴设所占直线表达式为
联立得，
解得
∴
∵M是中点，设
∴
∴将代入和得，
解得
∴，．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过作于，交于，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
在△BDF和△TDG中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
在Rt△DEF和Rt△CGH中
∴，
∴，
在△BDF和△TDG中
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，的半径为，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，（负根舍去），
由（2）得：四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和垂线的定义可得=90°，由同角的补角相等可得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（2）如图，连接，过作于，交于，证明，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，再根据HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据角角边可得，同理可得可求解；
（3）如图，连接，由，设，则，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值（负根舍去），根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，设，则，由，可得，结合乘积式可得关于m的方程，解方程求出m的值（负根舍去），在Rt△DEF中，用勾股定理求解即可.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过作于，交于，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，的半径为，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，（负根舍去），
由（2）得：四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴.
25．【答案】（1）解：当时，，当时，，
∴，．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，，
①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在△NOG和△ODB中
∴（AAS），
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则，
同理可求出，直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
如答图所示，
设平移中的三角形为，点在线段上，
设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q，
设水平方向的平移距离为，
则图中，，，，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
联立方程组，解得t，
∴．
过点P作轴于点G，则．
∴
，
当时，S有最大值为，
∴S的最大值为．
【知识点】正方形的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）分两种情况讨论：①当M、N在左侧时；②当M、N在右侧时，然后构造全等三角形求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，最后联立方程组即可求解；
（3）设水平方向的平移距离为，由平移的性质求出S的表达式并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：当时，，
当时，，
∴，．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，，
①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则，
同理可求出，直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
如答图所示，
设平移中的三角形为，点在线段上，
设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q，
设水平方向的平移距离为，
则图中，，，，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
联立方程组，解得t，
∴．
过点P作轴于点G，则．
∴
，
当时，S有最大值为，
∴S的最大值为．
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