湖南省永州市冷水滩区李达中学2025年中考模拟预测数学试题
1．（2025·冷水滩模拟）比－1小3的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．－4
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：一个数比-1小3，
∴这个数为-1-3=-4，
故答案为：D．
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
2．（2025·冷水滩模拟）2025年1月17日，国家统计局发布的数据显示，2024年年末全国人口万人，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此得到答案.
3．（2025·冷水滩模拟）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形以及轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐项进行判断即可.
4．（2025·冷水滩模拟）一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察得到的图形如下图所示：
故答案为：B．
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的概念，从上面观察几何体即可得到答案.
5．（2025·冷水滩模拟）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵无锡用表示，
∴重庆的位置用坐标表示为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据无锡的位置坐标确定原点的位置，据此即可得到重庆的位置坐标.
6．（2025·冷水滩模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将分式进行展开，然后约分进行计算即可.
7．（2025·冷水滩模拟）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，
∴在第一象限，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数，当时，图像位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，图像位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，据此即可求解.
8．（2025·冷水滩模拟）如图，是的切线，切点分别为点，点，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质求出，由圆周角定理求出，最后利用四边形的内角和等于360°得到的度数.
9．（2025·冷水滩模拟）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵一个分数的小数部分被墨水污染，且被污染的数字为中的一个整数，其中6名同学的成绩分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8，
∴当被墨水污染的数字是4时，众数是9.4和9.6，故A不符合题意；
∵被污染的数字为中的一个整数，
∴中位数是9.6，与被污染的数字无关，故B符合题意；
∵被污染的数字为中的一个整数，
∴影响平均数和方差，故C，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据众数，中位数，平均数和方差的意义进行判断即可．
10．（2025·冷水滩模拟）小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则一定不在抛物线上的点的个数是（ ）
A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
把代入抛物线解析式，得，
当且时，不存在，
∴或时，点一定不在抛物线上，
当时，，则，不符合题意，
∴时，点一定不在抛物线上，
∴一定不在抛物线上的点有3个，
故答案为：C．
【分析】本题考查二次函数上点的坐标特征，把坐标代入抛物线解析式得到，然后根据方程解的情况进行求解即可.
11．（2025·冷水滩模拟）请你写出一个次数为3次的单项式： ．
【答案】5x（答案不唯一）
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：∵该单项式为一个次数为3次的单项式，
∴该单项式为5x，
故答案为：5x（答案不唯一）.
【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，只要所写三次单项式只要单项式中含一个字母时，次数是3，或者含几个字母时，字母的指数和为3即可.
12．（2025·冷水滩模拟）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题考查了同分母分式的加减，直接根据同分母分式的加减运算法则进行求解.
13．（2025·冷水滩模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．（2025·冷水滩模拟）方程的解为 ．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是，
故答案为：.
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后将解进行检验即可.
15．（2025·冷水滩模拟）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】线根据三角形中位线定理得出，，由平行四边形的性质得出，，，从而而得出，，进而推出，然后根据相似三角形对应边成比例性质可得出，据此即可求的长度.
16．（2025·冷水滩模拟）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则 ．
3
b a
11
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴，
解得：，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题目中的新定义得到方程，解方程求出的值，从而求出的值，进而代入进行计算即可.
17．（2025·冷水滩模拟）如图，在边长为4的正方形中，点，分别在，上，，，连接，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；半角模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∵正方形的边长为4，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，根据正方形的性质得，，于是推出，得，由”半角全等模型“证明，得，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，从而得，接下来设，则，，在中，由勾股定理得关于的方程，解方程即可得的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
18．（2025·冷水滩模拟）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵关于的方程（为实数时），恰有4个不相等的实数根，
∴与有4个交点，
对于，当，即时，有，
∴经过定点，
对于，当时，有，当，即时，有，
∴与轴交于，与轴交于，，
①当经过时，如图，
∴，
解得：，
∴此时与有3个交点；
②当经过时，如图，
∴，
解得：，
∴此时与有3个交点；
综上所述，观察图象发现：当时，与有4个交点，
故答案为：．
【分析】先将原问题转化为与有4个交点时的取值范围，然后求出两函数所经过的点坐标，再进行讨论：当经过或时，画出的图象，分别画出经过、的图象，最后数形结合即可得出结论．
19．（2025·冷水滩模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，结合二次根式的乘法法则、零指数幂、负整数指数幂进行计算求解.
20．（2025·冷水滩模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用平方差公式先对原式进行化简，通过因式分解和约分简化分式，然后结合完全平方公式以及偶次方的非负性、算术平方根的非负性求出、的值，最后代入化简后的式子求值即可．
21．（2025·冷水滩模拟）2025年3月22日~28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，某校八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，组：组：组：，D组：，E组：．在对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次调查随机抽取了___________户城镇居民家庭．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中D组所在扇形的圆心角___________．
（4）若该镇有5800户城镇居民家庭，估计3月份用水量不低于的户数，并对这些家庭提出一条节水建议．
【答案】（1）200；
（2）解：D组户数为：（户），
∴补全条形图如下图所示：
（3）54；
（4）解：（户），
∴估计3月份用水量不低于11m3的户数为1015户，
建议：利用淘米水浇花（合理即可）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得此次调查随机抽取的户城镇居民家庭总数为（户），
故答案为：200；
（3），
故答案为：54.
【分析】（1）用A组户数除以其所占百分比即可得此次调查随机抽取的户城镇居民家庭总数；
（2）先用总户数减去A，B，C，E的户数求出D组户数，再补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以D组户数所占比即可；
（4）利用样本估计总体，用5800乘以3月份用水量不低于11m3的户数所占比，然后从节约用水方面提建议即可.
（1）解：（户）；
故答案为：200；
（2）组人数为：；
补全条形图如图：
（3）；
故答案为：54；
（4）估计3月份用水量不低于的户数为：（户）；
建议：利用淘米水浇花（合理即可）．
22．（2025·冷水滩模拟）如图，在和中，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）直接根据”“得证结论；
（2）先求出，然后利用勾股定理得，从而得，进而得.
（1）证明：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
23．（2025·冷水滩模拟）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克.
（1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元
【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入表达式，得，
解得：，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：根据题意，得，
解得：，，
∵销售单价不得高于22元，即，
∴，
∴销售单价应为14元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合题意，直接利用待定系数法进行求解；
（2）结合（1）中的结论，根据利润=每千克利润×销售量列出关于的一元二次方程，解方程再取符合题意的值即可.
（1）解：设y关于x的函数表达式为，
把代入得，
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：设销售单价应为x元，根据题意得：
，
解得，，，
∵销售单价不得高于22元，即，
∴，
∴销售单价应为14元．
24．（2025·冷水滩模拟）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度．
（1）试判断的形状，并说明理由．
（2）若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，）
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形；
（2）解：如图，过点作于，
在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴点到地面的高度为48厘米．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理进行求解；
（2）过点作于，在中，根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，然后在中，解直角三角形得的值即可.
（1）解：是直角三角形，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
又，
∴，
∵，
∴，
过H作于M，
∴（厘米），
即点H到地面的高度为48厘米．
25．（2025·冷水滩模拟）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
（3）在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，，代入抛物线表达式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接、、、，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，此时最小值为的长度，
∵，
∴，
∵抛物线，且点是抛物线的顶点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∴当时，有，
∴，
∴的值最小时点的坐标为，此时的值为；
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
【知识点】将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的性质-对应边；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）利用”将军饮马-两定一动“模型，作点关于轴的对称点，连接、、、，得三点共线时，最小，即最小，此时最小值为的长度，然后求出，，由坐标系中两点距离公式得，利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出此时点的坐标；
（3）设 ，则，得出，，，，然后分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形对应边成比例性质得关于的方程，解方程分别求出结果即可．
（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，
把点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示，
根据轴对称可知：，
，
两点之间线段最短，
当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
顶点坐标，
的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
26．（2025·冷水滩模拟）回归课本
（1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________．
深挖问题
（2）在（1）的条件下，求的长．
探究发现
（3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系．
【答案】解：（1）8，；
（2）如图，延长至点，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
∵，
，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又是的直径，
，
∴，
，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
；
（3）延长至点，使，连接，
由（2）同理可证，，
，，
又∵，
，
，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）是的直径，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8，.
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的定义得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至点，使，连接，结合圆内接四边形性质求出，由角平分线定义以及同一圆内，圆周角和弦的关系确定，从而推出，得，，然后根据直径所对的圆周角是直角得，进而得，利用勾股定理得，最后求的长代入进行求解；
（3）延长至点，使，连接，由（2）同理可证，，从而得，利用勾股定理得，最后代入数据即可求解.
1 / 1湖南省永州市冷水滩区李达中学2025年中考模拟预测数学试题
1．（2025·冷水滩模拟）比－1小3的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．－4
2．（2025·冷水滩模拟）2025年1月17日，国家统计局发布的数据显示，2024年年末全国人口万人，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·冷水滩模拟）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·冷水滩模拟）一个长方体模具去掉一角后的图形如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·冷水滩模拟）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·冷水滩模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·冷水滩模拟）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．（2025·冷水滩模拟）如图，是的切线，切点分别为点，点，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·冷水滩模拟）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
10．（2025·冷水滩模拟）小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则一定不在抛物线上的点的个数是（ ）
A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上
11．（2025·冷水滩模拟）请你写出一个次数为3次的单项式： ．
12．（2025·冷水滩模拟）计算的结果是 ．
13．（2025·冷水滩模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2025·冷水滩模拟）方程的解为 ．
15．（2025·冷水滩模拟）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ．
16．（2025·冷水滩模拟）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则 ．
3
b a
11
17．（2025·冷水滩模拟）如图，在边长为4的正方形中，点，分别在，上，，，连接，则的面积为 ．
18．（2025·冷水滩模拟）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
19．（2025·冷水滩模拟）计算：
20．（2025·冷水滩模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·冷水滩模拟）2025年3月22日~28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，某校八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，组：组：组：，D组：，E组：．在对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次调查随机抽取了___________户城镇居民家庭．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中D组所在扇形的圆心角___________．
（4）若该镇有5800户城镇居民家庭，估计3月份用水量不低于的户数，并对这些家庭提出一条节水建议．
22．（2025·冷水滩模拟）如图，在和中，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
23．（2025·冷水滩模拟）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克.
（1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元
24．（2025·冷水滩模拟）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度．
（1）试判断的形状，并说明理由．
（2）若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，）
25．（2025·冷水滩模拟）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
（3）在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2025·冷水滩模拟）回归课本
（1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________．
深挖问题
（2）在（1）的条件下，求的长．
探究发现
（3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：一个数比-1小3，
∴这个数为-1-3=-4，
故答案为：D．
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此得到答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形以及轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面观察得到的图形如下图所示：
故答案为：B．
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的概念，从上面观察几何体即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵无锡用表示，
∴重庆的位置用坐标表示为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据无锡的位置坐标确定原点的位置，据此即可得到重庆的位置坐标.
6．【答案】C
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将分式进行展开，然后约分进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，
∴在第一象限，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数，当时，图像位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，图像位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，据此即可求解.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质求出，由圆周角定理求出，最后利用四边形的内角和等于360°得到的度数.
9．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵一个分数的小数部分被墨水污染，且被污染的数字为中的一个整数，其中6名同学的成绩分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8，
∴当被墨水污染的数字是4时，众数是9.4和9.6，故A不符合题意；
∵被污染的数字为中的一个整数，
∴中位数是9.6，与被污染的数字无关，故B符合题意；
∵被污染的数字为中的一个整数，
∴影响平均数和方差，故C，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据众数，中位数，平均数和方差的意义进行判断即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
把代入抛物线解析式，得，
当且时，不存在，
∴或时，点一定不在抛物线上，
当时，，则，不符合题意，
∴时，点一定不在抛物线上，
∴一定不在抛物线上的点有3个，
故答案为：C．
【分析】本题考查二次函数上点的坐标特征，把坐标代入抛物线解析式得到，然后根据方程解的情况进行求解即可.
11．【答案】5x（答案不唯一）
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：∵该单项式为一个次数为3次的单项式，
∴该单项式为5x，
故答案为：5x（答案不唯一）.
【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，只要所写三次单项式只要单项式中含一个字母时，次数是3，或者含几个字母时，字母的指数和为3即可.
12．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题考查了同分母分式的加减，直接根据同分母分式的加减运算法则进行求解.
13．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是，
故答案为：.
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后将解进行检验即可.
15．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】线根据三角形中位线定理得出，，由平行四边形的性质得出，，，从而而得出，，进而推出，然后根据相似三角形对应边成比例性质可得出，据此即可求的长度.
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴，
解得：，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题目中的新定义得到方程，解方程求出的值，从而求出的值，进而代入进行计算即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；半角模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∵正方形的边长为4，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，根据正方形的性质得，，于是推出，得，由”半角全等模型“证明，得，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，从而得，接下来设，则，，在中，由勾股定理得关于的方程，解方程即可得的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
18．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵关于的方程（为实数时），恰有4个不相等的实数根，
∴与有4个交点，
对于，当，即时，有，
∴经过定点，
对于，当时，有，当，即时，有，
∴与轴交于，与轴交于，，
①当经过时，如图，
∴，
解得：，
∴此时与有3个交点；
②当经过时，如图，
∴，
解得：，
∴此时与有3个交点；
综上所述，观察图象发现：当时，与有4个交点，
故答案为：．
【分析】先将原问题转化为与有4个交点时的取值范围，然后求出两函数所经过的点坐标，再进行讨论：当经过或时，画出的图象，分别画出经过、的图象，最后数形结合即可得出结论．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，结合二次根式的乘法法则、零指数幂、负整数指数幂进行计算求解.
20．【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用平方差公式先对原式进行化简，通过因式分解和约分简化分式，然后结合完全平方公式以及偶次方的非负性、算术平方根的非负性求出、的值，最后代入化简后的式子求值即可．
21．【答案】（1）200；
（2）解：D组户数为：（户），
∴补全条形图如下图所示：
（3）54；
（4）解：（户），
∴估计3月份用水量不低于11m3的户数为1015户，
建议：利用淘米水浇花（合理即可）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得此次调查随机抽取的户城镇居民家庭总数为（户），
故答案为：200；
（3），
故答案为：54.
【分析】（1）用A组户数除以其所占百分比即可得此次调查随机抽取的户城镇居民家庭总数；
（2）先用总户数减去A，B，C，E的户数求出D组户数，再补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以D组户数所占比即可；
（4）利用样本估计总体，用5800乘以3月份用水量不低于11m3的户数所占比，然后从节约用水方面提建议即可.
（1）解：（户）；
故答案为：200；
（2）组人数为：；
补全条形图如图：
（3）；
故答案为：54；
（4）估计3月份用水量不低于的户数为：（户）；
建议：利用淘米水浇花（合理即可）．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）直接根据”“得证结论；
（2）先求出，然后利用勾股定理得，从而得，进而得.
（1）证明：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入表达式，得，
解得：，
∴关于的函数表达式为；
（2）解：根据题意，得，
解得：，，
∵销售单价不得高于22元，即，
∴，
∴销售单价应为14元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合题意，直接利用待定系数法进行求解；
（2）结合（1）中的结论，根据利润=每千克利润×销售量列出关于的一元二次方程，解方程再取符合题意的值即可.
（1）解：设y关于x的函数表达式为，
把代入得，
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：设销售单价应为x元，根据题意得：
，
解得，，，
∵销售单价不得高于22元，即，
∴，
∴销售单价应为14元．
24．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形；
（2）解：如图，过点作于，
在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴点到地面的高度为48厘米．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理进行求解；
（2）过点作于，在中，根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，然后在中，解直角三角形得的值即可.
（1）解：是直角三角形，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
又，
∴，
∵，
∴，
过H作于M，
∴（厘米），
即点H到地面的高度为48厘米．
25．【答案】（1）解：将，，代入抛物线表达式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接、、、，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，此时最小值为的长度，
∵，
∴，
∵抛物线，且点是抛物线的顶点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∴当时，有，
∴，
∴的值最小时点的坐标为，此时的值为；
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
【知识点】将军饮马模型-一线两点（一动两定）；相似三角形的性质-对应边；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）利用”将军饮马-两定一动“模型，作点关于轴的对称点，连接、、、，得三点共线时，最小，即最小，此时最小值为的长度，然后求出，，由坐标系中两点距离公式得，利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出此时点的坐标；
（3）设 ，则，得出，，，，然后分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形对应边成比例性质得关于的方程，解方程分别求出结果即可．
（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，
把点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示，
根据轴对称可知：，
，
两点之间线段最短，
当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
顶点坐标，
的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
26．【答案】解：（1）8，；
（2）如图，延长至点，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
∵，
，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又是的直径，
，
∴，
，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
；
（3）延长至点，使，连接，
由（2）同理可证，，
，，
又∵，
，
，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）是的直径，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8，.
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的定义得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至点，使，连接，结合圆内接四边形性质求出，由角平分线定义以及同一圆内，圆周角和弦的关系确定，从而推出，得，，然后根据直径所对的圆周角是直角得，进而得，利用勾股定理得，最后求的长代入进行求解；
（3）延长至点，使，连接，由（2）同理可证，，从而得，利用勾股定理得，最后代入数据即可求解.
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