中小学教育资源及组卷应用平台
2.3二次根式第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 二单元
课题 2.3二次根式第1课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的乘法和除法法则，能准确进行简单的二次根式乘除运算。注重发展运算能力与符号意识，经历 “猜想—验证—归纳” 的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，同时能运用二次根式运算解决简单实际问题，增强数学应用意识与推理能力。
教材分析 本节是实数章节的延伸，教材从具体代数式入手，抽象出二次根式概念，通过 “尝试 思考” 活动引导学生探究乘除法则，再以例 1、例 2 的具体运算强化法则应用。内容衔接平方根知识，为后续二次根式化简、加减运算及实际问题解决奠定基础，体现 “概念—法则—应用” 的认知逻辑。
学情分析 学生已掌握平方根概念及性质，但对二次根式的符号表征(如的双重非负性)理解不深，易忽略被开方数的非负条件。在探究法则时，可能对 “” 的合理性缺乏逻辑推导能力，需通过具体数值计算搭建认知桥梁，同时警惕将乘法法则错误迁移到加减法的情况。
教学目标 1.理解二次根式的概念及有意义的条件，掌握二次根式乘除法则(，)，能准确进行简单运算。 2.经历 “计算—猜想—验证—归纳” 的法则探究过程，发展合情推理与演绎推理能力，体会类比思想。 3.通过法则的规律性探究，感受数学运算的简洁美，增强探究兴趣与严谨的数学态度。
教学重点 1.二次根式的概念及有意义的条件。 2.二次根式乘除法则的理解与应用。
教学难点 二次根式乘除法则的推导过程及条件限制，避免忽略法则适用范围导致错误。
教法与学法分析 教法：采用 “探究—发现” 教学法，以教材中的数值计算为载体，通过问题链引导学生归纳法则，借助几何画板动态演示被开方数非负的必要性。 学法：自主完成法则探究表格，小组合作验证猜想，通过 “计算—对比—总结” 强化法则记忆，规范运算步骤书写。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 问题导入： 1.在中，，，求斜边的长；当时，为多少？ 解：由勾股定理得：当时，； 当时，； 2.面积为的正方形的边长是多少？ 解：设正边形的边长为，则得 解得， 故正方形的边长为 3.的算术平方根怎么表示？ (其中)的算术平方根呢？ 解：的算术平方根为； (其中)的算术平方根为 以问题导入，复习旧知的同时，引入二次根式，引发学生的学习兴趣 积极思考，解决问题. 通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础.
探究活动一： 思考： 问题导入中的式子有什么共同特征？ ，，，，(其中)。 解：①含有“”；②被开方数为非负数. 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 总结归纳：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.(注意：a可以是数，也可以是式子.) 二次根式的两个必备特征：①外貌特征，含有“”；②内在特征，被开方数a≥0. 思考问题1：使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是 . 解：由m-2≥0，得m≥2.∴当m≥2时，在实数范围内有意义. 问题2：使式子在实数范围内有意义的a的取值范围是 . 解：由a-1≥0，得a≥1. 又∵为分母，∴≠0. ∴a-1≠0，即a≠1. ∴当a>1时，在实数范围内有意义. 总结 二次根式中字母的取值范围的依据： (1)形如的二次根式有意义的条件：m≥0. (2)二次根式作为分式的分母时，如有意义的条件：m>0. 追问：二次根式的运算有怎样的规律呢？ 引导学生通过观察总结归纳二次根式的概念，结合算术平方根的性质，推导二次根式有意义的条件. 观察总结二次根式的概念，推导二次根式有意义的条件. 通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义，结合算术平方根的双重非负性，确定二次根式有意义的条件.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ ， ； ， ； ， ； ， ； 6，6；20，20；2/3，2/3；5/7，5/7. (2) 根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 与， 与。 ， (3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？ ， . 归纳总结：二次根式的乘法法则和除法法则： 乘法法则： 除法法则： . 通过计算对比，总结得出二次根式乘除法则. 计算对比，小组合作，猜想，总结得出二次根式乘除法法则. 引领学生自主探索二次根式的乘除法法则，从特殊数入手，希望学生获得一定的感性经验，再进一步强化这样的经验和猜测，最后经由学生交流，总结、归纳出二次根式的乘除法则.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 例1： (1)； (2). 解：(1) ； (2) . 例2：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6). 解：(1) ； (2)； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 通过例题巩固所学知识，同时规范解题过程现. 认真思考，利用例题巩固所学知识. 通过例题，学生进一步理解二次根式的概念、二次根式乘除法则.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列各式是二次根式的是( ) A. C. 2.下列计算过程正确的是( ) 3.能使等式 成立的条件是 ( ) A. B. C. D. 4.计算 · 5.计算： ； (2) 1.C；2.B；3.D；4.-1； 5： 【解】(1)原式 (2)原式 巡视课堂迅速掌握学情. 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：二次根式的概念：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数； 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0； 二次根式乘除法则： ；. 2.方法：自主探究法，小组合作法，观察归纳法 3.思想：类比思想，从特殊到一般思想，转化思想 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.3二次根式第1课时 二次根式概念： 二次根式有意义的条件： 二次根式的乘除法则： 例1： 例2： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列式子中，不属于二次根式的是( ) 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.函数的自变量的取值范围是( ) A. B.且 C. D.且 4.计算 . 能力提升： 5.计算： = . 6.计算： 7.计算： 8.计算： 拓展迁移： 9.已知成立。 (1)填空：的取值范围是 . (2)化简： 10.实数与满足. (1)写出与的取值范围； (2)已知是有理数， ①当是正整数时，求的值； ②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的. 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【解答】解：原式， 5.【解答】 . 故答案为： 6.解：原式 7. 解： ； ； . 8.解：. 9. (1)解：由题可得：， 解得：， 故答案为：； (2)解：. 10. (1)解：由题可知：，解得：，； (2)解：①，且是正整数时， 可以取1，2，3，4， 又 的对应值分别为：，，， 又是有理数， 或0； ②是有理数，是整数， 是的整数倍， 可能取值为：4，3，2，1，0，，，，， 的对应值为：0，1，，，，，，，， 是的整数倍， ，，， 第3个数，第11个数， 又 即4-a或，解得：或-296， 综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
教学反思 教学中发现部分学生存在两类问题：①忽略被开方数非负条件；②法则应用时混淆乘除与加减运算。后续需增加 “概念辨析题”，通过 “错题对比表” 强化法则条件，同时设计 “实际问题 + 二次根式运算” 的综合题，提升知识迁移能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 2.3二次根式第1课时 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解二次根式的概念及有意义的条件，掌握二次根式乘除法则（，），能准确进行简单运算。 2.经历 “计算—猜想—验证—归纳” 的法则探究过程，发展合情推理与演绎推理能力，体会类比思想。 3.通过法则的规律性探究，感受数学运算的简洁美，增强探究兴趣与严谨的数学态度。
重点 1.二次根式的概念及有意义的条件。 2.二次根式乘除法则的理解与应用。
难点 二次根式乘除法则的推导过程及条件限制，避免忽略法则适用范围导致错误。
教学过程
导入新课 问题导入： 1.在中，，，求斜边的长；当时，为多少？ 2.面积为的正方形的边长是多少？ 3.的算术平方根怎么表示？ (其中)的算术平方根呢？
新知讲解 探究活动一： 思考： 问题导入中的式子有什么共同特征？ ，，，，(其中)。 总结归纳：二次根式的概念： 思考问题1：使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是 . 问题2：使式子在实数范围内有意义的a的取值范围是 . 总结 二次根式中字母的取值范围的依据： 追问：二次根式的运算有怎样的规律呢？ 探究活动二： 尝试思考： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ ， ； ， ； ， ； ， ； (2) 根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 与， 与。 (3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？ 归纳总结：二次根式的乘法法则和除法法则： 探究活动三： 例题精讲： 例1： (1)； (2). 例2：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6).
课堂练习 巩固训练 1.下列各式是二次根式的是( ) A. C. 2.下列计算过程正确的是( ) 3.能使等式 成立的条件是 ( ) A. B. C. D. 4.计算 · 5.计算： ； (2)
作业布置 基础达标： 1.下列式子中，不属于二次根式的是( ) 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.函数的自变量的取值范围是( ) A. B.且 C. D.且 4.计算 . 能力提升： 5.计算： = . 6.计算： 7.计算： 8.计算： 拓展迁移： 9.已知成立。 (1)填空：的取值范围是 . (2)化简： 10.实数与满足. (1)写出与的取值范围； (2)已知是有理数， ①当是正整数时，求的值； ②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
参考答案：
例题精讲：
例1：
解：(1) ；
(2) .
例2：
解：(1) ；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
巩固训练：
1.C；2.B；3.D；4.-1；
5： 【解】(1)原式
(2)原式
作业设计：
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.解：原式，
5.【解答】 .
故答案为：
6.解：原式
7. 解：
；
；
.
8.解：.
9. (1)解：由题可得：，
解得：，
故答案为：；
(2)解：.
10. (1)解：由题可知：，解得：，；
(2)解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
第二章 实数
2.3二次根式第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解二次根式的概念及有意义的条件，掌握二次根式乘除法则(，)，能准确进行简单运算。
01
经历 “计算—猜想—验证—归纳” 的法则探究过程，发展合情推理与演绎推理能力，体会类比思想。
02
通过法则的规律性探究，感受数学运算的简洁美，增强探究兴趣与严谨的数学态度。
03
02
新知导入
问题导入：
1.在中,,,求斜边的长;当时，为多少？
解:由勾股定理得：当时,
;
当时,
;
02
新知导入
问题导入：
2.面积为7.2的正方形的边长是多少？
3.的算术平方根怎么表示？ (其中)的算术平方根呢？
解:的算术平方根为；
(其中)的算术平方根为
解:设正边形的边长为，则得，解得,
故正方形的边长为
03
新知探究
思考: 问题导入中的式子有什么共同特征？
,,,,(其中)。
解:①含有“”;②被开方数为非负数.
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
03
新知探究
二次根式的概念:一般地,形如的式子叫做二次根式,叫做被开方数.(注意:可以是数,也可以是式子.)
概括
二次根式的两个必备特征:
①外貌特征,含有“”;
②内在特征,被开方数.
注意
03
新知探究
解:由m-2≥0,得m≥2.
∴当m≥2时,在实数范围内有意义.
1:使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是 .
m≥2
03
新知探究
解:由,得.
又为分母,
.
,即.
∴当时,在实数范围内有意义.
问题2:使式子在实数范围内有意义的a的取值范围是 .
04
新知讲解
二次根式中字母的取值范围的依据:
(1)形如的二次根式有意义的条件:m≥0.
(2)二次根式作为分式的分母时,如有意义的条件:m>0.
方法总结
二次根式的运算有怎样的规律呢？
03
新知探究
(1)计算下列各式，你能得到什么猜想？
, ;
, ;
, ; , ;
6
6
20
20
03
新知探究
(2) 根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。
与, 与
,
03
新知探究
(3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？
猜想:,
验证:通过平方运算可证等式成立.
03
新知探究
二次根式的乘法法则和除法法则：
乘法法则:
除法法则: .
归纳总结
04
例题讲解
(1); (2).
例1
分析
根据二次根式的乘除法法则:,进行计算即可.
04
例题讲解
解析
解:(1) ;
(2) .
04
例题讲解
(1); (2); (3);
(4); (5) ; (6).
例2
分析
根据二次根式的乘除法法则,结合实数的运算顺序，乘法公式和乘法分配律进行计算即可.
04
例题讲解
解析
解:(1) ;
(2);
(3) ;
04
例题讲解
解析
解:(4) ;
(5) ;
(6) .
05
巩固训练
1.下列各式是二次根式的是( )
A. C.
C
2.下列计算过程正确的是( )
B
3.能使等式 成立的条件是 ( )
A. B. C. D.
05
课堂练习
D
4.计算 ·
-1
5.计算: (2)
解:(1)原式
(2)原式
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
二次根式的概念：一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数；
二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0；
二次根式乘除法则： ;.
1.下列式子中，不属于二次根式的是( )
06
作业设计
基础达标：
C
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
D
3.函数的自变量的取值范围是( )
A. B.且 C. D.且
06
作业设计
B
基础达标：
4.计算 .
22
解:原式
5.计算： = .
06
作业设计
能力提升：
6.计算：
解:原式
解
06
作业设计
能力提升：
7.计算：
解:
;
;
06
作业设计
能力提升：
8.计算：
解
.
06
作业设计
迁移拓展：
10.已知成立。
(1)填空：的取值范围是 .
(2)化简：
(1)解：由题可得：，
解得：，
故答案为：；
06
作业设计
迁移拓展：
9.已知成立。
(1)填空：的取值范围是 .
(2)化简：
(2)解:.
10.实数与满足.
(1)写出与的取值范围；
(2)已知是有理数，
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
06
作业设计
迁移拓展：
06
作业设计
迁移拓展：
(1)解：由题可知：，解得：，；
(2)解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
06
作业设计
迁移拓展：
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
