2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷(图片版,含答案)

2024-2025 学年四川省巴中市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 4)， = (3, 3)，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
2.已知复数 (1 ) = 3 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在正方体 1 1 1 1中，异面直线 1与 1所成的角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.在△ 中，设 是 边上的一点，且 = 2 ，则( )
A. = 1 3
2 2 1 3 B. = 3 3
C. = 1 + 2 3 3 D.
= 2 3
+ 1 3
5 .要得到 = cos(2 4 )的图象，只要将 = 2 的图象( )
A. 向左平移8个单位 B.向右平移8个单位 C.向左平移4个单 D.

向右平移4个单位
6.已知 5 2 是关于 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一个根，则 的值为( )
A. 10 B. 6 C. 6 D. 10
7.棱长为 6 1的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为5，则球的表面积为( )
2 2 2 2
A. 12 ( 2 310 ) B. 36 (
1
3
10 ) C. 12 (
1 2
3 3
10 ) D. 36 ( 10 )
8 1.化简计算2 40° 2 50°的值为( )
A. 3 B. 3 32 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了 6 名同学所知道的景区个数，得到一组样
本：1，2，3，2，4，5，则( )
A.这组数据的众数为 2 B.这组数据的平均数为 3
C.这组数据的极差为 4 D.这组数据的 60%分位数为 3
10.已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )，下列说法正确的有( )
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A. ( ) 2 的图象关于点( 3 , 0)对称
B.若 ( 1) = ( 2) = 0，则 1 2是 的整数倍
C. ( ) 在[ 6 , ]有 2 个零点
D.不等式 ( ) ≥ 1 2的解集为[ 12 + , 4 + ]， ∈
11.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 为正三角
形，且 = 2，平面 ⊥平面 ，则下列说法正确的是( )
A. .平面 与平面 的交线平行于直线
B.二面角 2 7的余弦值为 7
C.点 到平面 的距离为 2
D. 21四棱锥 的外接球的半径为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.母线长和底面圆的直径都为 4 的圆锥的侧面积为______．
13.某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出 50 名调查销售情况，销售额都在区间[5,25](单位：百万元)内，
将其分成 5 组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计
销售员工销售额的平均值为______(百万元)，(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
2 2 2
14.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是平面任意一点，满足 = ， = ，且 + + 3
=
5.若 = 1，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知△ 内角 ， ， 对的边分别为 ， ， ，且 = 7， = 5， = 6．
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(1)求 ；
(2)求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 4 ( 6 )．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求函数 ( ) 在[ 12 , 2 ]的值域．
17.(本小题 15 分)
如图，在正方体 ′ ′ ′ ′中， 是 的中点， 与 交于点 ， ′ 与 ′交于点 ．
(1)证明： //平面 ′ ′；
(2)证明： ⊥平面 ′ ′；
(3)求直线 ′与平面 ′ ′所成角的大小．
18.(本小题 15 分)
统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.
假设敌军某年生产的战机数量为 ，摧毁某年生产的 架战机编号从小到大为 1， 2， 3，…， ，最大的
编号为 ，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号 1， 2， 3，…， ，相当于从[1, ]中随机抽取的
个整数，这 个数将区间[0, ]分成(1 + )个小区间(如图)，可以用前 个区间的平均长度 估计所有(1 + )

个区间的平均长度 +1进而得到 的估计值．
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．
(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；
(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机，四代半战机，五代机)，通过分层抽样调查三类战机的

飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为 ， ， ．
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(ⅰ)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件
并写出估计式；
(ⅱ)若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为 ， ， ，样本

量分别为 ， ， ，据此证明： + + + + + + + + = + + + + + + + + ．
19.(本小题 17 分)
已知锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
(1) 2 + 1 = 若 ；
(ⅰ)求证： = 2 ；
(ⅱ) 求 的取值范围；
(2)若 是△ 的重心且 ⊥ ，求 的取值范围．
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参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.8
13.14.52
14. 33
15(1)因为 = 7， = 5， = 6，
2 2 2
所以由余弦定理得： = + = 25+36 7 92 2×5×6 = 10；
(2)因为sin2 + cos2 = 1，
9 19
由(1)知 = 10，且 ∈ (0, )，所以 = 10 ，
所以 = 12 =
1 × 5 × 6 × 19 3 192 10 = 2 ．
16.(1) ( ) = 4 ( 6 + 6 )
= 2 3 + 2 2
= 3 2 2 + 1
= 2 (2 6 ) + 1，
( ) 2 2 可得 的最小正周期 = | | = 2 = ；
(2)方法 1 ：令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，解得： 6 + ≤ ≤ 3 + ， ∈ ，
可得 ( )的单调递增区间为[ 6 + ,

3 + ]， ∈ ，
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又 ∈ [ 12 , 2 ]，
可得 ( ) = (

3 ) = 3， ( ) = (

6 ) = 1 3
可得 ( )的值域为[1 3, 3]；
方法 2 ：因为 ∈ [ 12 , 2 ]，
所以 2 ∈ [ 5 6 3 , 6 ]，

由正弦函数图象可知，当 = 3时，函数 = 2 (2

6 ) + 1 有最大值 3，

当 = 12时， = 2 (2

6 ) + 1 有最小值 1 3，
可得 ( )的值域为[1 3, 3]．
17.(1)证明：在正方体 ′ ′ ′ ′中，连接 ′ ，因为 为正方形，
所以 为 中点，同理， 为 ′中点，
所以 // ′ ，因为 平面 ′ ′ ， ′ 平面 ′ ′ ，
所以 //平面 ′ ′ ；
(2)证明：连接 ′，在△ ′ 中， 、 分别为 ′、 的中点，所以 ′// ．
在正方形 ′ ′ ′ ′中， ′ ′ ⊥ ′ ′，
又因为 ′ ′ ′ ′为正方体，
所以 ′ ⊥平面 ′ ′ ′ ′，
因为 ′ 平面 ′ ′ ′ ′，所以 ′ ⊥ ′ ′，
因为 ′ ′ ∩ ′ = ′， ′ ′， ′ 平面 ′ ′ ，
所以 ′ ′ ⊥平面 ′ ′ ，
因为 ′ 平面 ′ ′ ，所以 ′ ′ ⊥ ′ ，
同理可得： ′ ⊥ ′ ， ′ ∩ ′ ′ = ′，
所以 ′ ⊥平面 ′ ′，
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所以 ⊥平面 ′ ′；
(3)设 ′ ′ ∩ ′ ′ = ，并连接 ，
由(2)可知 ′ ′ ⊥平面 ′ ′ ，
所以直线 ′与平面 ′ ′ 所成的角为∠ ′，

设正方体棱长为 2 ， △ ′ 中， ′ = 2 2 ， ′ = 2 ，所以∠ ′ = 6，

所以直线 ′与平面 ′ ′ 所成的角的大小为6．
18.(1) ∵ 解： 可用 估计 +1，
∴ 217 =

8，解得 = 24．
∴估计敌军生产的战机数量为 24 架．
(2)(ⅰ)解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，
需要知道这三个等级战机具体的个体数量 ， ， ，或者抽取样本的数量 ， ， ，

估计式为 + + + + + + + +

或 + + + + + + + + ．
(ⅱ)证明：∵样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为 ， ， ，
∴ = = ，
∴ + + = + + ， + + = + + ， + + = + + ，

∵ + +

样本平均数为： + + =

+ + + + + + + + ，
∴

+ + + + + + + + = + + + + + + + + ．
19.(1)(ⅰ)证明：根据题意可知，2 + 1 = ，
∴ 2 + = ，由正弦定理得：2 + = ，
∵ + + = ，∴ = sin( + )，
原式等价于 2 + = sin( + ) = + ，
得： = ，
sin( ) = sin( )，又∵ ∈ (0, 2 )， ∈ (0,

2 )，
∴ = ，即 2 = ；
(ⅱ)由(1)知 2 = ，∴ 3 + = ， 3 = ，
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= 3 = 2 + 2 = 2 2 + 2 ，
∴ =
1
4 2 1，
∵三角形 为锐角三角形，
∴ 0 < 2 = < 2，0 < 3 = <

2 ∈ (

6 ,

4 )，
4 2 1 ∈ (1,2)，
∴ 1 1 = 4 2 1 ∈ ( 2 , 1)；
(2)设 中点为 ，用向量 ， 表示向量 ， ，
= = 2 3 =
2 13 × 2 (
+ ) = 2 1 3 3 ，
2 1
同理，可得 = 3 3 ，
由 ⊥ 得， = 0，
∴ ( 2 1 3 3 ) (
2 1 3 3 ) = 0，
∴ 4 2
2 2
9 9
2 + 1 9 9
= 0，
5 2 2 2 2+2 2
化简得： 2 29 9 9 = 0，即 = 5 ①
2 2 = +
2
由余弦定理可得： 2 ②
联立①②得 2 + 2 = 5 2
∵△ 为锐角三角形，∴ > 0， > 0，
2
则有： +
2 > 2 5 2 + 2 + 2 > 5 2
2 + 2
，则 ，
> 2 5 2 + 2 + 2 > 5 2
6 2即 > 4
2
2 2，令 =
2
，则3 <
2 < 3 62，即 3 < <
6
，
6 > 4 2
2 2 2 = +2 2 15 = 5 ( + )，
令 ( ) = + 1 6 6 ，( 3 < < 2 )，
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5 6
由双勾函数的性质可得：2 ≤ ( ) < 2 ，
2 2 +1 2 4 6
∴ = 5 × = 5 ( ) ∈ [5 , 3 ),
∴ 4 6的取值范围是[ 5 , 3 )．
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