6.1 平面向量的概念—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．
2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念．
3．理解相等向量和共线向量的概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．
逐点清(一) 向量的概念与表示
[多维理解]
1．向量与数量
向量 既有________又有________的量叫做向量
数量 只有________没有________的量称为数量
2．向量的表示
(1)有向线段
①定义：具有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：__________、__________、________.
②表示方法及长度：以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段________的长度也叫做有向线段的长度，记作__________．
(2)向量的表示
①几何表示：用____________表示向量，有向线段的长度||表示向量的________，有向线段的方向表示向量的方向．
②字母表示：向量可以用字母____________，…表示．(印刷用黑体a，书写用)
3．向量的相关概念
向量的长度(模) 向量的______称为向量的长度(或称模)，记作________
零向量 长度为_______的向量叫做零向量，记作______
单位向量 长度等于________________的向量，叫做单位向量
|微|点|助|解|
(1)书写向量时带箭头．
(2)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素．每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段．
(3)注意 0 与 0 的区别及联系， 0 是一个实数， 0是一个向量，且|0|.零向量的方向是任意的，在分析向量的位置关系时要特别注意零向量．
(4)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同．
(5)向量不能比较大小，它的模可以比较大小．
[微点练明]
1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量
D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
3.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
4.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．
逐点清(二) 相等向量与共线向量
[多维理解]
平行向量(共线向量) 定义 方向____________的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a与b平行，记作________
规定 零向量与任意向量________，即对于任意向量a，都有________
相等向量 长度______且方向______的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作______
|微|点|助|解|
(1)共线向量定义强调指的是非零向量；
(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；
(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
(4)向量相等具有传递性，即若 a＝b, b＝c, 则a＝c.而向量的平行不具有传递性．
[微点练明]
1.如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．两相等向量若其起点相同，则终点也相同
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝
3．(多选)设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是( )
A.＝ B.＝
C.∥ D.与共线
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量平行的向量．
逐点清(三) 向量的作法
[典例] 在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向；
(2)||＝2，点B在点O正南方向．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
(2)要注意能运用向量观点将实际问题转化成数学模型．
[针对训练]
如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方．
(1)作出，，(图中1个单位长度表示100 m)；
(2)求的模．
6．1 平面向量的概念
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.大小 方向 大小 方向 2.(1)①方向 起点 方向 长度 ②AB || (2)①有向线段 大小 ②a，b，c
3．大小 || 0 0 1个单位长度
[微点练明]
1．选D 密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．
2．选ACD 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故A、C、D正确．
3．选D 终点是N而不是M.
4．解析：由向量的几何表示知可以写出12个向量，它们分别是，，， ， ， ，， ， ， ，，.
答案：12
[逐点清(二)]
[多维理解] 相同或相反 a∥b 平行 0∥a 相等 相同 a＝b
[微点练明]
1．选C 题图中与相等的向量为，，，共3个．
2．选BC A不正确，|a|＝|b|只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同；B正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；C正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；D不正确，显然≠，≠.
3．选ACD 如图，因为，方向相同，长度相等，故＝，故A正确；因为，方向不同，故≠，故B错误；因为B，O，D三点共线，所以∥，故C正确；因为AB∥CD，所以与共线，故D正确．
4．解：(1)与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
(2)与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
(3)与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)∵||＝3，点A在点O北偏西45°方向，
∴以O为圆心，3为半径作圆，圆弧与图中正方形对角线OP的交点即为点A.
(2)∵||＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为点B.
[针对训练]
解：(1)根据题意可知，若以A为原点，则点B在坐标系中的坐标为(－2,0)．又因为点D在点B的正北方，所以CD⊥BD.
又＝200，所以＝200，即D，C两点在坐标系中的坐标为(－2,2)，(－4，2)，作出，，如图①所示．
(2)如图②，作出向量，由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200，所以四边形ABCD是平行四边形，则＝＝200，所以的模为200 .
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6.1
平面向量的概念
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.通过力的分析等实例,了解向量的实际背景;理解向量的概念.
2.理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念.
3.理解相等向量和共线向量的概念,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 向量的概念与表示
逐点清(二) 相等向量与共线向量
逐点清(三) 向量的作法
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 向量的概念与表示
01
多维理解
1.向量与数量
向量 既有_____又有_____的量叫做向量
数量 只有______没有_____的量称为数量
大小
方向
大小
方向
2.向量的表示
(1)有向线段
①定义:具有_____的线段叫做有向线段,它包含三个要素:_____、_____、_____.
②表示方法及长度:以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段____的长度也叫做有向线段的长度,记作______.
方向
起点
方向
长度
AB
||
(2)向量的表示
①几何表示:用表示向量,有向线段的长度||表示向量的______,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母________,…表示.(印刷用黑体a,书写用)
有向线段
大小
a,b,c
3.向量的相关概念
向量的长度(模)
零向量 长度为____的向量叫做零向量,记作____
单位向量 长度等于______________的向量,叫做单位向量
大小
||
0
1个单位长度
0
|微|点|助|解|
(1)书写向量时带箭头.
(2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段.
(3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量.
(4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小.
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 ( )
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
解析:密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.
√
微点练明
2.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
√
√
√
解析:两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0;单位向量的长度都是1个单位长度,故A、C、D正确.
3.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( )
A.也可以用表示 B.方向是由M指向N
C.起点是M D.终点是M
解析:终点是N而不是M.
√
4.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中不同的点为起点和终点,可以写出 个向量.
解析:由向量的几何表示知可以写出12个向量,它们分别是,,,
,,,,,,,,.
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逐点清(二) 相等向量与共线向量
02
多维理解
平行向量 (共线向量) 定义 方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.向量a与b平行,记作_______
规定 零向量与任意向量_____,即对于任意向量a,都有_____
相等向量 长度______且方向______的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作______ 相同或相反
a∥b
平行
0∥a
相等
相同
a=b
|微|点|助|解|
(1)共线向量定义强调指的是非零向量;
(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同;
(3)相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
(4)向量相等具有传递性,即若 a=b, b=c, 则a=c.而向量的平行不具有传递性.
1.如图,在 ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与相等的向量的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:题图中与相等的向量为,,,共3个.
√
微点练明
2.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.两相等向量若其起点相同,则终点也相同
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若四边形ABCD是平行四边形,则=,=
√
√
解析:A不正确,|a|=|b|只是说明这两个向量的模相等,但其方向未必相同;B正确,因为两相等向量的模相等,方向相同,故当它们的起点相同时,其终点必重合;C正确,由向量相等的定义知,a与b的模相等,b与c的模相等,从而a与c的模相等;又a与b的方向相同,b与c的方向相同,从而a与c的方向也必相同,故a=c;D不正确,显然≠,≠.
3.(多选)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 ( )
A.= B.=
C.∥ D.与共线
√
√
√
解析:如图,因为,方向相同,长度相等,故=,故A正确;因为,
方向不同,故≠,故B错误;因为B,O,D三点共线,所以∥,故C正确;因为AB∥CD,所以与共线,故D正确.
4.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交
的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中
给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;
解:与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,;
(2)与向量共线的向量;
解:与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,;
(3)与向量平行的向量.
解:与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,.
逐点清(三) 向量的作法
03
[典例] 在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长
均为1),用直尺和圆规画出下列向量.
(1)||=3,点A在点O北偏西45°方向;
解:∵||=3,点A在点O北偏西45°方向,
∴以O为圆心,3为半径作圆,圆弧与图中正方形对角线OP的交点即为点A.
(2)||=2,点B在点O正南方向.
解:∵||=2=,点B在点O正南方向,∴以O为圆心,图中OQ为半径作圆,圆弧与OR的交点即为点B.
|思|维|建|模|
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.
(2)要注意能运用向量观点将实际问题转化成数学模型.
如图,某人从点A出发,向西走了200 m后到达点B,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了200 m到达点C,最后又改变方向,向东走了200 m到达点D,发现点D在点B的正北方.
针对训练
(1)作出,,(图中1个单位长度表示100 m);
解:根据题意可知,若以A为原点,则点B在坐标
系中的坐标为(-2,0).
又因为点D在点B的正北方,所以CD⊥BD.
又=200,所以=200,即D,C两点
在坐标系中的坐标为(-2,2),(-4,2),作出,,如图①所示.
(2)求的模.
解:如图②,作出向量,由题意可知,CD∥AB且CD=AB=200,所以四边形ABCD是平行四边形,则==200,所以的模为200 .
课时跟踪检测
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1.下列说法正确的是 ( )
A.向量的模都是正实数
B.单位向量只有一个
C.向量的大小与方向无关
D.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
√
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解析:零向量的模为0,故A不正确;单位向量的方向可以是任意的,故B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C正确;不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故D不正确.
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2.如图,在☉O中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析:,,的模均为圆的半径长,故相等.
√
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3.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 ( )
A.不共线 B.长度不相等
C.不都是单位向量 D.不都是零向量
解析:若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.
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4.已知向量a,b是两个非零向量,,分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各式正确的是( )
A.=
B.=或=
C.=
D.与的长度相等
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解析:依题意,a≠0,b≠0,显然向量a,b的关系不确定,而与a同方向,与b同方向,因此与关系不确定,A,B,C都错误.又,都是单位向量,所以与的长度相等,D正确.
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5.下列结论正确的是 ( )
A.2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得,是单位向量
C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
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解析:一个单位长度取2 025 cm时,2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;根据单位向量的知识可知,B正确;方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,所以两向量为共线向量,故C错误;根据位移的定义可知,向量表示这个人从A点到B点的位移,所以D错误.
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6.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB
=30°,||=2,则||等于( )
A.1 B.
C. D.2
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解析:如图,连接AC,由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°.因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°,所以||=||=1.
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7.(多选)给出下列四个条件,其中能使a∥b成立的条件是 ( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
√
√
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解析:对于A,若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;对于B,若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;对于C,方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;对于D,零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
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8.(多选)下列结论正确的是 ( )
A.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件
B.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的既不充分也不必要条件
C.“a与b方向相同且|a|=|b|”是“a=b”的充要条件
D.“a与b方向相反或|a|≠|b|”是“a≠b”的充分不必要条件
√
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解析:若a=b,则a与b方向相同,模相等,结合充分、必要条件的定义知A、C、D正确,B错误.
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9.(多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
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解析:A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误.
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10.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 ( )
A.向量,的模相等 B.||=
C.向量,共线 D.||+||=10
√
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解析:因为||==,||==2,所以||≠||,所以A错误;因为||==,所以B正确;因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量,共线,所以C正确;因为||+||=+=5≠10,所以D错误.故选B、C.
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11.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= ;若|m|=1,则m是 .
解析:∵A,B,C不共线,∴与不共线.
又∵m与,都共线,∴m=0.若|m|=1,
则m是单位向量.
0
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12.中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如图,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则表示马走了“一步”的向量共有 个.
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解析:此题中,马在A处有两条路可走,在B处有三条路可走,在C处有八条路可走.
如图,以B点为起点作有向线段表示马走了
“一步”的向量,符合题意的共3个;
以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的共8个.所以共有11个.
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13.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量
解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,
模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,,
模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,,总共有8个.
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(2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.
解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个.
14.(15分)如图,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=,求证:=.
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14.(15分)如图,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=,求证:=.
证明:∵=,∴AB=DC且AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形,∴=.
又=,∴CN=MA且CN∥MA.
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∴四边形CNAM是平行四边形.
∴=,∴CM=NA且CM∥NA.
∵CB=DA,CM=NA,∴MB=DN.
又DN∥MB,∴与的模相等且方向相同,
∴=.课时跟踪检测(一) 平面向量的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下列说法正确的是( )
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
2．如图，在☉O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
4．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )
A.＝ B.＝或＝
C.＝ D.与的长度相等
5．下列结论正确的是( )
A．2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
6.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于( )
A．1 B. C. D．2
7．(多选)给出下列四个条件，其中能使a∥b成立的条件是( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
8．(多选)下列结论正确的是( )
A．“a∥b且|a|＝|b|”是“a＝b”的必要不充分条件
B．“a∥b且|a|＝|b|”是“a＝b”的既不充分也不必要条件
C．“a与b方向相同且|a|＝|b|”是“a＝b”的充要条件
D．“a与b方向相反或|a|≠|b|”是“a≠b”的充分不必要条件
9.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
10．(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
A．向量，的模相等
B．||＝
C．向量，共线
D．||＋||＝10
11．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________；若|m|＝1，则m是______________.
12.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个.
13．(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点为M1，M2，M3，…，Mn－1.从这(n＋1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n＝4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示．
14.(15分)如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝.
课时跟踪检测(一)
1．选C 零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
2．选C ，，的模均为圆的半径长，故相等．
3．选D 若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量．所以A、B、C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．
4．选D 依题意，a≠0，b≠0，显然向量a，b的关系不确定，而与a同方向，与b同方向，因此与关系不确定，A，B，C都错误．又，都是单位向量，所以与的长度相等，D正确．
5．选B 一个单位长度取2 025 cm时，2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；根据单位向量的知识可知，B正确；方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误．
6．选A 如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°，所以||＝||＝1.
7．选ACD 对于A，若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
8．选ACD 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，结合充分、必要条件的定义知A、C、D正确，B错误．
9．选ABC A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D错误．
10．选BC 因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选B、C.
11．解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．又∵m与，都共线，∴m＝0.若|m|＝1，则m是单位向量．
答案：0 单位向量
12．解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
13．解：(1)当n＝4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，
模长为||时，有2个，为，，模长为||时，有2个，为，，
模长为||时，有2个，为，，模长为||时，有2个，为，，总共有8个．
(2)由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个．
14．证明：∵＝，
∴AB＝DC且AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝.
又＝，∴CN＝MA且CN∥MA.
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴＝，∴CM＝NA且CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，∴＝.
