6.2.1 向量的加法运算—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则．
2．理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算．
1．向量加法的定义及三角形法则
(1)向量加法的定义：求______________的运算，叫做向量的加法．
(2)三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量______叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋B＝________.
2．向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量______(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和．
3．规定
对于零向量与任意向量a，规定a＋0______＝______.
4．向量加法的运算律
(1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤__________，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
(2)向量加法的运算律
交换律 a＋b＝______
结合律 (a＋b)＋c＝________
|微|点|助|解|
(1)对向量加法的三角形法则的两点说明
①适用范围：任意向量．
②注意事项：两个向量一定首尾相连；和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；当多个向量相加时，可以使用三角形法则．
(2)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．
(3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量相加，结果可能是一个数量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
(4)＋＝.( )
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
4．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．|v1|＋|v2| B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
题型(一) 向量加法的平行四边形法则和三角形法则
[例1] (1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，试用三角形法则作向量a＋b＋c.
听课记录：
[变式拓展]
本例(2)条件不变，试用平行四边形法则作向量a＋b＋c.
|思|维|建|模|
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
[针对训练]
1．(1)如图①，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b；
(2)已知向量a，b，c，如图②，求作a＋b＋c.
题型(二) 向量加法运算律的应用
[例2] 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋＋.
听课记录：
[变式拓展]
1．在本例条件下，求＋ .
2．在本例图形中求作向量＋＋ .
|思|维|建|模| 向量加法运算律的意义和应用原则
意义 由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序
[针对训练]
2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝( )
A. B.
C. D.
3．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
题型(三) 向量加法的实际应用
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．
听课记录：
|思|维|建|模| 利用向量加法解实际应用题的步骤
[针对训练]
4．河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度和方向．
6．2.1 向量的加法运算
课前预知教材
1．(1)两个向量和 (2)
2. 3.0a a
4．(1)|a|＋|b| (2)b＋a a＋(b＋c)
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．D
3．选A 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A.
4．选B 因为速度是既有大小又有方向的量，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．
(2)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则向量＝a＋b.然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c，即为所求．
[变式拓展]
解：首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c，即为所求．
[针对训练]
1．解：(1)如图a，过点O作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
(2)如图b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
[题型(二)]
[例2] 解：如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
(1)＋＝＋＝.
(2)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
[变式拓展]
1．解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.
2．解：过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则＋＝，作＝，连接DH，
则＝＋＋，如图所示．
[针对训练]
2．选B 由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝.
3．解析：|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
[题型(三)]
[例3] 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos 30°＝10×＝5，
||＝||·cos 60°＝10×＝5.
∴A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
[针对训练]
4．解：设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)．
∵tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行．
4 / 5(共51张PPT)
6.2.1
向量的加法运算
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.向量加法的定义及三角形法则
(1)向量加法的定义:求____________的运算,叫做向量的加法.
(2)三角形法则:
如图,已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量____叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
两个向量和
2.向量加法的平行四边形法则
如图,以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.
3.规定
对于零向量与任意向量a,规定a+0=_____=___.
4.向量加法的运算律
(1)|a+b|与|a|,|b|之间的关系
一般地,我们有|a+b|≤_______,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立.
0+a
a
|a|+|b|
(2)向量加法的运算律
交换律 a+b=______
结合律 (a+b)+c=_________
b+a
a+(b+c)
|微|点|助|解|
(1)对向量加法的三角形法则的两点说明
①适用范围:任意向量.
②注意事项:两个向量一定首尾相连;和向量的起点是第一个向量的起点,终点是第二个向量的终点;当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同.
(3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量相加,结果可能是一个数量. ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. ( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )
(4)+=. ( )
×
×
×
√
2.在△ABC中,=a,=b,则a+b等于( )
A. B.
C. D.
√
3.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:向量加法满足交换律,所以五个向量均等于a+b+c.故选A.
√
4.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ( )
A.|v1|+|v2| B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
解析:因为速度是既有大小又有方向的量,由向量的加法法则可知,逆风行驶的速度为v1+v2.故选B.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 向量加法的平行四边形法则和三角形法则
[例1] (1)如图①所示,求作向量a+b;
解:首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示.
(2)如图②所示,试用三角形法则作向量a+b+c.
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则向量=a+b.然后作向量=c,则向量=a+b+c,即为所求.
变式拓展
本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作向量a+b+c.
解:首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c,即为所求.
|思|维|建|模|
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
1.(1)如图①,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b;
解:如图a,过点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作 OACB,连接OC,则=+=a+b.
针对训练
(2)已知向量a,b,c,如图②,求作a+b+c.
解:如图b,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c.
题型(二) 向量加法运算律的应用
[例2] 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式:
(1)+;(2)+;(3)++.
解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知:
(1)+=+=.
(2)+=+=.
(3)++=++=.
1.在本例条件下,求+.
解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以+=.
变式拓展
2.在本例图形中求作向量++.
解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,则+=,作=,
连接DH,
则=++,如图所示.
|思|维|建|模|
向量加法运算律的意义和应用原则
意义 由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
应用 原则 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序
2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则+
+=( )
A. B.
C. D.
解析:由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++
=+=.
√
针对训练
3.已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|= .
解析:|+++|=|+++|=|+|=2||=2.
2
题型(三) 向量加法的实际应用
[例3] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,
∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
解:如图所示,设,分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,则+=.
易得∠ECG=180°-150°=30°,
∠FCG=180°-120°=60°.
∴||=||·cos 30°=10×=5,
||=||·cos 60°=10×=5.
∴A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N.
|思|维|建|模|
利用向量加法解实际应用题的步骤
4.河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船在静水中的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,求小船的实际航行速度和方向.
解:设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面
内任意一点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作矩形OACB,
连接OC,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度.
针对训练
∴||===20(km/h).
∵tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,
∴小船的实际航行速度为20 km/h,沿北偏东30°的方向航行.
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——达标评价
1.++++=( )
A. B.
C. D.
解析:++++=++++=,故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示 ( )
A.向东南走3 km B.向东北走3 km
C.向东南走3 km D.向东北走3 km
解析:由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.如图为正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则+
+=( )
A. B.
C. D.
解析:由平面向量的运算法则,可得++=+=+=.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.如图所示的方格纸中,有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:以OP,OQ为邻边作平行四边形OPMQ,如图,则+=.由和的模相等,方向相同,得=,即+=.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
解析:|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于a,b是非零不共线向量,所以a+b与b不共线,故等号不成立.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析:因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.a+b=0+b=b,B不正确,C正确.由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选A、C.
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.++等于 .
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.在边长为1的等边△ABC中,|+|= ,|+|= .
解析:易知|+|=||=1.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC(图略),则|+|=||=2||sin 60°=2×1×=.
1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.已知点G是△ABC的重心,则++= .
解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的
中点,延长AE到点D,使ED=GE,连接BD,CD,则+=.
又+=0,
∴++=0.(此题可作为结论直接应用)
16
0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(18分)如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,
AC,AB的中点,化简下列各式:
(1)++;
解:++=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)++;
解:++=(+)+=+=.
(3)++.
解:++=++=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
B级——重点培优
11.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
解析:若a和b方向相同,则a+b的方向与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而|a|>|b|,则a+b的方向与a的方向相同.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
12.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:+=,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC的外部.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(19分)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解:设OA,OB,OC三根绳子所受的力分别为a,b,c,则
a+b+c=0.因为a,b的合力为c'=a+b,所以|c|=|c'|.
如图在平行四边形OBC'A中,
因为⊥,=,所以||>||,||>||,
即|a|>|b|,|a|>|c|.
故细绳OA受力最大.课时跟踪检测(二) 向量的加法运算
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.＋＋＋＋＝( )
A. B.
C. D.
2．某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a＋b表示( )
A．向东南走3 km B．向东北走3 km
C．向东南走3 km D．向东北走3 km
3．如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则＋＋＝( )
A. B.
C. D.
4．如图所示的方格纸中，有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
5．若非零不共线向量a，b满足|a＋b||b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
6．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
7.＋＋等于________.
8．在边长为1的等边△ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________.
9．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
10.(18分)如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
B级——重点培优
11．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
12．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
13．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
14.(19分)如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大．
课时跟踪检测(二)
1．选C ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝，故选C.
2．选B 由题意和向量的加法，得a＋b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B.
3．选A 由平面向量的运算法则，可得＋＋＝＋＝＋＝.故选A.
4．选C 以OP，OQ为邻边作平行四边形OPMQ，如图，则＋＝.由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.故选C.
5．选C |a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.由于a，b是非零不共线向量，所以a＋b与b不共线，故等号不成立．
6．选AC 因为a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，又b是一个非零向量，所以a∥b成立，A正确．a＋b＝0bb，B不正确，C正确．由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，可得|a＋b|＝|a|＋|b|，D不正确．故选A、C.
7.
8．解析：易知|＋|＝||＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|＋|＝||＝2||sin 60°＝2×1×＝.
答案：1
9．解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，连接BD，CD，则＋＝.又＋＝0，
∴＋＋＝0.(此题可作为结论直接应用)
答案：0
10．解：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
11．选A 若a和b方向相同，则a＋b的方向与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而|a|>|b|，则a＋b的方向与a的方向相同．
12．选D 因为||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．
13．选D ＋＝，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC的外部．故选D.
14．解：设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0.因为a，b的合力为c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|.
如图在平行四边形OBC′A中， 因为⊥，＝，所以||>||，||>||，即|a|>|b|，|a|>|c|.故细绳OA受力最大．
