6.2.2 向量的减法运算—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量和向量减法的概念．
2．理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则．
3．利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算．
1．相反向量
定义 与向量a长度______，方向______的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质 －(－a)＝_________
零向量的相反向量仍是零向量
a＋(－a)＝(－a)＋a＝____
如果a，b互为相反向量，那么a＝________，b＝________，a＋b＝0
|微|点|助|解|
对于相反向量的两点说明
(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
(2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
2．向量的减法运算及其几何意义
定义 求两个__________的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝______，如图所示
几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的______指向向量a的________的向量
|微|点|助|解|
(1)对于向量减法的三点说明
①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法．
②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
(2)向量加法和减法几何意义的联系
①如图，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
②类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量．( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
2．若非零向量m与n是相反向量，则下列结论不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
题型(一) 向量减法及其几何意义
[例1]
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
听课记录：
[变式拓展]
若本例条件不变，求作向量a－b－c.
|思|维|建|模|
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
(2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
[针对训练]
1．如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋c－a.
题型(二) 向量的减法运算
[例2] 化简：(1)＋－－；
(2)(－)－(－)．
听课记录：
|思|维|建|模|
向量减法运算的常用方法
(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．
(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点．
(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一．
[针对训练]
2．化简：(1)－－＋；
(2)(＋＋)－(－－)．
3．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
题型(三) 向量加减法的应用
[例3] 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)解决向量加减法的应用问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则．
(2)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
[针对训练]
4．设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
5．已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求的值．
6．2.2 向量的减法运算
课前预知教材
1．相等 相反 a 0 b －a
2．向量差 相反向量 终点 终点
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．A 3.C
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
[变式拓展]
解：如图，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，
则＝a－b.
再作＝c，
则＝a－b－c.
[针对训练]
1．解：法一：如图，以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
法二：如图，作＝＝b，
连接AD，
则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝.
(2)法一：(统一成加法)
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
法二：(利用减法)
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
[针对训练]
2．解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋00.
3．解：法一：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b.
法二：＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
[题型(三)]
[例3] 解：如图所示，设＝a，＝b，则＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b.由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB.所以 OACB为矩形．根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
[针对训练]
4．选C 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，所以||＝||.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此||＝||＝2.
5．解：设＝a，＝b，
则＝－＝a－b.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB.
∴△OAB为正三角形．
设其边长为1，则|a－b|＝||＝1，
|a＋b|＝2×＝.∴＝＝.
4 / 4(共53张PPT)
6.2.2
向量的减法运算
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,理解相反向量和向量减法的概念.
2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则.
3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.相反向量
定义 与向量a长度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,记作-a
性质 -(-a)=____
零向量的相反向量仍是零向量
a+(-a)=(-a)+a=___
如果a,b互为相反向量,那么a=____,b=____,a+b=0
相等
相反
a
0
-b
-a
|微|点|助|解|
对于相反向量的两点说明
(1)相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
(2)避免一个误区:即将相反向量等同于方向相反的向量,而是方向相反且模相等的向量.
2.向量的减法运算及其几何意义
定义 求两个________的运算叫做向量的减法,a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的__________
作法
几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的______指向向量a的_____的向量
向量差
相反向量
终点
终点
(1)对于向量减法的三点说明
①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.
②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
③向量减法满足三角形法则,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
|微|点|助|解|
(2)向量加法和减法几何意义的联系
①如图,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b.
②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个相等向量之差等于0. ( )
(2)两个相反向量之差等于0. ( )
(3)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. ( )
√
×
√
√
2.若非零向量m与n是相反向量,则下列结论不正确的是 ( )
A.m=n B.m=-n
C.|m|=|n| D.方向相反
√
3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 ( )
A.-=0 B.-=
C.-= D.+=0
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 向量减法及其几何意义
[例1] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解:法一:如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,
则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
变式拓展
若本例条件不变,求作向量a-b-c.
解:如图,在平面内任取一点O,
作=a,=b,
则=a-b.
再作=c,
则=a-b-c.
|思|维|建|模|
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
(2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
1.如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作向量b+c-a.
针对训练
解:法一:如图,以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,
=-=b+c-a.
法二:如图,作==b, 连接AD,
则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
题型(二) 向量的减法运算
[例2] 化简:(1)+--;
解:+--=(-)+(-)=+=.
(2)(-)-(-).
解:法一:(统一成加法)
(-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0.
法二:(利用减法)
(-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0.
|思|维|建|模|
向量减法运算的常用方法
(1)可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法运算.
(2)运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量要有共同的起点.
(3)引入点O,逆用向量减法的三角形法则,将各向量起点统一.
2.化简:(1)--++;
解:--++=++++=+=.
(2)(++)-(--).
解: (++)-(--)=++-++=
(+)+(-)+(+)=++0=0.
针对训练
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,
=c,试用a,b,c表示.
解:法一:=+=a+=a+(-)=a+c-b.
法二:=+++=++(+)=++0=+
(+)=a+(-b+c)=a-b+c.
题型(三) 向量加减法的应用
[例3] 已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,OB为
邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于(+1)2+
(-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以 OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4.
(1)解决向量加减法的应用问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
(2)平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用:①对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);②若|a+b|=
|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形.
|思|维|建|模|
4.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|,则||=( )
A.8 B.4
C.2 D.1
√
针对训练
解析:以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-.因为|+|=|-|,所以||=||.又四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此||=||=2.
5.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求的值.
解:设=a,=b,
则=-=a-b.
∵|a|=|b|=|a-b|,
∴BA=OA=OB.
∴△OAB为正三角形.
设其边长为1,则|a-b|=||=1,
|a+b|=2×=.∴==.
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.化简+---=( )
A. B.
C.0 D.
解析:+---=-+--=+-=-=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是方向相反的向量,则|a-b|的取值范围是 ( )
A.(2,6) B.[2,6)
C.(2,6] D.[2,6]
解析:由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6).
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.(多选)下面四个式子能化简成的是( )
A.-- B.-+
C.(-)+ D.(-)+(-)
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:对于A,--=,点M和A的位置不详,故A不一定正确;对于B,-+=+=,正确;
对于C,(-)+=++=,正确;
对于D,(-)+(-)=+++=+0=,正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
解析:因为=,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|-|=|-|,即||=||,所以平行四边形ABCD是矩形.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
解析:-=,-=,而在平行四边形ABCD中,=,所以-=-.又=a,=b,=c,=d,所以b-a=c-d,即a-b+c-d=0.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,|a-b|= .
解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0.又a=-b,所以|a|=|-b|=1,因为a与-b同向,所以|a-b|=2.
0
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--+
+= .
解析:由题图知--++=-+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+
= .
解析:-+=++=+.因为+=0,所以-
+=0.
0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(8分)如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++.
解:=-=c-a,=-=d-a,-==-=d-b,+=
-+-=b-a+f-c,-==-=f-d,++=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
解:法一:先作a-b,再作a-b-c即可.
如图①所示,以A为起点分别作向量和,使=a,=b.连接CB,
得向量=a-b,再以C为起点作向量,使=c,连接DB,得向量.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
则向量即为所求作的向量a-b-c.
法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②.
先作=-b和=-c;
再作=a,连接OC,得向量,则=a-b-c.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为( )
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如图,分别作出=a,=2b,
则利用向量加法的交换律可得b-a+b=2b-a,
故=2b-a.
易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°,
且||=6,
所以b-a+b所表示的意义为向西南走6 km.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.在平面上有A,B,C三点,设m=+,n=-,若m与n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:以,为邻边作平行四边形,则m=+,n=-=,由m,n的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 ( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由条件可知||=||,且⊥,以,为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|,故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;=,=,=,由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(10分)如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b.
求证:(1)|a-b|=|a|;
证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.
又M是斜边AB的中点,所以CM=AM=BM.
因为a-b=-=,且||=||,所以|a-b|=|a|.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)|a+(a-b)|=|b|.
证明:因为M是斜边AB的中点,所以=,
所以a+(a-b)=+(-)=+=+=.
因为||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(14分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边
AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 请说明理由.
解:由条件知||=|++|=||,
即AB=AD.又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
解:由平行四边形及三角形中位线的性质可知=.
所以--=--=-(+)=-=.作出向量,如图所示.课时跟踪检测(三) 向量的减法运算
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．化简＋－－－＝( )
A. B.
C．0 D.
2．已知|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是( )
A．(2,6) B．[2,6)
C．(2,6] D．[2,6]
3．(多选)下面四个式子能化简成的是( )
A.－－ B.－＋
C．(－)＋ D．(－)＋(－)
4．在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
5．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
8.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
9.(8分)如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
10．(10分)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
B级——重点培优
11．设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为( )
A．向东南走6 km B．向东南走3 km
C．向西南走6 km D．向西南走3 km
12．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
13．(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有( )
A．|＋|＝|－|
B．|－|＝|－|
C．|－|＝|－|
D．|－|2>|－|2＋|－|2
14.(10分)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
15.(14分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点．
(1)若||＝|＋＋|，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？请说明理由．
(2)化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量.
课时跟踪检测(三)
1．选D ＋－－－＝－＋－－＝＋－＝－＝.
2．选B 由已知必有||a|－|b||≤|a－b|<|a|＋|b|，则所求的取值范围是[2,6)．
3．选BCD 对于A，－－＝，点M和A的位置不详，故A不一定正确；对于B，－＋＝＋＝，正确；
对于C，(－)＋＝＋＋＝，正确；
对于D，(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋0，正确．
4．选B 因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又因为|－|＝|－|，即||＝||，所以平行四边形ABCD是矩形．
5．选B －＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－.又＝a，＝b，＝c，＝d，所以b－a＝c－d，即a－b＋c－d＝0.
6．解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0.又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b同向，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
7．解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝.
答案：
8．解析：－＋＝＋＋＝＋.因为＋＝0，所以－＋＝0.
答案：0
9．解：＝－＝c－a，＝－＝d－a，－＝＝－＝d－b，＋＝－＋－＝b－a＋f－c，－＝＝－＝f－d，＋＋＝0.
10．解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.
则向量即为所求作的向量a－b－c.
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
先作＝－b和＝－c；
再作＝a，连接OC，得向量，则＝a－b－c.
11．选C 如图，分别作出＝a，＝2b，
则利用向量加法的交换律可得b－a＋b＝2b－a，故＝2b－a.
易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且||＝6，
所以b－a＋b所表示的意义为向西南走6 km.
12．选C 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋，n＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选C.
13．选ABC 由条件可知||＝||，且⊥，以，为邻边的平行四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知|＋|＝|－|，故A正确；|－|＝||，|－|＝||，所以|－|＝|－|，故B正确；|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以|－|＝|－|，故C正确；|－|2＝||2，|－|2＝||2，|－|2＝||2，由条件可知||2＝||2＋||2，即|－|2＝|－|2＋|－|2，故D错误．
14．证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA＝CB.
又M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM.
(1)因为a－b＝－＝，且||＝||，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝.
因为||＝||，所以|a＋(a－b)|＝|b|.
15．解：(1)由条件知||＝|＋＋|＝||，即AB＝AD.又四边形ABCD是平行四边形，故四边形ABCD是菱形．
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝.所以－－＝－－＝－(＋)＝－＝.作出向量，如图所示．
