6.2.3 向量的数乘运算
第1课时 向量的数乘运算—— (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
逐点清(一) 向量的数乘的概念
[多维理解]
定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个______,这种运算叫做向量的数乘,记作λa
长度 |λa|=|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向________
λ=0 λa=________
λ<0 λa的方向与a的方向________
[微点练明]
1.要得到向量-2a,可将( )
A.向量a向左平移2个单位长度
B.向量a向右平移2个单位长度
C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
2.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是( )
A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的倍
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量
3.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是( )
A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反
B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同
C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
4.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a
逐点清(二) 向量的线性运算
[多维理解]
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=______;
(2)(λ+μ)a=______;
(3)λ(a+b)=______.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算
向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=____________.
[微点练明]
1.化简的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是( )
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
3.若a,b为已知向量,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=________.
4.化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).
逐点清(三) 向量共线定理
[多维理解]
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使________.
|微|点|助|解|
向量共线定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;
(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa,但此时向量a与b共线;
(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.
2.向量共线定理的推论
在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1.
[微点练明]
1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
2.已知e1和e2不共线,a=λe1+e2,b=4e1+2e2,并且a,b共线,则λ的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则下列结论正确的是( )
A.A,B,D三点共线
B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
4.对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
第1课时 向量的数乘运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 向量 相同 0 相反
[微点练明]
1.选D 根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
2.选ABC 2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,
∴-2a的模是3a的模的倍,故B正确.
∵-2a+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误.
3.选ABC 由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选A、B、C.
4.选B 当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确;显然λ2>0,故B正确;|-λa|=|λ||a|,由于|λ|与1的大小关系不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,故D不正确.
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.(1)(λμ)a (2)λa+μ a
(3)λa+λb 2.加、减、数乘 λμ1a±λμ2b
[微点练明]
1.选B 原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=2b-a.
2.选AB m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
3.解析:∵(4a-3c)+3(5c-4b)=a-2c+15c-12b=0,化简得13c=12b-a,∴c=b-a.
答案:b-a
4.解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.b=λa
[微点练明]
1.选ABD 因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.
2.选B 由题意,有a=μb,
即解得
3.选A ∵向量=+=2a+4b,=a+2b,∴=2,即点A,B,D三点共线.
4.选A 对于非零向量a,b,当a+b=0时,a=-b,a∥b一定成立,即充分性成立;当a∥b时,a=λb,不一定满足a+b=0,即必要性不成立.
所以对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.(共47张PPT)
6.2.3
向量的数乘运算
向量的数乘运算
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 向量的数乘的概念
逐点清(二) 向量的线性运算
逐点清(三) 向量共线定理
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 向量的数乘的概念
01
多维理解
定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa
长度 |λa|=|λ||a|
方 向 λ>0 λa的方向与a的方向_____
λ=0 λa=____
λ<0 λa的方向与a的方向______
向量
相同
0
相反
1.要得到向量-2a,可将 ( )
A.向量a向左平移2个单位长度
B.向量a向右平移2个单位长度
C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
微点练明
√
解析:根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
2.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 ( )
A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的倍
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量
√
√
√
解析:2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)
+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的倍,故B正确.∵-2a
+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误.
3.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反
B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同
C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
√
√
√
解析:由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,
∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选A、B、C.
4.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|a
√
解析:当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确;显然λ2>0,故B正确;|-λa|=|λ||a|,由于|λ|与1的大小关系不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,故D不正确.
逐点清(二) 向量的线性运算
02
多维理解
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=______;
(2)(λ+μ)a=________;
(3)λ(a+b)=_______.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
(λμ)a
λa+μ a
λa+λb
2.向量的线性运算
向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=_____________.
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
1.化简的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
解析:原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=2b-a.
√
微点练明
2.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 ( )
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n
解析:m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
√
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3.若a,b为已知向量,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c= .
解析:∵(4a-3c)+3(5c-4b)=a-2c+15c-12b=0,
化简得13c=12b-a,∴c=b-a.
b-a
4.化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
解:原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
解:原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).
解:原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.
逐点清(三) 向量共线定理
03
多维理解
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_______.
b=λa
|微|点|助|解|
向量共线定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;
(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa,但此时向量a与b共线;
(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.
2.向量共线定理的推论
在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1.
1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.
√
微点练明
√
√
2.已知e1和e2不共线,a=λe1+e2,b=4e1+2e2,并且a,b共线,则λ的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意,有a=μb,
即解得
√
3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则下列结论正确的是( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
解析:∵向量=+=2a+4b,
=a+2b,
∴=2,即点A,B,D三点共线.
√
4.对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:对于非零向量a,b,当a+b=0时,a=-b,a∥b一定成立,即充分性成立;当a∥b时,a=λb,不一定满足a+b=0,即必要性不成立.
所以对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件
课时跟踪检测
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1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 ( )
A.10d B.-10d
C.20d D.-20d
解析:2a-3b+c=2×(4d)-3×(5d)-3d=8d-15d-3d=-10d.
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2.(多选)下列运算正确的是 ( )
A.(-3)×2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b
解析:根据向量数乘运算和加、减运算法则知A、B、D正确;C中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是实数0,所以该运算错误.
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3.点C在直线AB上,且=3,则等于( )
A.-2 B.
C.- D.2
解析:如图,=3,所以=2.
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4.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0,a≠0)
B.若a∥b,则b=λa(λ∈R)
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
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解析:当λ>0时,a与λa方向相同,当λ<0时,a与λa方向相反,故A正确;
当a≠0时,结论才成立,故B错误;
当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故C错误;
显然当b=±2a时,|b|=2|a|,故D正确.
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5.在平行四边形ABCD中,-=( )
A. B.
C. D.
解析:如图,连接AC,BD相交于点O,则-=-==,故选C.
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6.(多选)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是 ( )
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
√
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解析:A中,a=-b,所以a∥b;B中,a=-b,所以a∥b;C中,b=-e1==-a,所以a∥b;D中,b==(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.
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7.若D为△ABC的边AB的中点,则=( )
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
解析如图所示,
∵D为△ABC的边AB的中点,
∴+=2,
∴=2-.故选A.
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8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 ( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
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解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0 λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.
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9.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)= .
解析:原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0.
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10.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则= .
解析:∵==,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∴=.又与同向,
∴=.
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11.(15分)(1)计算:
①4(a+b)-3(a-b)-8a;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
③.
解:(1)①4(a+b)-3(a-b)-8a=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
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③==
=a-b.
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a.
解:-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+=-i-5j.
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12.(15分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2不共线.问是否存在实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线
解:由题意得d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2.
若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
所以解得λ=-2μ.
故存在实数λ,μ,使得向量d与c共线,且λ=-2μ.
10课时跟踪检测(四) 向量的数乘运算
(满分80分,选填小题每题5分)
1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于( )
A.10d B.-10d
C.20d D.-20d
2.(多选)下列运算正确的是( )
A.(-3)×2a=-6a
B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0
D.2(3a-b)=6a-2b
3.点C在直线AB上,且=3,则等于( )
A.-2 B.
C.- D.2
4.(多选)下列说法正确的是( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0,a≠0)
B.若a∥b,则b=λa(λ∈R)
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
5.在平行四边形ABCD中,-=( )
A. B.
C. D.
6.(多选)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是( )
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
7.若D为△ABC的边AB的中点,则C=( )
A.2C-C B.2C-C
C.2C+C D.2C+C
8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
9.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=__________.
10.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则=________.
11.(15分)(1)计算:
①4(a+b)-3(a-b)-8a;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
③.
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a.
12.(15分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2不共线.问是否存在实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?
课时跟踪检测(四)
1.选B 2a-3b+c=2×(4d)-3×(5d)-3d=8d-15d-3d=-10d.
2.选ABD 根据向量数乘运算和加、减运算法则知A、B、D正确;C中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是实数0,所以该运算错误.
3.选D 如图,=3,所以=2.
4.选AD 当λ>0时,a与λa方向相同,当λ<0时,a与λa方向相反,故A正确;
当a≠0时,结论才成立,故B错误;
当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故C错误;
显然当b=±2a时,|b|=2|a|,故D正确.
5.选C 如图,连接AC,BD相交于点O,则-=-==,故选C.
6.选ABC A中,a=-b,所以a∥b;B中,a=-b,所以a∥b;C中,b=-e1==-a,所以a∥b;D中,b==(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.
7.选A 如图所示,
∵D为△ABC的边AB的中点,
∴+=2,
∴=2-.故选A.
8.选AB 由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0 λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.
9.解析:原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0.
答案:0
10.解析:∵==,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.∴=.
又与同向,∴=.
答案:
11.解:(1)①4(a+b)-3(a-b)-8a=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
③===a-b.
(2)-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=-i-5j.
12.解:由题意得d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2.
若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
所以解得λ=-2μ.
故存在实数λ,μ,使得向量d与c共线,且λ=-2μ.