6．2.3 向量的数乘运算
第1课时 向量的数乘运算—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．
2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
逐点清(一) 向量的数乘的概念
[多维理解]
定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ＞0 λa的方向与a的方向________
λ＝0 λa＝________
λ＜0 λa的方向与a的方向________
[微点练明]
1．要得到向量－2a，可将( )
A．向量a向左平移2个单位长度
B．向量a向右平移2个单位长度
C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍
D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍
2．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的倍
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
3．(多选)已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是( )
A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反
B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同
C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同
D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同
4．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
逐点清(二) 向量的线性运算
[多维理解]
1．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μ a)＝______；
(2)(λ＋μ)a＝______；
(3)λ(a＋b)＝______.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的线性运算
向量的______________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________.
[微点练明]
1．化简的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
3．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
4．化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]；
(3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)(x，y∈R)．
逐点清(三) 向量共线定理
[多维理解]
1．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
|微|点|助|解|
向量共线定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；
(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
2．向量共线定理的推论
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1.
[微点练明]
1．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是( )
A．a∥b B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b| D．b＝－3a
2．已知e1和e2不共线，a＝λe1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则λ的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知向量＝a＋2b，＝5a＋3b，＝－3a＋b，则下列结论正确的是( )
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
4．对于非零向量a，b, “a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第1课时 向量的数乘运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 向量 相同 0 相反
[微点练明]
1．选D 根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D.
2．选ABC 2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确．－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向．∵－a与a反方向，∴－2a与3a反方向．又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，
∴－2a的模是3a的模的倍，故B正确．
∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的，故D错误．
3．选ABC 由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误．故选A、B、C.
4．选B 当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确；显然λ2>0，故B正确；|－λa|＝|λ||a|，由于|λ|与1的大小关系不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.(1)(λμ)a (2)λa＋μ a
(3)λa＋λb 2.加、减、数乘 λμ1a±λμ2b
[微点练明]
1．选B 原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝2b－a.
2．选AB m(a－b)＝ma－mb，A正确；(m－n)a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误．
3．解析：∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝a－2c＋15c－12b＝0，化简得13c＝12b－a，∴c＝b－a.
答案：b－a
4．解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
(3)原式＝(x－y)a＋(x－y)b－(x－y)a＋(x－y)b＝2(x－y)b.
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.b＝λa
[微点练明]
1．选ABD 因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误．
2．选B 由题意，有a＝μb，
即解得
3．选A ∵向量＝＋＝2a＋4b，＝a＋2b，∴＝2，即点A，B，D三点共线．
4．选A 对于非零向量a，b，当a＋b＝0时，a＝－b，a∥b一定成立，即充分性成立；当a∥b时，a＝λb，不一定满足a＋b＝0，即必要性不成立．
所以对于非零向量a，b, “a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．(共47张PPT)
6.2.3
向量的数乘运算
向量的数乘运算
(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 向量的数乘的概念
逐点清(二) 向量的线性运算
逐点清(三) 向量共线定理
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 向量的数乘的概念
01
多维理解
定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa
长度 |λa|=|λ||a|
方 向 λ>0 λa的方向与a的方向_____
λ=0 λa=____
λ<0 λa的方向与a的方向______
向量
相同
0
相反
1.要得到向量-2a,可将 ( )
A.向量a向左平移2个单位长度
B.向量a向右平移2个单位长度
C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
微点练明
√
解析:根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
2.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 ( )
A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的倍
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量
√
√
√
解析:2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)
+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的倍,故B正确.∵-2a
+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误.
3.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反
B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同
C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同
√
√
√
解析:由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,
∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选A、B、C.
4.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|a
√
解析:当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确;显然λ2>0,故B正确;|-λa|=|λ||a|,由于|λ|与1的大小关系不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,故D不正确.
逐点清(二) 向量的线性运算
02
多维理解
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=______;
(2)(λ+μ)a=________;
(3)λ(a+b)=_______.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
(λμ)a
λa+μ a
λa+λb
2.向量的线性运算
向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=_____________.
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
1.化简的结果是( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
解析:原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=2b-a.
√
微点练明
2.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 ( )
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n
解析:m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
√
√
3.若a,b为已知向量,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c= .
解析:∵(4a-3c)+3(5c-4b)=a-2c+15c-12b=0,
化简得13c=12b-a,∴c=b-a.
b-a
4.化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
解:原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
解:原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).
解:原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.
逐点清(三) 向量共线定理
03
多维理解
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_______.
b=λa
|微|点|助|解|
向量共线定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;
(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa,但此时向量a与b共线;
(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.
2.向量共线定理的推论
在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1.
1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.
√
微点练明
√
√
2.已知e1和e2不共线,a=λe1+e2,b=4e1+2e2,并且a,b共线,则λ的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意,有a=μb,
即解得
√
3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则下列结论正确的是( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
解析:∵向量=+=2a+4b,
=a+2b,
∴=2,即点A,B,D三点共线.
√
4.对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:对于非零向量a,b,当a+b=0时,a=-b,a∥b一定成立,即充分性成立;当a∥b时,a=λb,不一定满足a+b=0,即必要性不成立.
所以对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
11
12
2
1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 ( )
A.10d B.-10d
C.20d D.-20d
解析:2a-3b+c=2×(4d)-3×(5d)-3d=8d-15d-3d=-10d.
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
2
3
4
2.(多选)下列运算正确的是 ( )
A.(-3)×2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a
C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b
解析:根据向量数乘运算和加、减运算法则知A、B、D正确;C中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是实数0,所以该运算错误.
√
√
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
3.点C在直线AB上,且=3,则等于( )
A.-2 B.
C.- D.2
解析:如图,=3,所以=2.
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
4.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0,a≠0)
B.若a∥b,则b=λa(λ∈R)
C.若|b|=2|a|,则b=±2a
D.若b=±2a,则|b|=2|a|
√
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
解析:当λ>0时,a与λa方向相同,当λ<0时,a与λa方向相反,故A正确;
当a≠0时,结论才成立,故B错误;
当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故C错误;
显然当b=±2a时,|b|=2|a|,故D正确.
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
5.在平行四边形ABCD中,-=( )
A. B.
C. D.
解析:如图,连接AC,BD相交于点O,则-=-==,故选C.
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
6.(多选)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是 ( )
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
√
√
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
解析:A中,a=-b,所以a∥b;B中,a=-b,所以a∥b;C中,b=-e1==-a,所以a∥b;D中,b==(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线.
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
7.若D为△ABC的边AB的中点,则=( )
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
解析如图所示,
∵D为△ABC的边AB的中点,
∴+=2,
∴=2-.故选A.
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 ( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
√
√
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0 λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
9.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)= .
解析:原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0.
0
10
1
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
2
10.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则= .
解析:∵==,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∴=.又与同向,
∴=.
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
11.(15分)(1)计算:
①4(a+b)-3(a-b)-8a;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
③.
解:(1)①4(a+b)-3(a-b)-8a=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
③==
=a-b.
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a.
解:-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+=-i-5j.
10
1
5
6
7
8
9
11
12
3
4
2
12.(15分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2不共线.问是否存在实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线
解:由题意得d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2.
若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
所以解得λ=-2μ.
故存在实数λ,μ,使得向量d与c共线,且λ=-2μ.
10课时跟踪检测(四) 向量的数乘运算
(满分80分，选填小题每题5分)
1．已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c等于( )
A．10d B．－10d
C．20d D．－20d
2．(多选)下列运算正确的是( )
A．(－3)×2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B.
C．－ D．2
4．(多选)下列说法正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B．若a∥b，则b＝λa(λ∈R)
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
5．在平行四边形ABCD中，－＝( )
A. B.
C. D.
6．(多选)下列各组向量中，一定能推出a∥b的是( )
A．a＝－3e，b＝2e
B．a＝－e，b＝e
C．a＝e1－e2，b＝－e1
D．a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋
7．若D为△ABC的边AB的中点，则C＝( )
A．2C－C B．2C－C
C．2C＋C D．2C＋C
8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
9．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝__________.
10.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.
11．(15分)(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋2b－a.
12．(15分)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线．问是否存在实数λ，μ，使得向量d＝λa＋μb与c共线？
课时跟踪检测(四)
1．选B 2a－3b＋c＝2×(4d)－3×(5d)－3d＝8d－15d－3d＝－10d.
2．选ABD 根据向量数乘运算和加、减运算法则知A、B、D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是实数0，所以该运算错误．
3．选D 如图，＝3，所以＝2.
4．选AD 当λ>0时，a与λa方向相同，当λ<0时，a与λa方向相反，故A正确；
当a≠0时，结论才成立，故B错误；
当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线，故C错误；
显然当b＝±2a时，|b|＝2|a|，故D正确．
5.选C 如图，连接AC，BD相交于点O，则－＝－＝＝，故选C.
6．选ABC A中，a＝－b，所以a∥b；B中，a＝－b，所以a∥b；C中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；D中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．
7．选A 如图所示，
∵D为△ABC的边AB的中点，
∴＋＝2，
∴＝2－.故选A.
8．选AB 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0 λa＝μb，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．
9．解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0.
答案：0
10．解析：∵＝＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.∴＝.
又与同向，∴＝.
答案：
11．解：(1)①4(a＋b)－3(a－b)－8a＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
③＝＝＝a－b.
(2)－＋2b－a＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.
12．解：由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.
若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
所以解得λ＝－2μ.
故存在实数λ，μ，使得向量d与c共线，且λ＝－2μ.
