第 2 课时 向量的数乘运算的应用
—— 教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学
题型(一) 用已知向量表示其他向量
[例1] (2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
听课记录：
|思|维|建|模|
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
[针对训练]
1．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－
B．－＋
C．－＋
D.－
2．如图，在△ABC中，向量＝3，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
题型(二) 三点共线的判定与证明
[例2] (1)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则( )
A．A，B，C三点共线 B．B，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．A，C，D三点共线
(2)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
听课记录：
|思|维|建|模|
证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
[针对训练]
3．P是△ABC所在平面内一点，＝λ＋，则P点必在( )
A．△ABC内部 B．直线AC上
C．直线AB上 D．直线BC上
4．已知a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明A，B，C三点共线．
题型(三) 利用向量共线求参数
[例3] (1)已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相同，则实数λ的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．1或－
(2)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝4e1＋2e2，＝－e1＋λe2，＝e1＋(1－λ)e2，且A，C，D三点共线，则λ＝( )
A. B．2
C．4 D.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
[针对训练]
5．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
6．在△ABC中，点D在线段BC上，且满足||＝||，点E为AD上任意一点，若实数x满足＝x＋，则x＝________.
第2课时 向量的数乘运算的应用
[题型(一)]
[例1] 选B 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
[针对训练]
1．选B 根据平面向量的运算法则得＝＋＝－＋×＝－＋＝－＋(－)＝－＋＝－＋(＋)＝－＋＋×＝－＋.故选B.
2．解析：由题意知，＝＋，所以＝3＝3＋3＝－3＋3.所以＝＋＝－3＋3＝－2＋3，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
答案：1
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)因为＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以＝＋＝e1＋5e2＝.所以A，B，D三点共线．因为与没有倍数关系，所以A，B，C三点不共线．因为与没有倍数关系，所以B，C，D三点不共线．因为＝＋＝－e1＋13e2，与没有倍数关系，所以A，C，D三点不共线．故选C.
(2)由A，B，C三点共线可得，∥，∴存在m∈R，使＝m，∴λa＋b＝ma＋mμb，即(λ－m)a＝(mμ－1)b.∵a，b不共线，
∴故可得λμ＝1.反之，若λμ＝1，则μ＝.∴＝a＋b＝(λa＋b)＝，∴∥，又与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．故选D.
答案：(1)C (2)D
[针对训练]
3．选B ∵＝－，＝λ＋，∴－＝λ＋.∴－＝λ.
∴∥，即与共线．∴P点一定在AC边所在直线上．故选B.
4．证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2AB，∴与共线，又与有公共点，∴A，B，C三点共线．
[题型(三)]
[例3] 解析：(1)因为向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相同，所以存在唯一实数k(k>0)，使a＋(2λ－1)b＝k(λa＋b)，因为向量a，b不共线，所以解得或(舍去)．
(2)由已知可得，＝＋＝3e1＋(λ＋2)·e2.因为A，C，D三点共线，所以，共线，则 μ∈R，使得＝μ，
即3e1＋(λ＋2)e2＝μe1＋μ(1－λ)e2，
整理可得(3－μ)e1＋(λ＋2－μ＋μλ)e2＝0.
因为e1，e2不共线，所以
解得
答案：(1)A (2)D
[针对训练]
5．解析：依题意，＝e1＋2e2，
故＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2.
已知A，B，D三点共线，可设＝λ，
则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)＝λe1＋kλe2，
所以解得k＝1.
答案：1
6．解析：因为||＝||，＝x＋，所以＝x＋，由A，E，D三点共线可得x＋＝1，解得x＝.
答案：
1 / 3(共52张PPT)
向量的数乘运算的应用
(教学方式:拓展融通课 —习题讲评式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 用已知向量表示其他向量
题型(二) 三点共线的判定与证明
题型(三) 利用向量共线求参数
4
课时跟踪检测
题型(一) 用已知向量表示其他向量
01
[例1] (2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
解析:因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=
+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
√
|思|维|建|模|
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中,然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.
(2)方程法:当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
1.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.- B.-+
C.-+ D.-
√
针对训练
解析:根据平面向量的运算法则得=+=-+×=-
+=-+(-)=-+=-+(+)=-++
×=-+.故选B.
2.如图,在△ABC中,向量=3,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ= .
解析:由题意知,=+,所以=3=3+3=-3+3.所以=+=-3+3=-2+3,则λ=-2,μ=3,故λ+μ=1.
1
题型(二) 三点共线的判定与证明
02
[例2] (1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,
=3e1-3e2,则( )
A.A,B,C三点共线
B.B,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线
D.A,C,D三点共线
√
解析:因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+=e1
+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C.
(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
√
解析:由A,B,C三点共线可得,∥,∴存在m∈R,使=m,
∴λa+b=m a+mμ b,即(λ-m)a=(mμ-1)b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=,∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D.
|思|维|建|模|
证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在( )
A.△ABC内部 B.直线AC上
C.直线AB上 D.直线BC上
解析:∵=-,=λ+,∴-=λ+.∴-=λ.
∴∥,即与共线.∴P点一定在AC边所在直线上.故选B.
√
针对训练
4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线.
证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)
=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点,∴A,B,C三点共线.
题型(三) 利用向量共线求参数
03
[例3] (1)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相同,则实数λ的值为 ( )
A.1 B.-
C.1或- D.1或-
√
解析:因为向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相同,所以存在唯一实数k(k>0),使a+(2λ-1)b=k(λa+b),因为向量a,b不共线,所以解得或(舍去).
(2)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=4e1+2e2,=-e1+λe2,
=e1+(1-λ)e2,且A,C,D三点共线,则λ=( )
A. B.2
C.4 D.
√
解析:由已知可得,=+=3e1+(λ+2)e2.因为A,C,D三点共线,所以,共线,则 μ∈R,使得=μ,
即3e1+(λ+2)e2=μe1+μ(1-λ)e2,
整理可得(3-μ)e1+(λ+2-μ+μλ)e2=0.
因为e1,e2不共线,所以
解得
|思|维|建|模|
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
5.设e1,e2是平面内两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,
=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k= .
解析:依题意,=e1+2e2,
故=++=7e1+(k+6)e2.
已知A,B,D三点共线,可设=λ,
针对训练
1
则7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2)=λe1+kλe2,
所以解得k=1.
6.在△ABC中,点D在线段BC上,且满足||=||,点E为AD上任意一点,若实数x满足=x+,则x= .
解析:因为||=||,=x+,
所以=x+,由A,E,D三点共线可得x+=1,解得x=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,则向量+等于( )
A. B.
C. D.
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解析:在矩形ABCD中,AB CD,故=.
又∵E为CD的中点,∴+=+=+=.
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2.在梯形ABCD中,=4,+=x+y,则x-y=( )
A.5 B.6
C.-5 D.-6
解析:因为=4,所以+=(+)+4=-5.
所以x-y=1-(-5)=6.
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3.已知a与b为非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb,若A,B,C三点共线,则2λ+μ=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
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解析:由题意知,=a-2b,=(λ-2)a+(μ+1)b,因为A,B,C三点共线,所以,共线,故不妨设=k(k≠0),
则
所以λ-2=-,解得2λ+μ=3.
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4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是( )
A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线
C.||=|| D.||=3||
解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||,C错误.故选B、D.
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5.如图,在△ABC中,设=a,=b,=2,=4,则=( )
A.a-b B.a-b
C.-a+b D.-a+b
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解析:因为=-=b-a,=2,
所以==,=+=a+=b+a.
又因为=4,
所以==-=-b-a,所以=+=-b
-a=-a+b.
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6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ= .
解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,
所以=-.
-
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7.如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示= .
解析:=++=a+b+=a+b+=a+b+=a+b.
a+b
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8.在△ABC中,D为CB上一点,E为AD的中点,若=+m,则m= .
解析:因为E为AD的中点,所以=2=+2m.因为B,D,C三点共线,所以=λ+,即+2m=1,解得m=.
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9.(8分)如图,在平行四边形AOBD中,=,=,设向量=a,
=b,用a,b表示,,.
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解:∵=-=a-b,
∴=+=+=+=b+=a+b.
又=a+b,∴=+=+==a+b.
∴=-=a+b-a-b=a-b.
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10.(10分)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,
=8e1-9e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
解:证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,所以与共线.
又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
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(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
解:因为2λe1+e2与e1+λe2共线,
所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
因为e1,e2不共线,所以
解得λ=±.
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(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
解:假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2).
因为e1,e2不共线,所以解得λ=±1.
因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1.
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B级——重点培优
11.在△ABC中,||=2,=,O是△ABC所在的平面内一点,4+2+3=0,则||等于( )
A. B.
C. D.
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解析:由4+2+3=0,可得=-(4+2).
因为=,所以-==(-),
所以=+=-(4+2)+=(-)=.
又因为||=2,所以||=||=.
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12.如图,在△ABC中,=,E为线段AD上的动点,且=x+y,则+的最小值为( )
A.8 B.12
C.32 D.16
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解析:因为=,所以=,因为=x+y,所以=x+3y.因为A,D,E三点共线,所以x+3y=1,x>0,y>0,
所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32,
当且仅当=,即x=y=时取等号.
所以+的最小值是32.
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13.如图,已知=a,=b, AD是中线,G为重心,则= ;
= .(用向量a,b表示)
(a+b)
(a+b)
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解析:因为AD是中线,所以D为BC的中点,所以=,
所以=+=+=+(-)=+=(a+b).
又G为△ABC的重心,所以==×(a+b)=(a+b).
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14.(12分)已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.
(1)用e,f表示;
解:=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.
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(2)求证:四边形ABCD是梯形.
解:证明:因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与方向相同,且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.
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15.(12分)如图,在△ABC中,=,=.
设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
解:由题图,=-=b-a,=-=+=(b-a)+a=
b+a.
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(2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线.
解:证明:由+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线.课时跟踪检测(五) 向量的数乘运算的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量＋等于( )
A. B.
C. D.
2．在梯形ABCD中，＝4，＋＝x＋y，则x－y＝( )
A．5 B．6
C．－5 D．－6
3．已知a与b为非零向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(多选)已知4－3＝，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C．||＝|| D．||＝3||
5.如图，在△ABC中，设＝a，＝b，＝2，＝4，则＝( )
A.a－b B.a－b
C．－a＋b D．－a＋b
6．点C在线段AB上，且||＝||，若＝λ，则λ＝________.
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
8．在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点，若＝＋m，则m＝______.
9.(8分)如图，在平行四边形AOBD中，＝，＝，设向量＝a，＝b，用a，b表示，，.
10．(10分)设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；
(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围.
B级——重点培优
11．在△ABC中，||＝2，＝，O是△ABC所在的平面内一点，4＋2＋3＝0，则||等于( )
A. B.
C. D.
12．如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为( )
A．8 B．12
C．32 D．16
13．如图，已知＝a，＝b，AD是中线，G为重心，则＝__________；＝__________.(用向量a，b表示)
14．(12分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD是梯形.
15．(12分)如图，在△ABC中，＝，＝.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)若P为△ABC内部一点，且＝a＋b.求证：M，P，N三点共线.
课时跟踪检测(五)
1．选A 在矩形ABCD中，AB綉CD，故＝.又∵E为CD的中点，∴＋＝＋＝＋＝.
2．选B 因为＝4，所以＋＝(＋)＋4＝－5.
所以x－y＝1－(－5)＝6.
3．选D 由题意知，＝a－2b，＝(λ－2)a＋(μ＋1)b，因为A，B，C三点共线，所以，共线，故不妨设＝k(k≠0)，
则
所以λ－2＝－，解得2λ＋μ＝3.
4．选BD 因为4－3＝，所以3－3＝－.所以3＝.因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||.B、D正确，A错误．由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋.所以||≠||，C错误．故选B、D.
5．选C 因为＝－＝b－a，＝2，
所以＝＝，＝＋＝a＋＝b＋a.
又因为＝4，
所以＝＝－＝－b－a，所以＝＋＝－b－a＝－a＋b.
6．解析：不妨设||＝4a，则||＝||＝3a.因为点C在线段AB上，
所以＝－.
答案：－
7．解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋＝a＋b＋＝a＋b.
答案：a＋b
8．解析：因为E为AD的中点，所以＝2＝＋2m.因为B，D，C三点共线，所以＝λ＋，即＋2m＝1，解得m＝.
答案：
9．解：∵＝－＝a－b，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋＝a＋b.
又＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b.
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
10．解：(1)证明：因为＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，所以与共线．
又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，
所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．
因为e1，e2不共线，所以
解得λ＝±.
(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数m，使e1＋λe2＝m(λe1＋e2)．
因为e1，e2不共线，所以解得λ＝±1.
因为e1＋λe2与λe1＋e2不共线，所以λ≠±1.
11．选A 由4＋2＋3＝0，可得＝－(4＋2)．
因为＝，所以－＝＝(－)，所以＝＋＝－(4＋2)＋＝(－)＝.又因为||＝2，所以||＝||＝.
12．选C 因为＝，所以＝，因为＝x＋y，所以＝x＋3y.因为A，D，E三点共线，所以x＋3y＝1，x>0，y>0，
所以＋＝·(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2＝20＋12＝32，
当且仅当＝，即x＝y＝时取等号．
所以＋的最小值是32.
13．解析：因为AD是中线，所以D为BC的中点，所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)．
又G为△ABC的重心，所以＝＝×(a＋b)＝(a＋b)．
答案：(a＋b) (a＋b)
14．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
15．解：(1)由题图，＝－＝b－a，＝－＝＋＝(b－a)＋a＝b＋a.
(2)证明：由＋＝＋＋＝＋－＝a＋b－(b－a)＝a＋b，又＝a＋b，所以＝＋，故M，P，N三点共线．
