1.1 等腰三角形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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1.1 等腰三角形
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝CD＝BC，∠A＝25°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．65° C．80° D．105°
2．等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长是（　　）
A．20 B．15 C．25 D．20或25
3．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
5．已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则第三边的长是（　　）
A．5 B．6 C．5或6 D．10
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（　　）
A．三角形中有一个内角是直角
B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角
D．三角形中不能有内角是直角
8．如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且，则等腰△ABC的底角的度数为（　　）
A．45° B．75°或60°
C．45°或75° D．以上都不对
10．如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD为BC边上的高，下列结论中不正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AD＝BC C．BD＝CD D．∠BAD＝∠CAD
二．填空题（共6小题）
11．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设　 　．
12．如图，等边△ABC 的边长为4cm，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，点P以8cm/s的速度按顺时针方向在等边△ABC的边上运动，点Q以2cm/s的速度按逆时针方向在等边△ABC的边上运动，则P、Q两点第一次在等边△ABC 顶点处相遇的时间t1＝　 　秒，第四次在等边△ABC顶点处相遇的时间t4＝　 　秒．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上（均不与点A、B、C重合），且∠1＝∠C＝40°，若BD＝CE，则∠BAD＝　 　度．
14．检测房梁是否水平，可以采用下面的方法：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边帖在房梁上，结果线绳经过三角尺的顶点，则可以判断房梁是水平的．这样做的根据是：　 　．
15．如图，设AB是已知线段，经过点B作 BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB上截取AC＝AE．已知线段AB的长为2，则线段BC的长为 　 　．
16．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝72°，则∠AOB＝　 　°．
三．解答题（共9小题）
17．有一块四边形草地ABCD（如图），测得AB＝AD＝5，CD＝13，BC＝12，∠A＝60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求四边形草地ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C；
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BDC＝105°，∠ABD＝11°，求∠DBC的度数．
20．在平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（0，m），其中m＞0．
（1）若点C（4，3）在第一象限，AB⊥AC，求m的值；
（2）点D为x轴正半轴上一个动点，OD＝t，点E的坐标为（n，t），n＞t＞m，若BD＝ED，则在点D运动的过程中，∠EAD的大小是否发生变化？若不变，请求出∠EAD的度数；若变化，请说明∠EAD的大小变化过程．
21．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
22．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线．
（1）求∠B的大小；
（2）求证：BC＝3DC．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
24．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内部，连接DB、DC、DA，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外部，连接EA、EB、EC，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明．
1.1 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】先根据AD＝CD，∠A＝25°求出∠ACD＝25°，进而根据外角的性质求出∠BDC＝50°，再根据CD＝BC求出∠BDC＝∠DBC＝50°，根据三角形内角和求出∠BCD即可．
【解答】解：∵AD＝CD，∠A＝25°，
∴∠A＝∠ACD＝25°，
∴∠BDC＝50°，
∵CD＝BC，
∴∠BDC＝∠DBC＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等并灵活运用．
2．【答案】C
【分析】分别从①若5是底边长，10是腰长与②若10是底边长，5是腰长去分析，即可求得答案，注意检验是否能组成三角形．
【解答】解：①若5是底边长，10是腰长，
则5，10，10能组成三角形，
则它的周长是：5+10+10＝25；
②若10是底边长，5是腰长，
∵5+5＝10，
∴5，5，10不能组成三角形，舍去；
∴它的周长是25．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
3．【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，CE＝CD的条件，可得的△BEF是含30°角的直角三角形，由此可求出BE，DE的长，根据DF＝DE+EF即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，DE⊥AC，DE平分∠ABC，
∴，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠ACB＝60°，且是△CDE的外角，
∴∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
在△AEF中，∠A＝60°，且∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB，
∴△BEF中，∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABE＝30°，EF＝2，
∴BE＝2EF＝2×2＝4，
在△BDE中，∠EBD＝∠D＝30°，
∴DE＝BE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
4．【答案】C
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义分边长为5的为底和为腰进行分类求解．
【解答】解：由题意可分：当边长为5的为该等腰三角形的底边时，则腰长为6，符合三角形三边关系；
当边长为5的为该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长为5、5、6，符合三角形三边关系；
综上所述：第三边的长为5或6；
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．
6．【答案】A
【分析】由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E＝∠ABE，则AB＝AE．同理可得，AD＝AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故选：A．
【点评】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．【答案】B
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．【答案】C
【分析】分三种情况：当MP＝MN时，当NP＝NM时，当PM＝PN时，即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
9．【答案】D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB＝AC时，根据已知条件得出AD＝BD＝CD，从而得出底角的度数；当AB＝BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB＝BC求出底角的度数，当AB＝BC时，求出底角．
【解答】解：①当AB＝AC时，如图，
则∠B＝∠C；
∵AD为BC边上的高，
∴BD＝CD，
∵，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAB＝∠B，∠C＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝∠C＝∠DAC，
而这四个角和为180°，
∴底角为∠B＝∠C＝45°；
②当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∴底角为75°；
③当AB＝BC时，如图，
∵，
∴，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴底角为15°；
故选：D．
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
10．【答案】B
【分析】先利用等角对等边可得AB＝AC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
故A、C、D正确；
∵AD与BC不一定相等，
∴B不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．【答案】2，20．
【分析】根据相遇问题的数量关系求得第一次两点相遇的时间为2秒和以后每相遇一次的时间6秒，即可求解．
【解答】解：∵等边△ABC 的边长为4cm，
由题意知P、Q两点第一次在等边△ABC 顶点处相遇的时间t1＝2秒，
以后每隔6秒，P、Q就会相遇一次，
∴第四次在等边△ABC顶点处相遇的时间t4＝3×6+2＝20（秒），
故答案为：2，20．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，相遇问题的应用，关键是得出P、Q第一次在等边△ABC 顶点处相遇的时间和以后每隔6秒，P、Q就会相遇一次．
13．【答案】30．
【分析】先求出∠BAC＝100°，再证明△EDC≌△DAB，得到∠DAE＝∠DEA，进而可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B．
∵∠1＝∠C＝40°，
∴∠1＝∠C＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠ADC＝∠1+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∴∠EDC＝∠BAD，
又∵∠C＝∠B，EC＝BD，
∴△EDC≌△DAB（AAS），
∴ED＝AD，
∴，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣70°＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△EDC≌△DAB是解答本题的关键．
14．【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC＝BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC＝BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB．
故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
15．【答案】3．
【分析】根据勾股定理求出AD，求出AC，再求出BC即可．
【解答】解：∵BDAB＝1，DE＝DB，
∴DE＝DB＝1，AB＝2BD＝2，
由勾股定理得：AD，
∴AC＝AE＝AD﹣DE1，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（1）＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．【答案】24．
【分析】根据等边对等角的性质，得到∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再根据三角形外角的定义，得出∠DEC＝2∠COD，进而求得∠COD＝24°，即可得到∠AOB的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠COD+∠CDO，
∴∠DEC＝2∠COD，
∴∠BDE＝∠DEC+∠COD＝3∠COD，∠BDE＝72°，
∴∠COD＝24°，
即∠AOB＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）150°；
（2）四边形草地ABCD的面积为30．
【分析】（1）连接BD，由等边三角形的判定证得△ABD是等边三角形，得到∠ABD＝60°，再由勾股定理的逆定理证得∠CBD＝90°，即可求得∠ABC；
（2）过D作DE⊥AB于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得DE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB＝AD＝5，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝5，∠ABD＝60°，
在△BCD中，BD＝5，CD＝13，BC＝12，
∵BD2+BC2＝52+122＝132＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝150°；
（2）过D作DE⊥AB于E，
∵AD＝BD，
∴AE＝BEAB，
∴DE，
∴四边形草地ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB DEBC BD512×5＝30，
答：四边形草地ABCD的面积为30．
【点评】本题考查了的等边三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
18．【答案】（1）答案见解析；
（2）40°．
【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论；
（2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE＝90°
∴∠BCD＝∠BDE．
∴；
（2）解：∵∠ADE＝160°
∴∠BDE＝20°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB＝∠AFE＝90°，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝70°，
∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用．
19．【答案】32°．
【分析】根据三角形外角的性质求出∠A的度数，再根据等边对等角求出∠ABC的度数，即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD，
∵∠BDC＝105°，∠ABD＝11°，
∴105°＝∠A+11°，
∴∠A＝94°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝43°﹣11°＝32°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等边对等角是解题的关键．
20．【答案】（1）1；
（2）在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45°．
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，依题意得△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，进而得△ACH为等腰直角三角形，则AH＝CH，然后根据点A（m，0），B（0，m），C（4，3），得OH＝4，CH＝3，AH＝4﹣m，由此得4﹣m＝3，由此解出m即可；
（2）依题意得点D（t，0），且点D在点A的右侧，点E在第一象限，过点E作EM⊥x轴于M，则OA＝OM＝m，OD＝t，AD＝t﹣m，证Rt△ODB和△MED全等得OB＝MD＝m，进而得AM＝AD+MD＝EM＝t，从而得△AME为等腰直角三角形，则∠EAD＝45°，据此可得出结论．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
∵A（m，0），B（0，m），其中m＞0．
∴OA＝OM＝m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH，
∵点C（4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴AH＝4﹣m，
∴4﹣m＝3，
解得：m＝1；
（2）∵点D为x轴正半轴上一个动点，OD＝t，点E（n，t），n＞t＞m，
∴点D（t，0），且点D在点A的右侧，点E在第一象限，
过点E作EM⊥x轴于M，如图2所示：
∵OA＝OM＝m，OD＝t，
∴AD＝OD﹣OA＝t﹣m，
∵点E（n，t），
∴EM＝t，
∴OD＝EM，
在Rt△ODB和△MED中，
，
∴Rt△ODB≌△MED（HL），
∴OB＝MD＝m，
∴AM＝AD+MD＝t﹣m+m＝t，
∴AM＝EM＝t，
∴△AME为等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°．
∴在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45°．
【点评】此题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握点的坐标，理解等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
21．【答案】（1）25°；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，
∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据角平分线的定义和垂直的定义解答．
22．【答案】（1）∠B的度数为30°；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC＝90°，从而可得∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，然后根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAC，
再根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，从而可得∠B＝∠BAD＝∠DAC＝30°，即可解答；
（2）在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝2DE，然后利用角平分线的性质可得DE＝DC，从而进行计算即可解答．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE是AB垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴∠B的度数为30°；
（2）证明：在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3DC．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论；
（2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质．
24．【答案】见解析．
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝30°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）∵CE∥DA，
∴∠BEC＝∠ADB＝60，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝BE＝CB，
∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，
∴BCBD，
∴CEBD，
∴E是BD的中点，
∴AE是边BD的中线，
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD．
【点评】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
25．【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题．
（2）只要证明△ABD≌△EBC得到AB＝BE即可证明△ABE是等边三角形．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴．
（2）△ABE是等边三角形，证明如下：
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
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