6．2.4 向量的数量积
第 1 课时 平面向量的数量积
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量．
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个________向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________________叫做向量a与b的夹角(a，b的夹角也记作〈a，b〉)．
(2)特殊情况：当θ＝0时，a与b________；当θ＝π时，a与b______；如果a与b的夹角为，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b，即a·b＝__________
规定 零向量与任一向量的数量积为____
|微|点|助|解|
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．
(4)|a|＝是求向量的长度的工具．
(5)区分0·a＝0与0·a＝0.
(6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件．
3．投影向量
(1)定义
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)公式
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是_________．
4．数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝________.
(2)a⊥b ________.
(3)当a与b同向时，a·b＝______；当a与b反向时，a·b＝________.特别地，a·a＝__________或|a|＝________.
(4)|a·b|≤________.
|微|点|助|解|
关于投影向量的注意点
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果．
1．(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是( )
A.与的夹角是钝角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A. B.
C．1＋ D．2
3．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
4．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是________．
题型(一) 向量的夹角
[例1] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
听课记录：
|思|维|建|模|
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[针对训练]
1．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点，求与的夹角．
题型(二) 向量的数量积
[例2] 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
听课记录：
|思|维|建|模|
向量数量积的求法
求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
[针对训练]
2．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
题型(三) 投影向量
[例3] 在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在上的投影向量；
(3)在上的投影向量．
听课记录：
|思|维|建|模|
投影向量的求法
(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ.
[针对训练]
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A．3 B.
C．2 D.
5．已知a·b＝16，若a在b上的投影向量为4b，则|b|＝________.
第1课时 平面向量的数量积
课前预知教材
1．(1)非零 ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) (2)同向 反向 2.|a||b|cos θ |a||b|cos θ 0
3．(2)|a|cos θ e 4.(1)|a|cos θ (2)a·b＝0
(3)|a||b| －|a||b| |a|2
(4)|a||b|
[基础落实训练]
1．AB
2．选A a·b＝|a||b|cos 60°＝.
3．选B 设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ＝＝＝－，所以θ＝.
4．解析：a在e上的投影向量是|a|cose＝4×e＝－2e.
答案：－2e
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：
如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形．
又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[针对训练]
1．解：如图，△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°.而AB＝，BC＝1，AC＝2，所以A＝30°，C＝60°.D是AC的中点，则AD＝DC＝BD，∠ADB＝120°，所以与的夹角为120°.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
[针对训练]
2．选D 由题意知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5×cos(180°－C)＋5×3×cos(180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
3．解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
答案：0 －16 －16
[题型(三)]
[例3] 解：(1)因为||＝5，||＝4，||＝3，所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，所以cos B＝＝，所以·＝||||(－cos B)＝5×4×＝－16.
(2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A＝＝，
所以在上的投影向量为||cos A·＝3××＝.
(3)由(1)知，cos B＝，所以在上的投影向量为||(－cos B)·＝5××＝－.
[针对训练]
4．选B 设a与b的夹角为θ，
∵|a|cos θ＝b，∴|a|cos θ＝，
即|a|cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
5．解析：设a，b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|·cos θ＝16.①
由a在b上的投影向量为|a|cos θ＝4b，
得|a|cos θ＝4|b|.②
由①②得|b|＝2.
答案：2(共54张PPT)
6.2.4
向量的数量积
第1课时 平面向量的数量积
(教学方式:深化学习课— 梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.向量的夹角
(1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则__________________叫做向量a与b的夹角(a,b的夹角也记作
).
(2)特殊情况:当θ=0时,a与b______;当θ=π时,a与b_____;如果a与b的夹角为,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
非零
∠AOB=θ(0≤θ≤π)
同向
反向
2.平面向量数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b,即a·b=____________
规定 零向量与任一向量的数量积为___
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
|微|点|助|解|
(1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量.
(4)|a|=是求向量的长度的工具.
(5)区分0·a=0与0·a=0.
(6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件.
3.投影向量
(1)定义
如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
(2)公式
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是__________.
4.数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=________.
(2)a⊥b ______.
|a|cos θ e
|a|cos θ
a·b=0
(3)当a与b同向时,a·b=_____;当a与b反向时,a·b=______.特别地,a·a=___或|a|=______.
(4)|a·b|≤______.
|a||b|
-|a||b|
|a|2
|a||b|
|微|点|助|解|
关于投影向量的注意点
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定义可知,投影是一个过程,而投影向量是一个结果.
基础落实训练
1.(多选)在锐角三角形ABC中,下列说法正确的是 ( )
A.与的夹角是钝角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
√
√
2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于 ( )
A. B.
C.1+ D.2
解析:a·b=|a||b|cos 60°=.
√
3.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
解析:设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ===-,所以θ=.
√
4.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e上的投影向量是 .
解析:a在e上的投影向量是|a|cose=4×e=-2e.
-2e
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 向量的夹角
[例1] 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少 a-b与a的夹角又是多少
解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°,
以,为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b.
因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形.
又∠AOB=60°,
所以与的夹角为30°,与的夹角为60°.
即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
|思|维|建|模|
1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,求与的夹角.
解:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°.
而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的中点,
则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的夹角为120°.
针对训练
题型(二) 向量的数量积
[例2] 已知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)·;
解:∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)·;
解:∵与的夹角为120°,
∴·=||||cos 120°=1×1×=-.
(3)·.
解:∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
向量数量积的求法
求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
|思|维|建|模|
2.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·
+·的值等于( )
A.-7 B.7 C.25 D.-25
解析:由题意知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3
×cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25.
√
针对训练
3.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=4,则·= ,·= ,
·= .
解析:由题意,得||=4,||=4,||=4,
所以·=4×4×cos 90°=0,·=4×4×cos 135°=-16,·=4×4×cos 135°=-16.
0
-16
-16
题型(三) 投影向量
[例3] 在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:
(1)·;
解:因为||=5,||=4,||=3,
所以+=,即AC⊥BC,
所以cos B==,所以·=||||·(-cos B)=5×4×=-16.
(2)在上的投影向量;
解:由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==,
所以在上的投影向量为||cos A·=3××=.
(3)在上的投影向量.
解:由(1)知,cos B=,所以在上的投影向量为||(-cos B)·=
5××=-.
投影向量的求法
(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ.
|思|维|建|模|
4.已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为( )
A.3 B. C.2 D.
解析:设a与b的夹角为θ,∵|a|cos θ=b,
∴|a|cos θ=,即|a|·cos θ=,∴a·b=|a||b|cos θ=3×=.
√
针对训练
5.已知a·b=16,若a在b上的投影向量为4b,则|b|= .
解析:设a,b的夹角为θ,
则a·b=|a||b|·cos θ=16.①
由a在b上的投影向量为|a|cos θ=4b,
得|a|cos θ=4|b|.②
由①②得|b|=2.
2
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——达标评价
1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于( )
A.-3 B.-6
C.6 D.2
解析:因为|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,所以a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知向量a和b的夹角为120°,若|a|=3,a·b=-3,则|b|= ( )
A.1 B.
C. D.2
解析:由题可得a·b=|a||b|cos 120°=3×|b|×=-|b|=-3,所以|b|=2.
√
1
5
6
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9
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11
12
13
14
3
4
2
3.如图,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时,力F做的功为 ( )
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
解析:由题意,根据向量的数量积的定义,可得力F做的功W= F ·s=
10×10cos 60°=50(J),故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若平面向量a,b平行,则向量a,b方向相同或相反,所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|;若a·b=|a||b|,则cos=1,即向量a,b方向相同,以及向量a,b平行.综上,“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的必要不充分条件.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量是b,则a与b夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
3
4
2
解析:由向量a在向量b上的投影向量为b,所以·=
·=b.又因为|a|=2|b|,所以cos=,故C正确.
1
5
6
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9
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12
13
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3
4
2
6.已知在 ABCD中,∠DAB=60°,则与的夹角为 .
解析:如图,与的夹角为∠ABC=120°.
120°
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14
3
4
2
7.已知|a|=6,向量e为单位向量,=,则向量a在向量e上的投影向量为 .
解析:因为|a|=6,向量e为单位向量,=,所以向量a在向量e上的投影向量为·=(a·e)e=|a||e|cos·e=6×·e=3e.
3e
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
3
4
2
8.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|= .
解析:∵cos θ===-,∴sin θ=.
∴|a×b|=2×5×=8.
8
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
3
4
2
9.(10分)已知|a|=5,|b|=4,
(1)若a与b的夹角为θ=120°.
①求a·b;②求a在b上的投影向量;
解:(1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10.
②a在b上的投影向量为|a|·cos θ=5××=-b.
1
5
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3
4
2
(2)若a∥b,求a·b.
解:∵a∥b,∴a与b的夹角为θ=0°或θ=180°.
当θ=0°时,a·b=|a||b|cos 0°=20.
当θ=180°时,a·b=|a||b|cos 180°=-20.
1
5
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14
3
4
2
10.(15分)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8.
(1)判断△ABC的形状;
解:·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
(2)求·.
解:由(1)得与的夹角为120°,所以·=||||cos 120°=4×4
×=-8.
1
5
6
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11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析:由·=0,知AB⊥BC.由=,知BC AD,所以四边形ABCD是矩形.
16
√
1
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
3
4
2
12.已知平面向量a满足a·e=3,其中e是单位向量,则|a|的取值范围为 ( )
A.(0,3) B.(0,3]
C.[3,+∞) D.(3,+∞)
解析:∵a·e=|a||e|cos=3>0,∴cos∈(0,1].
∴|a|==≥3.故|a|的取值范围为[3,+∞).故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.如图,在平面图形ACBD中,=2,||=6.若·=27,·=24,则||= ( )
A. B.3
C.9 D.13
√
1
5
6
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11
12
13
14
3
4
2
解析:由题意易知△ADE∽△CBE,则=,=.
过E作EF⊥AD于F,
则·=3·=27,即·=9=||||,
·=2·3=24,即·=4=||||,所以=.不妨设||=4x,则||=9x,则||=13x,所以9x·13x=9,解得x2=.所以||==3,故||=9.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(17分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;
1
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
3
4
2
解:由已知可得=,
四边形OAMB是菱形,则=+,
所以=-=-(+)=--.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求·的取值范围.
解:易知∠DMC=60°,且||=||,
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=,
则·=××cos 60°=.
1
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
3
4
2
当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,
则·=cos 60°=.
所以·的取值范围为.课时跟踪检测(六) 平面向量的数量积
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3 B．－6
C．6 D．2
2．已知向量a和b的夹角为120°，若|a|＝3，a·b＝－3，则|b|＝( )
A．1 B.
C. D．2
3.如图，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
4．“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，向量a在向量b上的投影向量是b，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
6．已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为________.
7．已知|a|＝6，向量e为单位向量，?a，e?＝，则向量a在向量e上的投影向量为________.
8．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝________.
9．(10分)已知|a|＝5，|b|＝4，
(1)若a与b的夹角为θ＝120°.
①求a·b；②求a在b上的投影向量；
(2)若a∥b，求a·b.
10．(15分)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求·.
B级——重点培优
11．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
12．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
13.如图，在平面图形ACBD中，＝2，||＝6.若·＝27，·＝24，则||＝( )
A. B．3
C．9 D．13
14．(17分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围.
课时跟踪检测(六)
1．选B 因为|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，所以a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.故选B.
2．选D 由题可得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×|b|×＝－|b|＝－3，所以|b|＝2.
3．选B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)，故选B.
4．选B 若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|；若a·b＝|a||b|，则cos?a，b?＝1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行．综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的必要不充分条件．故选B.
5．选C 由向量a在向量b上的投影向量为b，所以·＝·＝b.又因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝，故C正确．
6．解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°.
答案：120°
7．解析：因为|a|＝6，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，所以向量a在向量e上的投影向量为·＝(a·e)e＝|a||e|cos·e＝6×·e＝3e.
答案：3e
8．解析：∵cos θ＝＝＝－，
∴sin θ＝.
∴|a×b|＝2×5×＝8.
答案：8
9．解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
②a在b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b.
(2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或θ＝180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
10．解：(1)·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，又0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
(2)由(1)得与的夹角为120°，所以·＝||||cos 120°＝4×4×＝－8.
11．选C 由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形．
12．选C ∵a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝3>0，∴cos〈a，e〉∈(0,1]．∴|a|＝＝≥3.故|a|的取值范围为[3，＋∞)．故选C.
13．选C 由题意易知△ADE∽△CBE，则＝，＝.
过E作EF⊥AD于F，
则·＝3·＝27，即·＝9＝||||，
·＝2·3＝24，即·＝4＝||||，所以＝.不妨设||＝4x，则||＝9x，则||＝13x，所以9x·13x＝9，解得x2＝.所以||＝＝3，故||＝9.
14．解：(1)由已知可得＝，
四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，
则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.