1.2 直角三角形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 直角三角形
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC、AB交于点D、点E．下列结论：①∠3+∠B＝90°；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝∠2；④DF∥AB．其中一定正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
3．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC＝1，AC＝2，AB B．BC：AC：AB＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
5．满足下列条件的三角形中，不能判断三角形为直角三角形的是（　　）
A．三角形三边长为7，24，25
B．三角形的三内角度数之比为3：4：5
C．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C
D．三角形的三边之比为1：：
6．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
9．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B．2，3，4 C．7，24，25 D．9，37，38
10．若a、b、c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝1， B．a＝3，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝7，c＝8 D．a＝9，b＝40，c＝41
二．填空题（共6小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，则PA的长度为 　 　．
12．如图所示．数轴上点O、A、B分别对应数字0、2、3，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧．交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴正半轴于点M．则点M所对应的数为 　 　．
13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．
14．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为 　 　．
15．在平面直角坐标系中，若点M（x，4）到原点的距离是5，则x的值是　 　．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB＝　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D．
（1）若∠B＝30°，AB＝2，求BD的长；
（2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积；
（3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积．
18．如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，AC处修一条小路．已知AB＝10米，BC＝CD＝20米，AD＝30米，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，请判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　 　；
（2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长；
（3）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AB边上的一点，CD＝3，，BD＝1．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
22．如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC＝AB，BC＝3，D是线段AB上一点，满足BD＝1.8，连接CD，CD＝2.4．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长度．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，作 BD⊥AC，∠BDF＝∠BAF＝∠C，BD＝3，CD＝1．
（1）求证：∠CBD＝∠EDA；
（2）求AB的长．
24．（1）如图1，在△ABC中，AC＝13，AD＝5，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，在△EFG中，EF＝13，EG＝20，FG＝11，求△EFG的面积．
25．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（）2+1＝2，S1；（）2+1＝3，S2；（）2+1＝4，S3；…
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10和S10的值；
（2）求出的值．
1.2 直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】由折叠的性质得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，由直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，推出∠3+∠B＝90°，由△ABC是等腰直角三角形，得到∠A＝45°，由三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED＝180°﹣45°＝135°，得到∠EDF+∠DEF＝135°，于是得到∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED＝135°×2＝270°，因此∠1+∠2＝360°﹣（∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED）＝90°，由条件得不到∠1＝∠2，DF∥AB．
【解答】解：由折叠的性质得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠3+∠B＝90°，
故①符合题意；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDF+∠DEF＝∠ADE+∠AED＝135°，
∴∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED＝135°×2＝270°，
∵∠1＝180°﹣（∠ADE+∠EDF），∠2＝180°﹣（∠AED+∠DEF），
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED）＝90°，
故②符合题意；
由条件只能推出∠1+∠2＝90°，得不到∠1＝∠2，
故③不符合题意；
当∠1＝∠A＝45°时，DF∥AB，
但由条件求不出∠1＝45°，不能判定DF∥AB，
故④不符合题意，
∴其中一定正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的判定，关键是由折叠的性质得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF．
2．【答案】B
【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
，
∴表示应为线段OB．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求线段的长是解题关键．
3．【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
【解答】解：A、当BC＝1，AC＝2，AB时，满足BC2+AB2＝1+3＝4＝AC2，所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB＝3：4：5时，设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，满足BC2+AC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B＝∠C时，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x＝180，解得x＝15°，所以∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，所以△ABC为锐角三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形．
4．【答案】A
【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ababc2（a+b）（a+b），
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
∴b2+a2+2ab＝c2+2ab，
整理得a2+b2＝c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
5．【答案】B
【分析】利用三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐个判断得结论．
【解答】解：A．∵72+242＝49+576＝625＝252，根据勾股定理的逆定理，
可判断该三角形为直角三角形；
B．∵三个角的度数比为3：4：5，所以这个三角形三个角的度数为：45°、60°、75°，
∴该三角形不是直角三角形；
C．∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，该三角形为直角三角形；
D．∵三角形三边的比为1：：，则三角形的三边长分别为a、a、a，
由于a2+（a）2＝3a2＝（a）2，
∴该三角形为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判断，掌握三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点是解决本题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【解答】解：A、22+32＝14，42＝16，
∵14≠16，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B、32+42＝25，52＝25，
∵25＝25，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长；
C、42+52＝41，62＝36，
∵41≠36，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长；
D、52+62＝61，72＝49，
∵61≠49，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
7．【答案】A
【分析】根据勾股定理，可求得AB的长度，进而可求得AC的长度，结合点A的坐标，可求得点C的坐标．
【解答】解：根据题意，可知，AC＝AB，
∴．
又点A的坐标为（﹣2，0），
∴点C的坐标为．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键．
8．【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积BC CAAB CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4，
∴BD1.8，
∵E是AB的中点，
∴BEAB＝2.5，
∴DE＝BE﹣BD＝0.7．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长．
9．【答案】C
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，由此解答即可．
【解答】解：A、，，∴，∴这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、72+242＝49+576＝625，252＝625，∴72+242＝252，∴这三条线段长能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+372＝81+1369＝1450，382＝1444，∴92+372≠382，∴这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．
10．【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝42+72＝65，c2＝82＝64，
∴a2+b2≠c2，
∴不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2+b2＝92+402＝1681，c2＝412＝1681，
∴a2+b2＝c2，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】．
【分析】连接PB，然后根据线段垂直平分线的性质，可以得到PC＝PB，根据勾股定理可以求得AC的长，再设AP＝x，则可以用含x的代数式表示出PB，最后根据勾股定理即可计算出AP的长．
【解答】解：连接PB，如图，
∵PQ垂直平分BC，
∴PC＝PB，
∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC4，
设PA＝x，则PC＝4﹣x，
∴PB＝4﹣x，
∵∠PAB＝90°，
∴AP2+AB2＝PB2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
解得x，
即PA，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．【答案】．
【分析】先确定BC的长，在根据勾股定理求出OC，从而可以确定点M表示的数．
【解答】解：由题意，得BC＝AB＝1，
在Rt△OCB中，
∵OB＝3，BC＝1，
∴OC，
∴OM，
即点M对应的数是，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，实数于数轴一一对应关系，解题中涉及基本作图，解题的关键是弄清作图步骤中反映出线段间的关系，从而确定线段的长．
13．【答案】20．
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．【答案】4．
【分析】根据勾股定理求得直角三角形较长的直角边，两直角边的长的差即为小正方形的边长，从而可得答案．
【解答】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴较长直角边长为8，
∴小正方形的边长为8﹣6＝2，面积为2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
15．【答案】±3．
【分析】直接利用勾股定理列出方程并解答．
【解答】解：由题意知，5．
解得x＝±3．
故答案为：±3．
【点评】本题主要考查了勾股定理和两点间的距离公式，属于基础题．
16．【答案】22.5°或45°或67.5°或90°．
【分析】根据题意，画出图形，利用分类讨论的数学思想即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
当等腰△ABP以A为顶点时，
若点P在点A上方，
因为AP1＝AB，∠CAB＝45°，
所以∠AP1B＝22.5°．
若点P在点A下方，
因为AP2＝AB，∠CAB＝45°，
所以∠．
当等腰△ABP以B为顶点时，
因为BA＝BP3，∠CAB＝45°，
所以∠AP3B＝∠CAB＝45°．
当等腰△ABP以P为顶点时，
则点P4在AB的垂直平分线上，
所以点P4与点C重合，
故∠AP4B＝90°．
综上所述，∠APB的度数为22.5°或45°或67.5°或90°．
故答案为：22.5°或45°或67.5°或90°．
【点评】本题考查直角三角形的性质及等腰三角形的判定，对等腰△ABP的顶点进行正确的分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）4；
（2）；
（3）3．
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得ADBD，再由勾股定理求出BD的长即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，由含30°角的直角三角形的性质得AE，再由勾股定理得BE＝3，然后证△AEC是等腰直角三角形，得CE＝AE，即可解决问题；
（3）过点A作AE⊥BC于点E，设BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△AEB和Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，求出x，则AE，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴ADBD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
即（2）2+（BD）2＝BD2，
解得：BD＝4（负值已舍去）；
（2）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AEAB2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE3，
∵∠C＝45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴S△ABCAE BC（3）；
（3）如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB＝∠AEC＝90°，
设BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2＝42﹣（8﹣x）2，
∴62﹣x2＝42﹣（8﹣x）2，
解得：x，
∴AE2＝62﹣（）2，
解得：AE（负值已舍去），
∴S△ABCAE BC8＝3．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．【答案】四边形ABCD的面积为（100+100）平方米．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝10米，BC＝20米，
∴AC10（米），
∵CD＝20米，AD＝30米，
∴AC2+CD2＝（10）2+202＝900，AD2＝302＝900，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
AB BCAC CD
10×201020
＝（100+100）平方米，
∴四边形ABCD的面积为（100+100）平方米．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．【答案】△ABC是直角三角形，理由见解答．
【分析】根据网格可得AB2+BC2＝AC2，∠BAC＝90°，所以可得△ABC是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，
∴AB2+BC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．【答案】（1）2；
（2）cm；
（3）t＝4或t．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC，再求出BP，最后根据时间＝路程÷速度，即可求解；
（2）连接AP，根据BP＝AP＝2t cm，BC＝8cm，得出PC＝（8﹣2t）cm，根据勾股定理可得PC2+AC2＝AP2，列出方程，求出t的值，即可得出BP；
（3）根据题意进行分类讨论：①当∠APB＝90° 时，②当∠BAP＝90° 时，即可解答．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴根据勾股定理可得：BC8（cm），
当点P运动到BC的中点时，BPBC＝4cm，
∴t＝4÷2＝2（s），
故答案为：2；
（2）当点P到达点C时，t＝8÷2＝4（s），
∴4秒内，点P在线段BC上，连接AP，如图1，
∵BP＝AP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（8﹣2t）cm，
根据勾股定理可得：PC2+AC2＝AP2，即（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
解得：t，
∴BP＝2（cm）；
（3）①当∠APB＝90° 时，点P和点C重合，t＝8÷2＝4（s）；
②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC延长线上，如图2，
∵BP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（2t﹣8）cm，
在Rt△ACP中，根据勾股定理可得：AP2＝AC2+PC2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣102，
362+（2t﹣8）2＝（2t）2﹣102，
解得：t，
综上：t＝4或t．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形．
21．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可以判断△BCD的形状，从而可以证明结论成立；
（2）根据勾股定理求出AB的长，然后即可求得△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵CD＝3，，BD＝1，
∴CD2+BD2＝32+12＝10＝BC2，
∴△BCD是直角三角形；
（2）解：由（1）知，△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AC＝x，则AD＝x﹣1，
∵CD2+AD2＝AC2，
∴3+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝AC＝5，
∴△ABC的面积是．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2.5．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证CD⊥AB；
（2）根据勾股定理可得AD2+CD2＝AC2，即AD2+2.42＝（AD+1.8）2，解方程求出AD，进而得到AC．
【解答】（1）证明：在△BDC中，BC＝3，BD＝1.8，CD＝2.4，
∵BD2+CD2＝1.82+2.42＝32＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
即AD2+2.42＝AC2，
∵AC＝AB＝AD+BD＝AD+1.8，
∴AD2+2.42＝（AD+1.8）2，
解得AD＝0.7，
∴AC＝1.8+0.7＝2.5．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形．
23．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5．
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）设AD＝x，则AC＝AD+CD＝AB＝x+1，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠C+∠CBD＝∠EDA+∠BDF，
∵∠BDF＝∠C，
∴∠CBD＝∠EDA；
（2）解：设AD＝x，则AC＝AD+CD＝AB＝x+1，
∵BD＝3，
∴x2+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴AB＝x+1＝5．
【点评】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理．
24．【答案】（1）126；（2）66．
【分析】（1）根据勾股定理求出CD2+AD2＝169，AC2＝169，求出CD2+AD2＝AC2，根据勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，根据勾股定理求出BD，求出AB，再求出△ABC的面积即可；
（2）过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M．设FM＝x，则GM＝11+x，根据勾股定理得出EM2＝EF2﹣FM2＝EG2﹣GM2，代入求出x，再求出EM，最后求出△EFG的面积即可．
【解答】解：（1）∵AC＝13，AD＝5，CD＝12，
∴CD2+AD2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
由勾股定理得，
∴AB＝AD+BD＝5+16＝21，
∴．
（2）如图，过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M．设FM＝x，则GM＝11+x，
∵在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理得EM2＝EF2﹣FM2，EM2＝EG2﹣GM2，
∴EF2﹣FM2＝EG2﹣GM2，
∴132﹣x2＝202﹣（11+x）2，
解得x＝5，即FM＝5，
∴，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
25．【答案】（1）OA10，S10；
（2）．
【分析】（1）根据定理求出OA1、OA2、OA3、OA4、OA5…OAn的值，得出规律，进一步得出面积的变化规律；
（2）根据（1）的规律推理计算即可．
【解答】解：（1）根据勾股定理，OA2，OA3，
OA4＝2，…，OA10，OAn．
S1；S2；S3；…；S10；Sn；
（2）
．
【点评】此题考查勾股定理，实数的运算，规律型：图形的变化，首先进行具体数的计算，根据数字找出规律，得出一般性规律．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)