1.4 角平分线（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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1.4 角平分线
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD
C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF
2．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（　　）
A．3.5 B．7 C．14 D．28
4．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm，三条角平分线的交点为O，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝（　　）
A．2：3：4 B．3：4：5 C．1：2：3 D．5：12：13
5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
6．△ABC中，AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，F为线段AC上一点，且∠DFA＝α°（α≠90°），则（　　）
A．DE＜DF B．DE＞DF
C．DE＝DF D．以上都有可能
7．如图，点E是△ABC内一点，BE平分∠ABC，过点E作ED⊥BC于D，连EA．若ED＝5，AB＝10，则△AEB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．25 D．15
8．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．4
9．如图，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝4，则EF等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE＝（　　）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 　 　．
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝12，AC＝18，BD＝9，则CD的长是 　 　．
13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　 　cm2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　 　．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是 　 　．
16．在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC延长线上一点，FG⊥AE交AD延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE＝∠F；
②∠AGH＝∠BAE+∠ACB；
③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；
④∠ABC+∠ACB＝∠EAH+∠AHG．
其中正确的结论有 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，作PD⊥AB于点D，连接BP．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）已知△ABC的面积为15，AB＝4，AC＝4，BC＝2，求PD的长．
（3）若AB＝7，BC＝5，AC＝8时，求BD的长．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
19．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请你判断AD与EF关系，并说明理由；
（2）若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长．
20．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，AB＝6，BC＝10，求△ABC的面积．
21．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
22．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E．
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积．
23．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
24．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D点．
（1）求证：∠ADE＝∠AED；
（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．
25．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
1.4 角平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】根据中线的定义得到BF＝CF，则可对A选项进行判断；根据三角形高的定义和等角的余角相等可对B选项进行判断；根据角平分线的定义可对C选项进行判断；根据三角形的面积公式可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AF为斜边BC的中线，
∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意；
∵AD为斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的平分线、中线和高线．
2．【答案】D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝2，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
∵AB＝7，
∴△ABD的面积是：7，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE＝CD是解此题的关键．
4．【答案】A
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OK⊥AC于K，由角平分线的性质推出OM＝ON＝OK，由三角形面积公式得到△AOB的面积AB OM，△BOC的面积BC ON，△AOC的面积AC OK，于是得到S△AOB：S△BOC：S△COA＝AB：BC：AC＝10：15：20＝2：3：4．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OK⊥AC于K，
∵△ABC的三条角平分线的交点为O，
∴OM＝ON＝OK，
∴△AOB的面积AB OM，△BOC的面积BC ON，△AOC的面积AC OK，
∵AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm，
∴S△AOB：S△BOC：S△COA＝AB：BC：AC＝10：15：20＝2：3：4．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到OM＝ON＝OK．
5．【答案】B
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质得到点D到AC的距离等于DE的长，然后根据垂线段最短对各选项进行判断．
【解答】解：∵AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，
∴点D到AB、AC的距离相等，
而DE⊥AB，
∴点D到AC的距离等于DE的长，
∵∠DFA＝α°（α≠90°），
∴DF＞DE．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
7．【答案】C
【分析】过E作EH⊥AB于H，由角平分线的性质得到EH＝ED＝5，而AB＝10，由三角形面积公式即可求出△AEB的面积．
【解答】解：过E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，
∴EH＝ED＝5，
∵AB＝10，
∴△AEB的面积AB EH10×5＝25．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到EH＝ED＝5，
8．【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理可得答案．
【解答】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
9．【答案】D
【分析】过E点作ED⊥OA于D点，如图，先根据角平分线的性质得到ED＝EC＝4，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：过E点作ED⊥OA于D点，如图，
∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OA，EC⊥OB，
∴ED＝EC＝4，
在Rt△DEF中，
∵∠DFE＝30°，
∴EF＝2ED＝2×4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．【答案】B
【分析】过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，
∴15cm2，
∴9DE+6DE＝30，
解得：DE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE＝DF是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】3．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据三角形面积公式求出DE的长，再根据角平分线的性质即可得出结果．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝10，△ADB的面积是15，
∴，
∴DE＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD＝DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟记角平分线的性质是解题的关键．
12．【答案】．
【分析】先根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，则利用三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，S△ABD：S△ACD＝BD：CD，所以BD：CD＝AB：AC，然后利用比例的性质求出CD即可．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
∴BD：CD＝AB：AC，
即9：CD＝12：18，
解得CD，
即CD的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．【答案】7．
【分析】根据角平分线性质求出DE＝DF＝2cm，根据三角形面积公式得出方程AB×28×2＝18，求出即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2cm，
∴DF＝DE＝2cm，
∴△ABC面积＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC4×23×2＝7（cm2），
故答案为：7．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和得出关于AB的方程．
14．【答案】3．
【分析】过点D作DP⊥AB于P，根据角平分线的性质求出PD，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于P，
∵AD平分∠BAC，DP⊥AB，∠C＝90°，CD＝3，
∴PD＝CD＝3，
由垂线段最短可知：PD的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADBAB×DE5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．【答案】①②③．
【分析】如图，AE交GF于M，①根据垂直的定义得到∠ADE＝∠AMF＝90°，等量代换得到∠DAE＝∠F；故①正确；②根据∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，得到∠AGH＝∠MEF，求得∠AGH＝∠CAE+∠ACB，于是得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故②正确；③根据角平分线的性质得到点E到AB和AC的距离相等，根据三角形的面积公式得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，根据垂直的定义得到∠AMH＝90°，求得∠EAH+∠AHG＝90°，由于∠BAC不一定是直角，得到∠ABC+∠ACB不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠ACB不一定等于∠EAH+∠AHG，故④错误．
【解答】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，
④∵FG⊥AE，
∴∠AMH＝90°，
∴∠EAH+∠AHG＝90°，
∵∠BAC不一定是直角，
∴∠ABC+∠ACB不一定等于90°，
∴∠ABC+∠ACB不一定等于∠EAH+∠AHG，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）3；
（3）2．
【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质得到PD＝PF，PE＝PF，等量代换得到PD＝PE，再利用角平分线的判定得到结论；
（2）根据PD＝PE＝PF，利用S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到方程，解之即可；
（3）证明△PBE≌△PBD（AAS），得到BE＝BD，同理得到CE＝CF，AD＝AF，设BD＝BE＝x，分别表示出CF和AF，根据AC＝8，得到方程，解之即可．
【解答】（1）证明：如图，过P作PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，PD⊥AB，
∴PD＝PF，PE＝PF，
∴PD＝PE，
∴BP平分∠ABC；
（2）解：由（1）可得：PD＝PE＝PF，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝5PD
＝15，
∴PD＝3；
（3）解：∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠PBA，
在△PBE和△PBD中，
，
∴△PBE≌△PBD（AAS），
∴BE＝BD，
同理可得：CE＝CF，AD＝AF，
设BD＝BE＝x，则AD＝AF＝AB﹣BD＝7﹣x，CE＝CF＝BC﹣BE＝5﹣x，
∴CF+AF＝7﹣x+5﹣x＝AC＝8，
解得：x＝2，即BD＝2．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用角平分线的性质定理．
18．【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论；
（2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB EF可得出答案．
【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40，
即CA为∠DAF的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：设EG＝x，
由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴AD EGCD EH＝15，
即：4x+8x＝30，
解得：x＝2.5，
∴EF＝x＝2.5，
∴S△ABEAB EF7×2.5．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．
19．【答案】（1）AD垂直平分EF；
（2）DE＝6．
【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再由Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
AB EDDE（AB+AC）
＝60，
∵AB＝12，AC＝8，
∴DE＝6．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
20．【答案】24．
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BDC6×310×3＝24，
故△ABC的面积为：24．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列方程计算即可得解．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB×DEAC×DF，
∴S△ABC（AB+AC）×DE，
即（16+12）×DE＝28，
解得DE＝2（cm）．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
22．【答案】（1）125°；
（2）18．
【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴，
∵∠ABC＝40°，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵∠ACB＝70°，
∴，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝9，
∴．
【点评】本题考查了角平分线，三角形内角和定理以及三角形面积，掌握这些知识点是解题的关键．
23．【答案】2cm．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴20 DE8 DF＝28，
解得：DE＝DF＝2，
则DE的长为2cm．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ABE的面积为6．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠DAB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠ABD＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，再利用角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABD，从而可得∠D＝∠CEB，最后利用对顶角相等可得∠CEB＝∠AED，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，利用角平分线的性质可得EC＝EF＝2，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠D＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝EF＝2，
∵AB＝6，
∴△ABE的面积AB EF6×2＝6，
∴△ABE的面积为6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可证明结论．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
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