2.1 不等关系（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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2.1 不等关系
一．选择题（共10小题）
1．某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（　　）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
2．若x+y□5是不等式，则符号“□”不能是（　　）
A．﹣ B．≠ C．＞ D．≤
3．给出下列数学式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2＞y﹣7．其中不等式的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
4．x是不大于5的数，则下列表示正确的是（　　）
A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5
5．在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2＜﹣5；④x+y＝3；⑤0，其中是不等式的是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．②③⑤
6．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日20：55顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨）
A．a≈6 B．a＞6 C．a＜7 D．6＜a＜7
7．据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t≥17 B．t≤25 C．17≤t≤25 D．17＜t＜25
8．已知药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（　　）
A．0℃～2℃ B．0℃～7℃ C．2℃～5℃ D．5℃～7℃
9．小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（　　）
A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80
10．若a〇2是不等式，则符号“〇”不能是（　　）
A．﹣ B．≠ C．＞ D．≤
二．填空题（共6小题）
11．下列说法：①x＝8是不等式x﹣6＞1的解集；②x＜3是2x﹣5＜1的解集；③因为小于10的每一个数都是不等式的解，所以这个不等式的解集是x＜10；④x≤﹣2是不等式2x+4≤x+2的解集．其中正确的是　 　.（填序号）
12．某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是 　 　mg．
13．用“＞”或“＜”表示大小关系的式子叫做 　 　.用“≠”表示不等关系的式子也叫做不等式．
14．x2是非负数表示为：　 　．（用适当的符号表示）
15．盐湖区今天的最高气温是13℃，最低气温是2℃，当天盐湖区气温t（℃）的变化范围用不等式表示为 　 　．
16．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为a mg，则a的取值的范围为　 　．
三．解答题（共4小题）
17．某弹簧测力计的测量范围是0至50N，小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，你知道这个物体的重力在什么范围吗？
18．已知不等式3x+5＞2（x+2），请你写出一个不等式，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为﹣1＜x＜1．
19．在公路上，同学们常看到如图所示的不同的交通标志图形，它们有着不同的意义．如果设汽车载重为x，速度为y，宽度为l，高度为h，请你用不等式表示图中各种标志的意义．
20．（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|＜2”可理解为 　 　；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为 　 　和 　 　．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3．
则：①不等式|x|≥4的解集是 　 　．
②不等式|x|＜2的解集是 　 　．
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并画图说明．
2.1 不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
【解答】解：根据≥的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
2．【答案】A
【分析】根据不等式的定义进行分析判断即可．
【解答】解：∵x+y≠5，x+y＞5，x+y≤5都是不等式，
∴选项B，C，D都不符合题意；
∵x+y﹣5不是不等式，
∴选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像a+2≠a﹣2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
3．【答案】C
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
4．【答案】D
【分析】本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据已知列出不等式即可．
【解答】解：∵x是不大于5的数，
∴x≤5．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键．
5．【答案】A
【分析】依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②③⑤为不等式，共有4个．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
6．【答案】D
【分析】根据“6吨多”得到x的取值范围即可．
【解答】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到6＜x＜7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
7．【答案】C
【分析】根据2021年6月某日我区最高气温25℃和最低气温17℃得出答案即可．
【解答】解：∵2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是17≤t≤25，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的定义，注意：t的范围包括17℃和25℃．
8．【答案】C
【分析】需要将A，B两种药品放在一起保存，保存温度正好是A药品保存温度的最低度数和B药品保存温度的最高度数．
【解答】解：∵药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，
∴将A，B两种药品放在一起保存，保存温度要求为2℃～5℃．
故选：C．
【点评】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A药品保存温度和B药品保存温度的要求．
9．【答案】B
【分析】直接根据题意可得50≤x＜80．
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的定义，正确得出不等关系是解题关键．
10．【答案】A
【分析】根据不等式的定义进行分析判断即可．
【解答】解：∵a≠2，a＞2，a≤2都是不等式，
∴选项B，C，D都不符合题意；
∵a﹣2不是不等式，
∴选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像a+2≠a﹣2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】②④．
【分析】首先根据一元一次不等式的解法分别求出各个不等式的解集；接下来根据不等式的解及解集的概念进行判断即可．
【解答】解：①不等式x﹣6＞1，
移项，得x＞7，
所以x﹣6＞1的解集是x＞7，而x＝8是x﹣6＞1的一个解；
故①错误；
②不等式2x﹣5＜1，
移项，得2x＜6，
两边同时除以2，得x＜3，
所以x＜3是2x﹣5＜1的解集；
故②正确；
③不等式，
两边同时加1，得，
两边同时乘以2，得x＜14，
所以的解集为x＜14；
故③错误；
④不等式2x+4≤x+2，
两边同时加﹣x﹣4，得x≤﹣2，
所以2x+4≤x+2的解集为x≤﹣2；
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质．
12．【答案】20～60．
【分析】首先设一次服用这种药物的剂量为x mg，根据60mg≤2次服用的剂量≤120mg，可得60≤2x≤120；根据60mg≤3次服用的剂量≤120mg，可得60≤3x≤120，即可得到x的取值范围了．
【解答】解：设一次服用这种药物的剂量为x mg，由题意得：
60≤2x≤120或60≤3x≤120，
解得30≤x≤60或20≤x≤40，
∴20≤x≤60．
即一次服用这种药的剂量所在的范围是20～60mg．
故答案为：20～60．
【点评】本题主要考查了不等式的相关知识，解题的关键是找出题中的不等关系．
13．【答案】不等式．
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：用符号“＜”“＞”“≥”“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式．
故答案为：不等式．
【点评】此题考查的是不等式，（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式；（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】所谓非负数就是大于或者等于0的数．
【解答】解：x2是非负数，即它大于或等于0，用符号表示为：x2≥0．
故答案为：x2≥0．
【点评】主要考查不等式的定义及其表达方式．
15．【答案】2≤t≤13．
【分析】根据题意列出不等式组即可．
【解答】解：根据题意知：盐湖区今天的最高气温是13℃，最低气温是2℃，
∴当天盐湖区气温t（℃）的变化范围为：2≤t≤13，
故答案为：2≤t≤13．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
16．【答案】30≤a≤60．
【分析】一次服用剂量a，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．
【解答】解：由题意，当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为30mg；
当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为60mg；
故一次服用这种药品的剂量范围是30mg～60mg．
故答案为：30≤a≤60．
【点评】本题考查了有理数的除法．由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
三．解答题（共4小题）
17．【答案】大于50N．
【分析】根据已知得出弹簧测力计的测量范围是0至50N，再根据已知用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状得出答案即可．
【解答】解：∵弹簧测力计的测量范围是0至50N，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，
∴这个物体的重力大于50N．
【点评】本题考查了不等式的定义，能根据题意得出不等式是解此题的关键．
18．【答案】答案不唯一，如：．
【分析】先解出给出的不等式，再结合给出的不等式组的解集，即可确定需要添加的不等式，从而得到所求的不等式组．
【解答】解：先解出3x+5＞2（x+2）的解集为x＞﹣1，由于不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以再添加一个解集为x＜1的不等式即可，答案不唯一，如：．
【点评】本题为开放性试题，考查的是不等式的解集，注意答案的多样性．
19．【答案】x≤5.5，y≤30，h≤3.5，l≤2．
【分析】此题抓住关键词为：限重，限速，限宽，限高来解答即可．
【解答】解：由题意可知，限重、限宽、限高、限速中的“限”字的意义就是不超过，也就是“≤”的意义，
即：x≤5.5 t，y≤30 km/h，h≤3.5 m，l≤2 m．
故答案为：x≤5.5，y≤30，h≤3.5，l≤2．
【点评】本题考查数学不等式在实际生活中的应用．解题的关键是抓住“限”字来确定不等号．
20．【答案】（1）①数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②3，﹣3；
（2）①x≥4或x≤﹣4；
②﹣4＜x＜4；
（3）x＜﹣1或x＞3．图见解析．
【分析】（1）①由题可知|a|＜2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式|a|＞2成立的整数a有3，﹣3；
（2）①根据题意可求|x|≥4的解集为x≥4或x≤﹣4；
②根据题意可求|x|＜2的解集为﹣4＜x＜4；
（3）根据绝对值的几何意义可得答案．
【解答】解：（1）①由题意可知|a|＜2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式|a|＞2成立的整数a有3，﹣3，
故答案为：3，﹣3；
（2）①根据题意可求x≥4或x≤﹣4，
∴x≥4或x≤﹣4，
故答案为：x≥4或x≤﹣4；
②根据题意可求|x|＜2的解集为﹣4＜x＜4，
故答案为﹣4＜x＜4；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集就是数轴上表示数x的点，到表示﹣1与3的点的距离之和大于4的所有x的值，
如图可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查不等式的定义及数轴，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
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