2.2 不等式的基本性质（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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2.2 不等式的基本性质
一．选择题（共10小题）
1．若m＞n，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．﹣3m＜﹣3n C．m﹣3＜n﹣3 D．m﹣n＜0
2．已知a＜b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＜bc C． D．3﹣2a＜3﹣2b
3．如果a＞b，那么下列不等式的变形中，正确的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．a﹣b＜0 D．﹣a＜﹣b
4．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x+5＜y+5 B．2x＞2y C． D．﹣2x＜﹣2y
5．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．1﹣5a＜1﹣5b D．
6．若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0
7．下列判断正确的是（　　）
A．若x为有理数，则5x2＜﹣7x2
B．若x为有理数，则5+x2＞0
C．若m＜0，则7m＞5m
D．若﹣5m＜7m，则m＜0
8．如果a＜b，那么下列各式中正确的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B． C．﹣a＜﹣b D．﹣a+5＜﹣b+5
9．若a＞b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．a﹣1b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
10．已知a＜b，下列不等式变形不正确的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．3a＜3b C．﹣2a＜﹣2b D．2a﹣1＜2b﹣1
二．填空题（共6小题）
11．已知x＜y，试比较大小：﹣2x　 　﹣2y．
12．若2a＜0，则a 　 　3a（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x ，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 　 　．
14．已知x＜y，则﹣5x 　 　﹣5y．（填“＞”、“＜”或“＝”）
15．若x＜y，且（a﹣2）x＞（a﹣2）y，则a的取值范围是 　 　．
16．欢欢由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，由此我们知道m的取值范围是　 　．
三．解答题（共7小题）
17．（1）若m＞n，比较﹣2m+1与﹣2n+1的大小，给出你的理由；
（2）若m＜n，比较ma和an的大小，给出你的理由．
18．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按90%收费，已知a＞b，顾客累计购物金额为x元．
（1）若a＝100，b＝80
①当x＝120时，到甲商场实际花费 　 　元，到乙商场实际花费 　 　元；
②若x＞100，那么当x＝　 　时，到甲或乙商场实际花费一样；
（2）经计算发现：当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；
（3）若x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，且30≤a﹣b≤50，请直接写出a+b的最小值．
19．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，
又∵x＞1，
∴y+2＞1，
∴y＞﹣1，
又∵y＜0，﹣1＜y＜0①，
同理得：1＜x＜2②，
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题．
（1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 　 　．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝a成立，求x﹣2y的取值范围．（结果用含a的式子表示）
20．在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置，代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x+y，xy，，都是二元对称式，其中x+y，xy叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：
（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是 　 　（填序号）；
①；②（a﹣b）2；③；④．
（2）若x+y＝m，xy＝n2，将用含m，n的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；
（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：
问题1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值．
分析：因为条件中左边的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，x2+y2可取得最小值．
问题2，①已知x2+y2＝4，则x+y的最大值是 　 　；
②已知x+2y﹣2＝0，则2x+4y的最小值是 　 　．
21．阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的规律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3 　 　；（填“＜”，“＝”或“＞”）
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
22．阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与2的大小．
解：∵（2）
2
＝220，
∴ 　 　2．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
23．有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
2.2 不等式的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵m＞n，
∴，
故A不符合题意；
B、∵m＞n，
∴﹣3m＜﹣3n，
故B符合题意；
C、∵m＞n，
∴m﹣3＞n﹣3，
故C不符合题意；
D、∵m＞n，
∴m﹣n＞n﹣n，
∴m﹣n＞0，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不变，即a﹣3＜b﹣3，故这个选项不符合题意；
B、当c＜0时，ac＞bc，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项符合题意；
D、不等式两边同时除以负数﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3﹣2a＞3﹣2b，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3．【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、根据不等式的基本性质，a＞b，不等式两边同时减去1，不等式仍然成立，则a﹣1＞b﹣1，故选项A错误；
B、根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，2a＞2b，所以B选项错误；
C、∵a＞b，∴a﹣b＞0，故此选项错误；
D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键．
4．【答案】A
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x+5＜y+5，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．【答案】D
【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+5＞b+5，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣5b，
∴1﹣5a＜1﹣5b，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴c＞0时，；c＝0时，、均无意义；c＜0时，，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．【答案】B
【分析】根据不等式的性质解决此题．
【解答】解：A．由m＞n，得m﹣2＞n﹣2，那么A错误，故A不符合题意．
B．由m＞n，得﹣2m＜﹣2n，推断出1﹣2m＜1﹣2n，那么B正确，故B符合题意．
C．由m＞n，得mn，那么C错误，故C不符合题意．
D．由m＞n，得n﹣m＜0，那么D错误，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
7．【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵5＞﹣7，x2≥0，∴5x2≥﹣7x2，
A错误；∵7＞5，m＜0，∴7m＜5m，
C错误；∵﹣5＜7，﹣5m＜7m，∴m＞0，
D错误；
∵x2≥0，
∴5+x2≥5，即5+x2＞0成立，
∴B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质是解题关键．
8．【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+5＞﹣b+5，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．【答案】C
【分析】根据不等式的性质来解即可．
【解答】解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式性质的内容，并会运用是本题解答的关键．
10．【答案】C
【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【解答】解：A、根据不等式性质1，不等式a＜b两边都加2可得a+2＜b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以3可得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质3，不等式a＜b两边都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，原变形不正确，故此选项符合题意；
D、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以2可得2a＞2b，再在不等号两边同时减1得2a﹣1＜2b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：由x＜y，得
﹣2x＞﹣2y，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的两边都乘以一个负数不等号的方向改变是解题关键．
12．【答案】＞．
【分析】直接利用不等式的性质以及实数比较大小的方法分析得出答案．
【解答】解：∵2a＜0，
∴a＜0，
∴a＞3a．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了不等式的性质以及实数比较大小，正确掌握负数比较大小的方法是解题关键．
13．【答案】﹣1．
【分析】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
a﹣1＜0，
∴a＜1，
∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，
∴|1﹣a|﹣|a﹣2|
＝1﹣a﹣（2﹣a）
＝1﹣a﹣2+a
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
14．【答案】＞．
【分析】不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
【解答】解：∵x＜y，
∴﹣5x＞﹣5y．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．【答案】a＜2．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：∵x＜y，且（a﹣2）x＞（a﹣2）y，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2．
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号的方向是否改变．
三．解答题（共7小题）
17．【答案】（1）﹣2m+1＜﹣2n+1，理由见解析；
（2）当a＝0时，ma＝an；当a＞0时，ma＜an；当a＜0时，ma＞an．
【分析】（1）由不等式的性质：两边同时乘以﹣2得﹣2m＜﹣2n，两边同时加1得﹣2m+1＜﹣2n+1；
（2）分三情况讨论：当a＝0时，当a＞0时，当a＜0时，以此即可解答．
【解答】解：（1）﹣2m+1＜﹣2n+1，理由如下：
∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴﹣2m+1＜﹣2n+1；
（2）①当a＝0时，ma＝an；
②当a＞0时，
∵m＜n，
∴ma＜an；
②当a＜0时，
∵m＜n，
∴ma＞an；
综上，当a＝0时，ma＝an；当a＞0时，ma＜an；当a＜0时，ma＞an．
【点评】本题主要考查不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
18．【答案】（1）①117，116．②140．
（2）a＝140，b＝110．
（3）110．
【分析】（1）①根据题中等量关系计算即可．
②利用①中关系计算即可．
（2）建立关于a，b的方程组计算即可．
（3）根据甲乙两商场费用一样求解．
【解答】解：（1）①由题意得到甲商场实际花费：100+（120﹣100）×85%＝117（元），
到乙商场实际花费：80+（120﹣80）×90%＝116（元）．
故答案为：117，116．
②若x＞100，到甲商场实际花费：100+（x﹣100）×85%＝15+0.85x．
到乙商场实际花费：80+（x﹣80）×90%＝8+0.9x．
∵15+0.85x＝8+0.9x，
∴x＝140（元）．
故答案为：140．
（2）∵当x＝120时，到甲商场无优惠，
∴a≥120，
∵当x＝120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，
∴b+（120﹣b）×90%＝119．
∴b＝110．
∵当x＝200时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴a+（200﹣a）×85%＝110+（200﹣110）×90%，
∴a＝140．
∴a＝140，b＝110．
（3）∵x＝180时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴a+（180﹣a）×85%＝b+（180﹣b）×90%，
∴0.15a+153＝0.1b+162．
∴0.15a﹣0.1b＝9．
∴b＝1.5a﹣90．
∴a﹣b＝a﹣1.5a+90＝﹣0.5a+90．
∵30≤a﹣b≤50，
∴30≤﹣0.5a+90≤50，
∴80≤a≤120．
∴a+b＝a+1.5a﹣90
＝2.5a﹣90．
∵2.5＞0，
∴a+b随a的增大而增大．
∴当a＝80时，a+b有最小值：2.5×80﹣90＝110．
【点评】本题考查列代数式，正确表示两个商场实际花费是求解本题的关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把x﹣y＝3，化为x＝3+y，再根据x＞2，y＜1，求出﹣1＜y＜1，①同理得2＜x＜4，②①+②得﹣1+2＜x+y＜1+4，进而求出x+y的取值范围；
（2）解题方法同（1）类似，不同就是当﹣a﹣1＞1，即a＜﹣2，注意a的取值范围．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝3，
∴x＝3+y，
∵x＞2，
∴3+y＞2，
∴y＞﹣1，
∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1，①
同理得2＜x＜4，②
①+②得﹣1+2＜x+y＜1+4，
∴1＜x+y＜5；
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x﹣y＝a，
∴x＝a+y，
∵x＜﹣1，
∴a+y＜﹣1，
∴y＜﹣1﹣a，
∵y＞1，
当﹣a﹣1＞1，即a＜﹣2，
∴1＜y＜﹣a﹣1，
∴2a+2＜﹣2y＜﹣2，①
同理得1+a＜x＜﹣1，②
①+②得3a+3＜x﹣2y＜﹣3．
【点评】本题考查不等式，掌握不等式的应用，整体思想是解题关键．
20．【答案】（1）②④；（2），不是二元对称式；（3）①2；②4．
【分析】（1）由定义进行判断即可；
（2）化简为，再将已知代入即可求解；
（3）①x＝y时，x+y最大值为2；
②x＝2y＝1时，2x+22y的最小值4．
【解答】解：（1）①，故不是二元对称式；
②（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故是二元对称式；
③，故不是二元对称式；
④，故是二元对称式；
故答案为：②④；
（2）22，
∵x+y＝m，xy＝n2，
∴，
∵，
∴不是二元对称式；
（3）①x2+y2可以看成以x，y为元的对称式，x+y可以看成以x，y为元的对称式，
∴当这两个元相等时，x+y可取得最大值，
∵x2+y2＝4，
∴x＝y，
∴x+y最大值为2，
故答案为：2；
②x+2y可以看成以x，2y为元的对称式，
∵2x+4y＝2x+22y可以看成以x，2y为元的对称式，
∴当这两个元相等时，2x+22y可取得最小值，
∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2y＝1，
∴2x+22y的最小值4，
故答案为：4．
【点评】本题考查新定义，理解定义，根据题意会用二元对称式求代数式的最值是解题的关键．
21．【答案】（1）＜；
（2）A≥B．
【分析】（1）两数作差，根据3可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，不等号的方向不变解决；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，两式作差进而求解，
【解答】解：（1）∵3，
∴（3）﹣（）＝30，
∴3，
或∵3，
∴3，
故答案为：＜．
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x≥0，
∴2﹣2y≥0，
∴﹣y+1≥0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，
∴A≥B．
【点评】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据x+2y﹣2＝0，且x≥0确定y的取值．
22．【答案】（1）＞；
（2）2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．
【分析】（1）根据“A﹣B＞0，则A＞B”作答；
（2）利用作差法进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：若A﹣B＞0，
则A＞B，
∵（2）＝220，
∴2．
故答案为：＞；
（2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7，
∵a2+1＞0，
∴7a2+7＞0．
∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0，
∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．
【点评】本题考查不等式的性质和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解决本题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得到不等式10b+a＜10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．
【解答】解：根据题意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
【点评】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
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