2.4 一元一次不等式（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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2.4 一元一次不等式
一．选择题（共10小题）
1．不等式﹣3（x+1）＞﹣6的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折．
A．六 B．七 C．八 D．九
3．如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（　　）
A．a＞0 B．a＞5 C．a≠5 D．a＜5
4．不等式x+1＞3的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．不等式的正整数解的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700
C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7
7．下列各式中是一元一次不等式的是（　　）
A．3x﹣2＞0 B．2＞﹣5 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5
8．已知数轴上两点A，B表示的数分别为a﹣2，1，那么关于x的不等式（a﹣2）x+a＞2的解集，下列说法正确的是（　　）
A．若点A在点B左侧，则解集为x＜﹣1
B．若点A在点B右侧，则解集为x＜﹣1
C．若解集为x＜﹣1，则点A必在点B左侧
D．若解集为x＜﹣1，则点A必在点B右侧
9．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过2000元．若每个篮球60元，每个足球30元，则篮球最多可购买（　　）个．
A．14 B．15 C．16 D．17
10．不等式﹣x+1＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题）
11．不等式﹣2x＞9的解集是 　 　．
12．一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15%，则该商品的售价应不低于　 　元．
13．若方程组的解x，y满足x+y＞5，则m的取值范围为 　 　．
14．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞7，则k的取值范围是 　 　．
15．不等式：（2）x＜1的解集是　 　．
16．不等式2x＜7的非负整数解有 　 　个．
三．解答题（共7小题）
17．（1）计算：；
（2）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（1）解不等式，并把解在数轴上表示出来．
（2）解不等式：．
19．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
20．小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装．为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
（1）请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
（2）为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
21．污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
22．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低0.1元，则平均每天可多售3碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗降价多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
23．乐乐超市为了元旦促销，印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A，B两种彩页构成．已知A种彩页制版费为3元/张，B种彩页制版费为2元/张，共计24元（注：彩页制版费与印数无关）．
（1）每本宣传册A，B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费为0.5元/张，B种彩页印刷费为0.3元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过594元．如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？
2.4 一元一次不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：﹣3（x+1）＞﹣6，
x+1＜2，
x＜2﹣1，
x＜1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．【答案】B
【分析】设该自行车能打x折，则根据利润率不低于5%，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．
【解答】解：设该自行车能打x折，
由题意得，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键．
3．【答案】D
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，
∴a﹣5＜0，
∴a＜5，
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
4．【答案】A
【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵x+1＞3，
∴x＞2，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．
5．【答案】D
【分析】解不等式求出x的范围，从而可求出x的正整数解．
【解答】解：，
27﹣3x＞3x+2，
﹣3x﹣3x＞2﹣27，
﹣6x＞﹣25，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解此题的关键．
6．【答案】A
【分析】根据“步行时间×步行速度+跑步时间×跑步速度≥5700”列不等式即可．
【解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟，
根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系．
7．【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的概念判断．
【解答】解：A、是一元一次不等式；
B、不含未知数，不符合定义；
C、D、有两个未知数，不符合定义；
故选：A．
【点评】本题考主要查一元一次不等式的定义中的“含有一个未知数”．
8．【答案】C
【分析】关于x的不等式（a﹣2）x+a＞2化为（a﹣2）x＞2﹣a，当a﹣2＜0时，解集为x＜﹣1据此判断即可．
【解答】解：∵（a﹣2）x+a＞2，
∴（a﹣2）x＞2﹣a，
若点A在点B左侧，则a﹣2＜1，
故a＜3，则无法判断a﹣2的符号，故A选项错误；
若点A在点B右侧，则a﹣2＞1，
故a＞3，则a﹣2＞0，所以x＞﹣1故B选项错误；
当x＜﹣1时，a﹣2＜0，
∴此时点A在原点左侧，故D选项错误，C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，根据总价＝单价×购买数量结合购买资金不超过2000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，
根据题意得：60x+30（50﹣x）≤2000，
解得：．
∵x为整数，
∴x最大值为16．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式．
10．【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：﹣x+1＜x﹣3，
﹣x﹣x＜﹣3﹣1，
﹣2x＜﹣4，
x＞2，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：﹣2x＞9，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】利润不低于15%，利润率≥15%，据此列出不等式求解即可．
【解答】解：设售价应x元，则（x﹣800）÷800≥15%，解得x≥920元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．
13．【答案】m＞3．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围即可．
【解答】解：①+②得：x+y＝m+2，
∵x+y＞5，
∴m+2＞5，
解得：m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．【答案】k．
【分析】先把两方程相加可得到x+y＝5k﹣2，所以5k﹣2＞7，然后解不等式得到k的取值范围．
【解答】解：，
①﹣②得x+y＝5k﹣2，
∵x+y＞7，
∴5k﹣2＞7，
解得k，
即k的取值范围为k．
故答案为：k．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了二元一次方程的解．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】系数化为1求得即可．
【解答】解：∵0，
∴x，
∴，
故答案为x
【点评】主要考查解一元一次不等式，并进行分母有理化；注意：不等式两边同乘以负数，不等号方向改变．
16．【答案】4．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【解答】解：2x＜7，
x＜3.5，
∴该不等式的非负整数解为0，1，2，3，
∴该不等式的非负整数解有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．【答案】（1）2；
（2）x＜﹣1．
【分析】（1）先根据二次根式的性质，绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）原式＝11﹣22
＝2；
（2）去分母，得2（2x+5）＜x+1+6，
去括号，得4x+10＜x+7，
移项，4x﹣x＜7﹣10，
合并同类项，3x＜﹣3，
化系数为1，x＜﹣1．
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解一元一次不等式等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，掌握一元一次不等式的解法是解（2）的关键．
18．【答案】（1）x≥﹣1．
（2）x＜1．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号，移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1），
3（﹣3+x）≤2（2x﹣4），
﹣9+3x≤4x﹣8，
3x﹣4x≤9﹣8，
﹣x≤1，
∴x≥﹣1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）1，
8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
8﹣7x+1＞6x﹣4，
﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1，
﹣13x＞﹣13，
∴x＜1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．【答案】（1）1个甲部件的质量是160kg，1个甲部件的质量是120kg；
（2）货运电梯一次最多可装运7套设备．
【分析】（1）设1个甲部件的质量是x kg，1个甲部件的质量是y kg，根据“2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设货运电梯一次可装运m套设备，根据货运电梯载重总质量禁止超过3000kg，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设1个甲部件的质量是x kg，1个甲部件的质量是y kg，
根据题意得：，
解得：．
答：1个甲部件的质量是160kg，1个甲部件的质量是120kg；
（2）设货运电梯一次可装运m套设备，
根据题意得：82+78+（160+2×120）m≤3000，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7．
答：货运电梯一次最多可装运7套设备．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．【答案】（1）标价为250元，服装成本160元；
（2）6.4．
【分析】（1）可以设标价是x元，根据题意列方程解答，本题的等量关系是衣服的成本，分别以六折和八折表示出成本，即可列出方程；
（2）为了尽快减少库存，又要保证不亏本，也就是打折后等于成本，在（1）的结论的基础上，列方程解答即可．
【解答】解：（1）设标价是x元，
由题意得，，
解得，x＝250，
这种服装的成本是（元），
答：标价为250元，服装成本160元；
（2）设最多打y折，
由题意得，，
解得，y＝6.4，
答：最多能打6.4折．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等量关系列出方程组求解即可求解．
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据x取正整数，进而可求解；
（3）根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解；
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据题意得，
6x+3（12﹣x）≤50，
∴，
∵x取正整数，
∴x＝1、2、3、4，
∴12﹣x＝11、10、9、8，
∴有四种购买方案：
①A型设备1台，B型设备11台；
②A型设备2台，B型设备10台；
③A型设备3台，B型设备9台；
④A型设备4台，B型设备8台．
（3）由题意：220x+180（12﹣x）≥2260，
∴x≥2.5，
又∵，
∴，
∵x取正整数，
∴x为3，4．
当x＝3时，购买资金为3×6+9×3＝45（万元），
当x＝4时，购买资金为4×6+8×3＝48（万元），
45＜48，
∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
22．【答案】（1）每碗小面的售价不超过23元．（2）5元．
【分析】（1）设每碗小面的售价为x元，根据该小面店每天至少卖出360碗，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润＝每碗利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其不超过20的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每碗小面的售价为x元，
依题意，得：300+3（25﹣x）≥360，
解得：x≤23．
答：每碗小面的售价不超过23元．
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，
依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理，得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵店家规定每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
∴25﹣20＝5（元），
答：当每碗售价定为20元时，每碗降价5元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．【答案】（1）每本宣传册A种彩页有4张，B种彩页有6张；
（2）最多能发给150位顾客．
【分析】（1）设每本宣传册A种彩页有x张，则B种彩页有（10﹣x）张，根据彩页制版费共计24元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出每本宣传册有A种彩页的张数，再将其代入（10﹣x）中，即可求出每本宣传册有B种彩页的张数；
（2）设能发给y位顾客，根据这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过594元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本宣传册A种彩页有x张，则B种彩页有（10﹣x）张，
根据题意得：3x+2（10﹣x）＝24，
解得：x＝4，
∴10﹣x＝10﹣4＝6（张）．
答：每本宣传册A种彩页有4张，B种彩页有6张；
（2）设能发给y位顾客，
根据题意得：（0.5×4+0.3×6）y+24≤594，
解得：y≤150，
∴y的最大值为150．
答：最多能发给150位顾客．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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