3.2 图形的旋转（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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3.2 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，此时点D刚好落在AB边上，且DE⊥AC，若∠B＝70°，则∠E的度数为（　　）
A．50° B．40° C．55° D．45°
2．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．如图，△AOB中，∠AOB＝90°．现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为（　　）
A．44° B．66° C．56° D．46°
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，∠B＝70°，将△ABC绕点C逆时针旋转55°得到△A'B'C′，且AB⊥A'C于点D，求∠A'CB'的度数（　　）
A．70° B．75° C．65° D．55°
6．如图，△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转锐角α得到，下列各角中，是旋转角的是（　　）
A．∠BAD B．∠BAE C．∠DAE D．∠CAD
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（　　）
A．45° B．55° C．60° D．100°
8．如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE＝17，AD＝7，则BC为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，点P在AC边上移动，则AP+BP+CP的最小值为（　　）
A．4.8 B．8 C．8.8 D．10
10．如图，将一个直角三角形纸板ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠BAC＝40°，则∠CAD的度数为（　　）
A．90° B．30° C．20° D．10°
二．填空题（共6小题）
11．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，若点A恰好在ED的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，使点B'在AC的延长线上，则B'C的长为 　 　．
13．如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 　 　度．
14．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC的内部有一点P，PA＝4，PB＝2，，则线段AB的长为 　 　．
15．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，则DE的长度是 　 　．
16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是（3，2），（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后得到的△A1OB1；
（2）求线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形△A1B1C1，画出图形△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 　 　；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出A2的坐标 　 　；
（3）若△A1B1C1可以看作是由△A2B2C2绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 　 　．
19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．
（1）将△ABC平移后得到△A'B'C'且点A的对应点是A′（2，3），点B，C的对应点分别是B′，C′．请在图中画出△A'B'C'，并求点A，A′之间的距离；
（2）将△ABC顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请直接写出点C的对应点C1的坐标．
20．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2、C2的坐标；
（3）若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 　 　．
21．在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O1，写出点A1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点A旋转到点A1，线段OA所扫过的面积．
22．如图，把一个直角三角形ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角形旋转了多少度？
（2）连接CD，求∠BDC的度数．
23．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点坐标A1（ 　 　），B1（ 　 　），C1（ 　 　）；
（2）把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（ 　 　）．
24．如图，将△ABC置于平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）．
（1）画出以原点O为对称中心，与△ABC成中心对称的△A1B1C1；
（2）并写出点A1、B1、C1的坐标．
25．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．
3.2 图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到∠B＝∠CDB，然后利用已知条件可以求出∠CDE，然后利用直角三角形的性质求出∠A，最后利用旋转性质即可求出∠E．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，∠B＝70°，
∴∠B＝∠CDE，CB＝CD，∠E＝∠A，
∴∠BDC＝∠B＝∠CDE＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠A＝90°﹣∠ADE＝50°，
∴∠E＝50°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质与直角三角形的性质，解题的关键是确定旋转角及对应角．
2．【答案】B
【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
3．【答案】D
【分析】由旋转的性质可得∠AOA'＝44°，再由∠AOB＝90°即可求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′，
∴∠AOA'＝44°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A'OB＝46°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．【答案】B
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝2，AC＝AC'＝5，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∵AB＝2，AC'＝5，B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．【答案】B
【分析】由AB⊥A'C于点D，得∠BDC＝90°，因为∠B＝70°，所以∠BCD＝90°﹣∠B＝20°，由旋转得∠BCB′＝55°，则∠A'CB'＝∠BCB′+∠BCD＝75°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB⊥A'C于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
由旋转得∠BCB′＝55°，
∴∠A'CB'＝∠BCB′+∠BCD＝55°+20°＝75°，
故选：B．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质等知识，正确理解旋转角的概念并且正确地求出∠BCB′的度数是解题的关键．
6．【答案】A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转锐角α得到，AB的对应边是AD，
∴∠BAD是旋转角，
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
7．【答案】B
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠ADB55°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．【答案】C
【分析】根据旋转的性质得AC＝CE，CD＝BC，设AC＝CE＝x，CD＝BC＝y，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
∴AC＝CE，CD＝BC，
设AC＝CE＝x，CD＝BC＝y，
∵BE＝17，AD＝7，
∴x+y＝17．x﹣y＝7，
∴x＝12，y＝5，
∴BC＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
9．【答案】D
【分析】因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC，若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．从B向AC作垂线段BP，交AC于P，此时PA+PB+PC的值最小．
∵BA＝BC＝5，BP⊥AC，
∴PA＝PC＝3，
∴PB4，
∴AP+BP+CP的最小值为＝AC+BP＝6+4＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】先找到旋转角，再根据∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意可知旋转角∠BAD＝50°，
所以∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝50°﹣40°＝10°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的运用．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】70°．
【分析】由三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，得∠ABC＝∠CDE＝110°，则∠ADC＝70°．
【解答】解：∵三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠ADC＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．
12．【答案】1．
【分析】根据勾股定理可得，旋转可得A'B＝AB＝5，进而可得答案．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴，
由旋转可知：A'B＝AB＝5，
∴B'C＝AB'﹣AC＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
13．【答案】120．
【分析】由旋转的性质可得出答案．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转120°，旋转3次所组成，故最小旋转角为120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查了旋转的性质，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题的关键．
14．【答案】2．
【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转 120°，得到△ACD，连接P D，过点A作AH⊥PD于H，利用等腰三角形的性质及通 过解直角三角形求出AH，PH，DH，PD的长，利用勾 股定理的逆定理证明△PDC为直角三角形，再证△DM C﹣△HMA，其对应边相等，可推出 ，，在Rt△DMC中，通过勾 股定理求出CM的长，可推出
【解答】解：如图，将△ABP绕点A逆时针旋转 120°，得到△ACD，连接PD，过点A作AH⊥PD于H，则△ABP≌△ACD，∠PAD＝120°，
∴PA＝DA＝4，PB＝DC＝2，∠APH＝∠ADH＝30°，
∴AHAP＝2，PH＝DH2，PD＝2PH＝4，
在△PDC中，22＝104，，
∴，PD2+CD2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，且∠PDC＝90°，
∴∠AHD＝∠PDC，
∴AH⊥DC，
∴△DMC∽△HMA，
∵DC＝AH＝4，
∴，HM＝DMHD，
∴在Rt△DMC中，GM，
∴AB＝AC＝2CM＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是能够通过勾股定理的逆定理证明△DMC为直角三角形．
15．【答案】．
【分析】由旋转得∠D＝∠B＝90°，∠E＝∠C＝30°，则AE＝2AD＝2，由勾股定理求得DE，于是得到问题的答案．
【解答】解：由旋转得∠D＝∠B＝90°，∠E＝∠C＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2AD＝2，
∴DE，
∴DE的长度是，
故答案为：．
【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，求得∠D＝90°及AE＝2是解题的关键．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB＝5．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝5，
∴BE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）见解答．
（2）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
（2）由勾股定理得，
∴线段OB在旋转过程中所扫过的图形面积为．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
18．【答案】（1）画图见解答；（﹣1，﹣3）．
（2）画图见解答；（3，3）．
（3）（4，﹣2）．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）连接B1B2，C1C2，分别作线段B1B2，C1C2的垂直平分线，交于点D，则点D即为旋转中心，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点A2的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．
（3）如图，连接B1B2，C1C2，分别作线段B1B2，C1C2的垂直平分线，交于点D，
则△A1B1C1可以看作是由△A2B2C2绕点D逆时针旋转90°得到的，
∵点D的坐标为（4，﹣2）．
∴旋转中心的坐标为（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19．【答案】（1）图形见解析，4；
（2）（﹣4，﹣2）．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可得出平移后的三角形，再根据图形写出AA'的长即可；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点画出图形即可得出结果．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求，AA'＝4；
（2）如图所示，点C的对应点C1的坐标为（﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键．
20．【答案】（1）见解答．
（2）画图见解答；B2（1，4），C2（﹣1，5）．
（3）．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则PA+PC的最小值即为PA'+PC＝A'C，在由勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△AB2C2即为所求．
点B2（1，4），C2（﹣1，5）．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，连接AP，
则PA+PC的最小值为PA'+PC＝A'C．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
21．【答案】（1）作图见解析部分；
（2）．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可；
（2）利用勾股定理求出OA，再利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O1即为所求．点A1的坐标（﹣3，﹣1）；
（2）∵OA．
∴线段OA所扫过的面积．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先利用邻补角的定义计算出∠ABE＝180°﹣∠ABC＝150°，然后根据旋转的性质即可得到旋转角的度数；
（2）根据旋转的性质得BC＝BD，∠CBD＝∠ABE＝150°，则根据等腰三角形的性质得∠BDC＝∠BCD，然后根据三角形内角和定理计算∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝150°，
∴三角形旋转了150°；
（2）如图，
∵△BDE是由△BCA旋转得到，
∴BC＝BD，∠CBD＝∠ABE＝150°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠BDE（180°﹣150°）＝15°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
23．【答案】（1）作图见解析过程；3，0；5，﹣3；1，﹣1；
（2）作图见解析过程；
（3）0，2．
【分析】（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点A1，B1，C1平移后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1为所求作的三角形；
根据图可知，A1（3，0），B1（5，﹣3），C1（1，﹣1）．
故答案为：3，0；5，﹣3；1，﹣1；
（2）如图2，△A2B2C2为所求作的三角形；
（3）连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3，
∵B（﹣5，3），B2（5，1），
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
24．【答案】（1）见解析；
（2）A1（1，﹣4），B1（3，﹣2），C1（2，﹣1）．
【分析】（1）分别找到点A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1），关于原点的中心对称的对应点A1（1，﹣4），B1（3，﹣2），C1（2，﹣1），顺次连接即可；
（2）由（1）可得．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，
（2）点A1、B1、C1的坐标分别为：A1（1，﹣4），B1（3，﹣2），C1（2，﹣1）
【点评】本题考查了中心对称作图，解题的关键是熟练掌握关于原点成中心对称的点的特征．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）根据旋转的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°，
∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴∠ODC＝60°．
答：∠ODC的度数为60°．
（2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150°
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝5．
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO．
答：AO的长为．
【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
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