3.4 简单的图案设计（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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3.4 简单的图案设计
一．选择题（共9小题）
1．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（　　）
A．60° B．72° C．90° D．180°
2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．其中能得到图（2）的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
3．如图的四个三角形中，不能由已知图中三角形经过旋转或平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（　　）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
5．今年是香港回归25周年，如图1是香港特别行政区的区徽中间的紫荆花图案，这个图案可以是由一个如图2的基本图形经过五次旋转得到，每次旋转的度数是（　　）
A．60° B．50° C．72° D．36°
6．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为（　　）
A．36° B．72° C．90° D．108°
8．小华将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个如图所示的雪花图案，则α可以为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．如图，把图①中△ABC经过一定的变换得到图②中的△A'B'C'，如果某个点在图②中的点P'的坐标是（a，b），那么这个点在图①的△ABC上点P的坐标是（　　）
A．（a﹣4，b﹣2） B．（a﹣4，b+2） C．（a+4，b+2） D．（a+4，b﹣2）
二．填空题（共5小题）
10．如图所示，图形①经过 　 　变换得到图形②；图形①经过 　 　变换得到图形③；图形①经过 　 　变换得到图形④．（填平移、旋转、轴对称）
11．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，它们旋转的角度均是 　 　．
12．如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：　 　．
13．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．
　 　．
14．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 　 　．
三．解答题（共8小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'是由△ABC通过某种变换得到的，请认真观察，完成下面的问题．
（1）分别写出△A'B'C'各点的坐标：A′　 　B′　 　C′　 　；
（2）请说明△A'B'C'是由△ABC先 　 　再 　 　得到的；
（3）若点P′（a，b）是△A'B'C'内部一点，则其图形变换前的对应点P的坐标为 　 　．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度居所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是中心对称图形吗？　 　，它的对称中心为 　 　．
17．在网格中画对称图形．
（1）如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）请你在图④的网格内设计一个商标，满足下列要求：
①是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形）；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③商标内部涂上阴影．
18．在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．
（1）在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；
（2）在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；
（3）在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．
19．如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何将△ABC先用旋转、再用平移、最后用轴对称这三种图形变换，重合到△DEF上．
20．如图，在7×7的正方形网格中，选取14个格点，以其中3个格点为顶点画出△ABC．
（1）请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，要求所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，请猜想新得到的中心对称图形是什么特殊图形（不用证明），并求出它的面积．
21．如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
22．我们认识了图形的三种基本变换：轴对称、平移和旋转，利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案．
现有如图1所示的瓷砖若干块，
（1）请用4块如图1所示的瓷砖，在图2所示方格纸上设计出一个美丽的图案．
（2）利用你在（1）中设计的图案，通过轴对称、平移或旋转，在图3所示方格纸上设计出更大更美丽的图案．
3.4 简单的图案设计
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【答案】C
【分析】图案，可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
2．【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．
【解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】根据旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，可得答案．
【解答】解：A、图形是由△ABC经过平移或旋转得到，故A不符合题意；
B、图形不能由△ABC经过旋转或平移得到，故B符合题意；
C、图形由△ABC经过旋转得到，故C不符合题意；
D、图形由△ABC经过平移得到，故D不符合题意
故选：B．
【点评】本题考查的是旋转的性质，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
4．【答案】D
【分析】开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
【解答】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：D．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
5．【答案】C
【分析】此题只需找到旋转中心，观察旋转中心一共有几个角，再进一步根据周角进行计算．
【解答】解：根据旋转的性质，可知：360°÷5＝72°，所以它的旋转角为72°．
即这个图形是由“基本图案”绕着旋转中心顺时针依次旋转4次得到的，则每次旋转的角度为72°．
故选：C．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
6．【答案】A
【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形，轴对称图形的定义，选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
7．【答案】B
【分析】根据图形间的关系可得答案．
【解答】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72°，即旋转角是72°的倍数，
故旋转角α的最小值是72°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．
8．【答案】B
【分析】分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，旋转一周为360°．
【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的角度α＝360°÷6＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
9．【答案】A
【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标．
【解答】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，
因此点P'的坐标为（a，b）变为点P的坐标为（a﹣4，b﹣2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
二．填空题（共5小题）
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，通过观察图形，可知图形①和图形②关于对称轴对称；图形①经过顺时针旋转90°变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．
【解答】解：由图形可知：
图形①和图形②关于对称轴对称；
图形①经过顺时针旋转90°变换得到图形③；
图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为：轴对称，旋转，平移．
【点评】本题主要考查几何图形的变换，关键在于认真分析图形，找到它们是怎么变换的．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度．
【解答】解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案的知识，关键是观察图形能被分成几个全等的部分．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】由图易知A，B关于直线l对称，那么可先以直线l为对称轴作轴对称变换，得到与地面垂直的图形，最后的图形与地面的夹角是20°，所以应把所得的图象绕点A顺时针旋转70度．
【解答】解：甲树是这样由乙树变换得到的：先以直线l为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点A顺时针旋转70度．
【点评】旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】本题可通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可．
【解答】解：
【点评】本题考查画中心对称图形．比较简单，关键是利用中心对称图形的性质画图．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称图形的性质判断即可．
【解答】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，
故答案为③．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
15．【答案】（1）（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）；
（2）向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度；
（3）（a+4，b+2）．
【分析】（1）利用象限内点的坐标求解；
（2）根据图形的变化规律即可得到结论；
（3）由（2）中的变化规律即可得到结论．
【解答】解：（1）A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣1，﹣1）；
故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）；
（2）△A'B'C'是由△ABC先向左平移4个单位长度再向下平移2个单位长度得到的；
故答案为：向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度；
（3）由（2）中的变化规律知点P′（a，b）是△A'B'C'内部一点，则其图形变换前的对应点P的坐标为（a+4，b+2）；
故答案为：（a+4，b+2）．
【点评】本题考查几何变换的类型，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．【答案】（1）（2）见解答；
（3）是，（﹣1，﹣1）．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）直接利用所画图形结合中心对称图形的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△D1E1F1即为所求；
（3））△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是中心对称图形，它的对称中心为 （﹣1，﹣1）．
故答案为：是，（﹣1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题中的要求，图①是轴对称图形，不能画成中心对称图形；图②是中心对称图形，不能画成轴对称图形；图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）根据题中的要求，图④是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形），也是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【解答】解：（1）如图①，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
如图②，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
如图③，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）如图④即为所求．
【点评】本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质．
18．【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出图形即可；
（2）利用平移变换的性质作出图形即可；
（3）利用中心对称变换的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）图形如图所示：
（3）图形如图所示．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换，平移变换的性质．
19．【答案】见解析过程．
【分析】先绕着某个顶点旋转，再沿着某个方向平移一定的距离，最后进行轴对称变换，即可将△ABC重合到△DEF上．
【解答】解：如图所示，先将△ABC绕着点B逆时针旋转90°，再沿着点B到点E的方向平移BE长的距离，最后沿着EF翻折，即可重合到△DEF上．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了几何变换的类型，解决问题的关键是掌握旋转变换、平移变换以及轴对称变换的概念．
20．【答案】（1）作图见解析部分；
（2）是平行四边形，6．
【分析】（1）构造平行四边形ABCD即可；
（2）平行四边形的面积看成两个三角形的面积和即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求；
（2）四边形ACBD是平行四边形，面积＝23×2＝6．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
21．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；
（2）根据中心对称图形的定义添加．
【解答】解：（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：
（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：
【点评】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
22．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】根据图形旋转、对称及平移的性质设计出图案即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示．
【点评】本题考查的是利用平移、对称及旋转设计图案，熟知图形旋转、对称及平移的性质是解答此题的关键．
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