6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减运算，会用点的坐标求向量的和与差．
3．能根据平面向量加减运算的坐标表示求点的坐标．
逐点清(一) 平面向量的正交分解及坐标表示
[多维理解]
1．正交分解
把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是________的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．
|微|点|助|解|
点的坐标与向量的坐标
(1)向量的坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标才与其终点的坐标相等．如：点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标(x，y)；反之，点A的坐标(x，y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．
(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一对实数，由于向量可以平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个．
(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若O为坐标原点，且＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．( )
(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( )
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( )
2．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为( )
A．(4e1,3e2) B．(4e1，－3e2)
C．(4,3) D．(4，－3)
3．已知向量＝(5,12)，将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，则＝( )
A．(－5,13) B．(－5,12)
C．(－12,13) D．(－12,5)
4．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
逐点清(二) 平面向量加、减运算的坐标表示
[多维理解]
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
项目 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________ a＋b＝__________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________ a－b＝__________
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去________的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______________
|微|点|助|解|
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
(2)由向量坐标的定义知，相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b
[微点练明]
1．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
2．(多选)已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，下列计算正确的是( )
A．a＋b＝(－1,4) B．a－b＝(3,2)
C．b－a＝(1,2) D．－a－b＝(1,2)
3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
4．已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
逐点清(三) 平面向量坐标运算的应用
[典例] 已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)．若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
听课记录：
|思|维|建|模|
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值．
[针对训练]
已知点O(0,0)，A(1,2)．
(1)若点B(3t,3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4,5)，P(1＋3t,2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，请说明理由．
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.互相垂直 2.(x，y) 3.终点A
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．选D ∵e1，e2是互相垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，∴a＝(4，－3)．
3.选D 向量＝(5,12)，将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，则点B的坐标为(－12,5)，如图所示，所以＝(－12,5)．
4．解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，
c＝(2，－2)．
[逐点清(二)]
[多维理解] 和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) 终点 起点
(x2－x1，y2－y1)
[微点练明]
1．选B ＝(2,3)－(3,1)＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．
2．选AB 因为a＝(1,3)，b＝(－2,1)，所以a＋b＝(－1,4)，故A正确；a－b＝(3,2)，故B正确；b－a＝(－3，－2)，故C错误；－a－b＝(1，－4)，故D错误．
3．选A 法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
4．解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
[逐点清(三)]
[典例] 解：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋，且与不共线，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则
∴λ<－1.
[针对训练]
解：(1)由题意得＝＋＝(1,2)＋(3t,3t)＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在第二象限，则解得－(2)不能．理由如下：
＝(1,2)，＝－＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．(共48张PPT)
6.3.2
平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3
平面向量加、减运算的坐标表示
（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算,会用点的坐标求向量的和与差.
3.能根据平面向量加减运算的坐标表示求点的坐标.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 平面向量的正交分解及坐标表示
逐点清(二) 平面向量加、减运算的坐标表示
逐点清(三) 平面向量坐标运算的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一)
平面向量的正交分解及坐标表示
01
多维理解
1.正交分解
把一个向量分解为两个_________的向量,叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
互相垂直
3.向量与坐标的关系
设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是_______的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
终点A
|微|点|助|解|
点的坐标与向量的坐标
(1)向量的坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量的坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y).
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). ( )
(2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1). ( )
(3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. ( )
微点练明
√
×
√
2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 ( )
A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2)
C.(4,3) D.(4,-3)
解析:∵e1,e2是互相垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,∴a=(4,-3).
√
3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则=( )
A.(-5,13) B.(-5,12)
C.(-12,13) D.(-12,5)
解析:向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向
旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所
示,所以=(-12,5).
√
4.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos 45°=2×=,
a2=|a|sin 45°=2×=,
b1=|b|cos 120°=3×=-,
b2=|b|sin 120°=3×=,
c1=|c|cos(-30°)=4×=2,
c2=|c|sin(-30°)=4×=-2.
因此a=(,),b=,c=(2,-2).
逐点清(二)
平面向量加、减运算的坐标表示
02
多维理解
设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
项目 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a+b=_____________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___ a-b=___________
重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标
和
(x1+x2,y1+y2)
差
(x1-x2,y1-y2)
终点
起点
(x2-x1,y2-y1)
|微|点|助|解|
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(2)由向量坐标的定义知,相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b
1.已知M(2,3),N(3,1),则的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(1,-2)
解析:=(2,3)-(3,1)=(2-3,3-1)=(-1,2).
√
微点练明
2.(多选)已知a=(1,3),b=(-2,1),下列计算正确的是 ( )
A.a+b=(-1,4) B.a-b=(3,2)
C.b-a=(1,2) D.-a-b=(1,2)
解析:因为a=(1,3),b=(-2,1),所以a+b=(-1,4),故A正确;a-b=(3,2),故B正确;b-a=(-3,-2),故C错误;-a-b=(1,-4),故D错误.
√
√
3.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
解析:法一:设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),所以从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.
法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
√
4.已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b的坐标.
解:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7).
逐点清(三)
平面向量坐标运算的应用
03
[典例] 已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ).若=+(λ∈R),试求λ为何值时,
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
解:设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+=(5,4)-(2,3)+(5λ,7λ)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+,且与不共线,
∴则
若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=.
(2)点P在第三象限内.
解:若点P在第三象限内,
则∴λ<-1.
|思|维|建|模|
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等.
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值.
针对训练
已知点O(0,0),A(1,2).
(1)若点B(3t,3t),=+,则t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
解:由题意得=+=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
若点P在第二象限,则解得-(2)若B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP能为平行四边形吗 若能,求出t值;若不能,请说明理由.
解:不能.理由如下:
=(1,2),=-=(3-3t,3-3t).
若四边形OABP为平行四边形,则=,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
课时跟踪检测
04
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2
1.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.相等向量的坐标相同,与向量的起点、终点的位置无关
B.当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标
C.两向量和的坐标与两向量的顺序无关
D.两向量差的坐标与两向量的顺序无关
√
√
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解析:由向量坐标表示的定义,即可判断出A、B正确.因为加法满足交换律,所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确.因为减法不满足交换律,所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.故选A、B、C.
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2.在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是( )
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
解析:因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1).
√
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3.已知点A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),则=( )
A.(1,4) B.(-1,-4)
C.(1,6) D.(-1,-6)
解析:因为=(1,4),所以=-=(-1,-6).故选D.
√
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4.已知两个力F1=(1,2), F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3= ( )
A.(1,-5) B.(-1,5)
C.(5,-1) D.(-5,1)
解析:根据力的合成可知F1+F2=(1-2,2+3)=(-1,5),因为物体保持静止即合力为0,则F1+F2+F3=0,即F3=(1,-5).
√
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5.已知向量a在射线y=x(x≥0)上,且起点为坐标原点O,又|a|=,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j,把{i,j}作为一个基底,则向量a的坐标为( )
A.(1, 1) B.(-1,-1)
C.(,) D.(-,-)
解析:由题意,得a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j=(1,1).
√
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6.在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+=( )
A.(-2,4) B.(4,6)
C.(-6,-2) D.(-1,9)
解析:在平行四边形ABCD中,因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3).
又=(-1,2),所以=+=(1,5),=-=(-3,-1),
所以+=(-2,4),故选A.
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7.已知两点A(4,1),B(7,-3),若+=0,则点C的坐标是( )
A.(1,5) B.(-3,4)
C.(-1,-5) D.(4,-3)
解析:设C(x,y),则=(x-4,y-1).又=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),+=0,
∴(3,-4)+(x-4,y-1)=(0,0).
∴∴∴C(1,5).
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8.若{i, j}为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 ( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0,所以向量a对应的坐标位于第四象限.
√
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9.已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为( )
A.(-7,10) B.(7,10)
C.(5,-6) D.(-5,6)
√
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解析:由题意知,与a方向相反,
又||=|a|,∴+a=0.
设B(x,y),则=(x+1,y-2),
∴解得
故点B的坐标为(-7,10).
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10.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),则x= .
解析: ∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),且=a,
∴解得x=1.
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11.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,则向量的坐标为 .
解析:设点A(x,y),则x=||cos 150°=6cos 150°=-3,y=||sin 150° =6sin 150°=3,即A(-3,3),所以=(-3,3).
(-3,3)
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12.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m?n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a?b,那么向量b等于 .
解析:设b=(x,y),由新定义及a+b=a?b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=.所以向量b=.
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13.(15分)已知A(7,2),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且=,求实数a的值.
解:设C(m,n),则=(m-7,n-2),=(1-m,4-n).又=,
所以
解得m=4,n=3,所以C(4,3).代入y=ax得3=2a,所以a=.
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14.(15分)以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.
解:因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以||=||
=||=4.因为在0~2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角
为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角
函数的定义得,==(2,2),所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).
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当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,
由三角函数的定义得=(0,-4),
所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).
综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),
的坐标为(-2,-2).课时跟踪检测(十) 平面向量数乘运算的坐标表示
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10,5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3,1)
2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
3．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则＝( )
A．(－1,2) B．(－2,4)
C．(1，－2) D．(2，－4)
4．已知向量＝(7,6)，＝(－3，m)，＝(－1,2m)，若A，C，D三点共线，则m＝( )
A. B.
C．－ D．－
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，则下列结论不正确的是( )
A．a∥b B．a与b可以作为基底
C．a＋b＝0 D．b－a与a方向相同
6．(2024·上海高考)已知a＝(2,5)，b＝(6，k)，a∥b，则k的值为________.
7．已知向量a＝(8，－2)，b＝(m,1)，c＝(4,2)，若a＋b＝λc，则实数m＝________.
8．已知向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1,1)，若a∥b，则tan θ＝________.
9．(8分)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值.
10．(10分)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值.
B级——重点培优
11.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示．该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m＝( )
A．7 B.
C. D．82
12．(多选)在平面直角坐标系中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2), ＝m＋n(m，n∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若∥，则m＋n＝0
B．若点P在BC上，则m＋n＝1
C．若＋＋＝0，则m－n＝0
D．若与共线，则m＋n＝－1
13．设＝，＝(－a,2)，＝(b,0)，其中a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则2a＋b＝________，＋的最小值为________.
得分
14．(10分)如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，
AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线.
15．(14分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围.
课时跟踪检测(十)
1．选B 利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B满足题意．
2．选A 法一：(待定系数法)设b＝(x，y)，则2a＋b＝2(1,2)＋(x，y)＝(2＋x,4＋y)＝(3,2)，即解得所以b＝(1，－2)．
法二：b＝(2a＋b)－2a＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
3.选A 设该平行四边形的对角线的交点为O，＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)，故选A.
4．选D ＝＋＝(4，m＋6)，因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－(m＋6)，解得m＝－.故选D.
5．选BD 由题意，向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，可得1×2－(－2)×(－1)＝0，所以a∥b，所以A正确，B错误；又由a＋b＝(1－1，－2＋2)＝(0,0)＝0，所以C正确；因为b－a＝(－2,4)，所以b－a＝－2a，所以b－a与a方向相反，所以D错误．故选B、D.
6．解析：因为a∥b，所以2k＝5×6，得k＝15.
答案：15
7．解析：a＋b＝(8＋m，－1)，λc＝(4λ，2λ)，
∵a＋b＝λc，∴8＋m＝－2，m＝－10.
答案：－10
8．解析：向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1,1)，若a∥b，则2sin θ－cos θ＝0，所以cos θ＝2sin θ，则tan θ＝＝＝.
答案：
9．解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2,1)，且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
10．解：＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
11．选C 由题图可知A(3,3)，B(5,6)，C(m,10)，所以＝(5－3,6－3)＝(2,3)，＝(m－5,10－6)＝(m－5,4)．因为A，B，C三点共线，所以∥，所以3(m－5)＝2×4，解得m＝.
12．选AC 由题知，＝(1,2)，＝(1，－1)，＝(2,1)，所以＝m＋n＝(m＋2n,2m＋n)．因为∥，所以2m＋n＋m＋2n＝0，即m＋n＝0，A正确；＝－＝(m＋2n－2,2m＋n－3)，因为点P在BC上，所以∥，所以2m＋n－3＋m＋2n－2＝0，即m＋n＝，B错误；＝(1－m－2n,1－2m－n)，＝(2－m－2n,3－2m－n)，＝(3－m－2n,2－2m－n)，因为＋＋＝0，所以(6－3m－6n,6－6m－3n)＝(0,0)，即解得m＝n＝，所以m－n＝0，C正确；＝(m＋2n－1,2m＋n－1)，＝(1，－1)，由与共线，得(m＋2n－1)×(－1)－(2m＋n－1)＝0，整理得m＋n＝，D错误．
13．解析：由题意，得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，由于A，B，C三点共线，故∥，所以(－a＋2)×(－4)－(－2)×(b＋2)＝0，即2a＋b＝2.所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋，当且仅当＝，即a＝2－，b＝2－2时取等号．
答案：2 ＋
14．证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
令||＝1，
则||＝1，||＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．∴E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD.∵M为CE的中点，
∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∴＝－，∴∥.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
15．解：由a＝2b，知
∴∴＝＝2－.∵cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，－1≤sin α≤1，∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2.∴－6≤2－≤1，即－6≤≤1，∴的取值范围为[－6,1]．
