6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算．
2．能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题．
1．平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，那么λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是__________________．
|微|点|助|解|
正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．
(3)a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线．( )
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
(3)如果x1y2－x2y1＝0，那么向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)共线．( )
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是( )
A．(5,3) B．(4,3)
C．(8,3) D．(0，－1)
3．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
4．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝______.
题型(一) 平面向量数乘运算的坐标表示
[例1] 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
听课记录：
|思|维|建|模|
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[针对训练]
1．已知点A(2,3)，B(1,4)，且＝－2，则点P的坐标是( )
A．(0,5) B.
C．(3,2) D．(－3,2)
2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
题型(二) 平面向量平行(共线)的判定
[例2] 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证：∥.
听课记录：
|思|维|建|模|
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．
[针对训练]
3．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
题型(三) 利用向量共线求参数
[例3] (1)已知向量a＝，b＝，c＝(－3,3)．若非零实数m，n满足∥，则＝( )
A．3 B.
C．－ D．－3
(2)在平面直角坐标系中，向量＝(1,4)，＝(2,3)，＝(x,1)，若A，B，C三点共线，则x的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
听课记录：
|思|维|建|模|
利用向量共线的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量共线的坐标表示直接求解．
[提醒] 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
[针对训练]
4．已知a＝(2,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka＋b与a－2b共线；
(2)若＝a＋3b，＝a－mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课前预知教材
1．(λx，λy) 2.x1y2－x2y1＝0
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)√ (3)√
2．C
3．选D ∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.
4．解析：∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.
答案：－4
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.
[针对训练]
1．选A 设O为坐标原点，＝＋＝－2＝－2(－)，整理得＝2－＝(2,8)－(2,3)＝(0,5)．故选A.
2．选A 由3a－2b＋c＝0，得c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．
∴c＝(－23，－12)．
[题型(二)]
[例2] 证明： 设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由题意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，
＝＝.
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，(x2，y2)－(3，－1)＝.
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，∴∥.
[针对训练]
3．解：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，
则2×6－3×4＝0，所以∥.所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．
[题型(三)]
[例3] 解析：(1)由题意可知，na＋b＝n(1，－1)＋(－1,2)＝(n－1，－n＋2)，b－mc＝(－1,2)－m(－3,3)＝(－1＋3m,2－3m)．因为(na＋b)∥(b－mc)，所以(n－1)(2－3m)＝(－n＋2)(－1＋3m)，
整理得n＝3m，即＝3.
(2)由A，B，C三点共线，得＝λ＋μ(λ＋μ＝1)，即(x,1)＝λ(1,4)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，
则解得
答案：(1)A (2)C
[针对训练]
4．解：(1)∵a＝(2,0)，b＝(2,1)，
∴ka＋b＝(2k＋2,1)，a－2b＝(－2，－2)．
又ka＋b与a－2b共线，
∴－2(2k＋2)－1×(－2)＝0，即k＝－.
(2)∵＝a＋3b＝(8,3)，
＝a－mb＝(2－2m，－m)，
又A，B，C三点共线，
∴－8m－3(2－2m)＝0，即m＝－3.(共51张PPT)
6.3.4
平面向量数乘运算的坐标表示
(教学方式:深化学习课 —梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算.
2.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.平面向量数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),那么λa=_______,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是___________.
(λx,λy)
x1y2-x2y1=0
|微|点|助|解|
正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0) a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)a∥b x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).这是代数运算,由于不需引进参数λ,从而简化了代数运算.
(3)a∥b =,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且y1≠0,y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线. ( )
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. ( )
(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. ( )
√
√
√
2.若a=(2,1),b=(1,0),则3a+2b的坐标是 ( )
A.(5,3) B.(4,3)
C.(8,3) D.(0,-1)
√
3.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 ( )
A.不共线 B.相等
C.方向相同 D.方向相反
解析:∵a=-2b,∴a与b方向相反.故选D.
√
4.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,则y= .
解析:∵a∥b,∴=,解得y=-4.
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课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 平面向量数乘运算的坐标表示
[例1] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;
解:2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b;
解:a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b.
解: a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
|思|维|建|模|
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
1.已知点A(2,3),B(1,4),且=-2,则点P的坐标是( )
A.(0,5) B.
C.(3,2) D.(-3,2)
解析:设O为坐标原点,=+=-2=-2(-),整理得=2-=(2,8)-(2,3)=(0,5).故选A.
√
针对训练
2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c等于 ( )
A.(-23,-12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(-7,0)
解析:由3a-2b+c=0,得c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12).∴c=(-23,-12).
√
题型(二) 平面向量平行(共线)的判定
[例2] 已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,
=,求证:∥.
证明: 设E(x1,y1),F(x2,y2).
由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),
∴==,==.
∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=.
∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=.
∵4×-(-1)×=0,∴∥.
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2))直接判断a与b是否平行.
|思|维|建|模|
3.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断与是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
解:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
则2×6-3×4=0,所以∥.所以与共线.
又=,所以与的方向相同.
针对训练
题型(三) 利用向量共线求参数
[例3] (1)已知向量a=,b=,c=(-3,3).若非零实数m,n满足∥,则=( )
A.3 B.
C.- D.-3
√
解析:由题意可知,na+b=n(1,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),b-mc=
(-1,2)-m(-3,3)=(-1+3m,2-3m).因为(na+b)∥(b-mc),
所以(n-1)(2-3m)=(-n+2)(-1+3m),整理得n=3m,即=3.
(2)在平面直角坐标系中,向量=(1,4),=(2,3),=(x,1),若A,B,C三点共线,则x的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:由A,B,C三点共线,得=λ+μ(λ+μ=1),即(x,1)=λ(1,4)+
μ(2,3)=(λ+2μ,4λ+3μ),则解得
√
利用向量共线的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量共线的坐标表示直接求解.
[提醒] 当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值.
|思|维|建|模|
4.已知a=(2,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka+b与a-2b共线;
解:∵a=(2,0),b=(2,1),
∴ka+b=(2k+2,1),a-2b=(-2,-2).
又ka+b与a-2b共线,
∴-2(2k+2)-1×(-2)=0,即k=-.
针对训练
(2)若=a+3b,=a-mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解:∵=a+3b=(8,3),
=a-mb=(2-2m,-m),
又A,B,C三点共线,
∴-8m-3(2-2m)=0,即m=-3.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(-1,2),b=(4,2) B.a=(-3,2),b=(6,-4)
C.a=,b=(10,5) D.a=(0,-1),b=(3,1)
解析:利用平面向量共线的坐标表示可知,只有B满足题意.
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2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b等于 ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
解析:法一:(待定系数法)设b=(x,y),则2a+b=2(1,2)+(x,y)
=(2+x,4+y)=(3,2),即解得所以b=(1,-2).
法二:b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(1,-2).
√
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3.在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则=( )
A.(-1,2) B.(-2,4)
C.(1,-2) D.(2,-4)
解析:设该平行四边形的对角线的交点为O,
=+=+=+=
(-1,2),故选A.
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4.已知向量=(7,6),=(-3,m),=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m=( )
A. B.
C.- D.-
解析:=+=(4,m+6),因为A,C,D三点共线,所以与共线,所以4×2m=-(m+6),解得m=-.故选D.
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5.(多选)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论不正确的是 ( )
A.a∥b B.a与b可以作为基底
C.a+b=0 D.b-a与a方向相同
解析:由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,所以a∥b,所以A正确,B错误;又由a+b=(1-1,-2+2)=(0,0)=0,所以C正确;因为b-a=(-2,4),所以b-a=-2a,所以b-a与a方向相反,所以D错误.故选B、D.
√
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6.(2024·上海高考)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 .
解析:因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15.
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7.已知向量a=(8,-2),b=(m,1),c=(4,2),若a+b=λc,则实数m= .
解析:a+b=(8+m,-1),λc=(4λ,2λ),
∵a+b=λc,∴8+m=-2,m=-10.
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8.已知向量a=(2sin θ,cos θ),b=(1,1),若a∥b,则tan θ= .
解析:向量a=(2sin θ,cos θ),b=(1,1),若a∥b,则2sin θ-cos θ=0,所以cos θ
=2sin θ,则tan θ===.
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9.(8分)已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m=λb+c(λ为常数).
(1)求a+b;
解:因为a=(2,1),b=(1,1),
所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).
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(2)若a与m平行,求实数λ的值.
解:因为b=(1,1),c=(5,2),
所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2).
又因为a=(2,1),且a与m平行,
所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1.
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10.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1),若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解:=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三点共线,∴∥,
∴8m-3(2m+1)=0,∴m=.
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B级——重点培优
11.某同学因兴趣爱好,自己绘制了一个迷宫图,其图纸如图所示.该同学为让迷宫图更加美观,在绘制过程中,按单位长度给迷宫图标记了刻度,该同学发现图中A,B,C三点恰好共线,则m=( )
A.7 B.
C. D.82
√
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解析:由题图可知A(3,3),B(5,6),C(m,10),所以=(5-3,6-3)=(2,3),
=(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以3(m-5)=2×4,解得m=.
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12.(多选)在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), =m+
n(m,n∈R),则下列说法正确的是( )
A.若∥,则m+n=0
B.若点P在BC上,则m+n=1
C.若++=0,则m-n=0
D.若与共线,则m+n=-1
√
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解析:由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n=
(m+2n,2m+n).因为∥,所以2m+n+m+2n=0,即m+n=0,A正确;
=-=(m+2n-2,2m+n-3),因为点P在BC上,所以∥,所以2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,B错误;=(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n),因为++=0,
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所以(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即解得m=n=,所以m-n=0,C正确;=(m+2n-1,2m+n-1),=(1,-1),由与共线,得(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,整理得m+n=,D错误.
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13.设=,=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b= ,+的最小值为 .
解析:由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故∥,所以(-a+2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2.所以+=(2a+b)=≥=+,当且仅当=,即a=2-,b=2-2时取等号.
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14.(10分)如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
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证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
令||=1,则||=1,||=2.
∵AD⊥AB,CE⊥AB,AD=DC,
∴四边形AECD为正方形.
∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
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∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴=,∴∥,即DE∥BC.
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(2)D,M,B三点共线.
证明:连接MB,MD.∵M为CE的中点,∴M,
∴=(-1,1)-=,
=(1,0)-=.
∴=-,∴∥.
又与有公共点M,∴D,M,B三点共线.
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15.(14分)设向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,求的取值范围.
解:由a=2b,知
∴∴==2-.
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∵cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,-1≤sin α≤1,
∴-2≤cos2α+2sin α≤2,∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,解得≤m≤2.
∴-6≤2-≤1,即-6≤≤1,∴的取值范围为[-6,1].课时跟踪检测(十) 平面向量数乘运算的坐标表示
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C．a＝，b＝(10,5)
D．a＝(0，－1)，b＝(3,1)
2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
3．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则＝( )
A．(－1,2) B．(－2,4)
C．(1，－2) D．(2，－4)
4．已知向量＝(7,6)，＝(－3，m)，＝(－1,2m)，若A，C，D三点共线，则m＝( )
A. B.
C．－ D．－
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，则下列结论不正确的是( )
A．a∥b B．a与b可以作为基底
C．a＋b＝0 D．b－a与a方向相同
6．(2024·上海高考)已知a＝(2,5)，b＝(6，k)，a∥b，则k的值为________.
7．已知向量a＝(8，－2)，b＝(m,1)，c＝(4,2)，若a＋b＝λc，则实数m＝________.
8．已知向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1,1)，若a∥b，则tan θ＝________.
9．(8分)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值.
10．(10分)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值.
B级——重点培优
11.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示．该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m＝( )
A．7 B.
C. D．82
12．(多选)在平面直角坐标系中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2), ＝m＋n(m，n∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若∥，则m＋n＝0
B．若点P在BC上，则m＋n＝1
C．若＋＋＝0，则m－n＝0
D．若与共线，则m＋n＝－1
13．设＝，＝(－a,2)，＝(b,0)，其中a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则2a＋b＝________，＋的最小值为________.
得分
14．(10分)如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，
AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线.
15．(14分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围.
课时跟踪检测(十)
1．选B 利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B满足题意．
2．选A 法一：(待定系数法)设b＝(x，y)，则2a＋b＝2(1,2)＋(x，y)＝(2＋x,4＋y)＝(3,2)，即解得所以b＝(1，－2)．
法二：b＝(2a＋b)－2a＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
3.选A 设该平行四边形的对角线的交点为O，＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)，故选A.
4．选D ＝＋＝(4，m＋6)，因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－(m＋6)，解得m＝－.故选D.
5．选BD 由题意，向量a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，可得1×2－(－2)×(－1)＝0，所以a∥b，所以A正确，B错误；又由a＋b＝(1－1，－2＋2)＝(0,0)＝0，所以C正确；因为b－a＝(－2,4)，所以b－a＝－2a，所以b－a与a方向相反，所以D错误．故选B、D.
6．解析：因为a∥b，所以2k＝5×6，得k＝15.
答案：15
7．解析：a＋b＝(8＋m，－1)，λc＝(4λ，2λ)，
∵a＋b＝λc，∴8＋m＝－2，m＝－10.
答案：－10
8．解析：向量a＝(2sin θ，cos θ)，b＝(1,1)，若a∥b，则2sin θ－cos θ＝0，所以cos θ＝2sin θ，则tan θ＝＝＝.
答案：
9．解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2,1)，且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
10．解：＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
11．选C 由题图可知A(3,3)，B(5,6)，C(m,10)，所以＝(5－3,6－3)＝(2,3)，＝(m－5,10－6)＝(m－5,4)．因为A，B，C三点共线，所以∥，所以3(m－5)＝2×4，解得m＝.
12．选AC 由题知，＝(1,2)，＝(1，－1)，＝(2,1)，所以＝m＋n＝(m＋2n,2m＋n)．因为∥，所以2m＋n＋m＋2n＝0，即m＋n＝0，A正确；＝－＝(m＋2n－2,2m＋n－3)，因为点P在BC上，所以∥，所以2m＋n－3＋m＋2n－2＝0，即m＋n＝，B错误；＝(1－m－2n,1－2m－n)，＝(2－m－2n,3－2m－n)，＝(3－m－2n,2－2m－n)，因为＋＋＝0，所以(6－3m－6n,6－6m－3n)＝(0,0)，即解得m＝n＝，所以m－n＝0，C正确；＝(m＋2n－1,2m＋n－1)，＝(1，－1)，由与共线，得(m＋2n－1)×(－1)－(2m＋n－1)＝0，整理得m＋n＝，D错误．
13．解析：由题意，得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，由于A，B，C三点共线，故∥，所以(－a＋2)×(－4)－(－2)×(b＋2)＝0，即2a＋b＝2.所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋，当且仅当＝，即a＝2－，b＝2－2时取等号．
答案：2 ＋
14．证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
令||＝1，
则||＝1，||＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．∴E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD.∵M为CE的中点，
∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∴＝－，∴∥.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
15．解：由a＝2b，知
∴∴＝＝2－.∵cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，－1≤sin α≤1，∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2.∴－6≤2－≤1，即－6≤≤1，∴的取值范围为[－6,1]．
