6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
平面向量数量积的坐标表示
设a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：
项目 坐标表示
数量积 a·b＝____________
模 |a|＝__________或|a|2＝________
两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则||＝_______________
垂直 a⊥b a·b＝0 ______________
夹角 cos θ＝＝________________
|微|点|助|解|
关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点
(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0.( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )
2．已知＝(3，－4)，则||等于( )
A．3 B．4
C. D．5
3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( )
A．12 B．3
C．－3 D．－12
4．已知向量a＝(－4,3)，b＝(5,12)，则a·b＝( )
A．52 B．－3 C．－10 D．16
5．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
题型(一) 向量数量积的坐标表示
[例1] (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B．15
C．9 D．6
听课记录：
|思|维|建|模|
数量积坐标运算的技巧
(1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
[针对训练]
1．已知点P(2,4)，Q(1,6)，向量＝(2，λ)，若·＝0，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．2 D．1
2．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
题型(二) 向量的模
[例2] (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A. B.
C. D.
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为( )
A．3 B．6
C．2 D．4
听课记录：
|思|维|建|模|
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[针对训练]
3．已知＝(1,3)，＝(3，m)，·＝2，则||＝( )
A．1 B．2
C. D．3
4．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
题型(三) 向量的夹角与垂直
[例3] 设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝.
(1)求a与b的夹角θ.
(2)求证：a＋b与a－b垂直．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.
[针对训练]
5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________.
7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，则实数λ的取值范围为____________．
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
?课前预知教材
x1x2＋y1y2 x＋y x1x2＋y1y2＝0
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)×
2．选D ||＝＝5.
3．选D ∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得m＝－12.
4．选D 由已知得a·b＝－20＋36＝16.故选D.
5．解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝.
答案：
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析：(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，
∴a＋2b＝(－5,6)．∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
(2)因为四边形ABCD为矩形，建立平面直角坐标系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．则＝(6,3)，＝(2，－1)，·＝6×2－3×1＝9.
答案：(1)C (2)C
[针对训练]
1．选D 由P(2,4)，Q(1,6)可得＝(－1,2)，又＝(2，λ)，所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D.
2.选B 建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(1,4)，
则＝(2,2)，＝(－1,4)，
所以·＝6.
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4.∴3a＋b＝(1,2)，则|3a＋b|＝.
(2)
如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因为AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)．所以＝(2，－x)，＝(1，a－x)，4＝(4,4a－4x)．所以＋4＝(6,4a－5x)．
所以|＋4|＝≥6.所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|＋4|的最小值为6.故选B.
答案：(1)A (2)B
[针对训练]
3．选B 因为＝－＝(2，m－3)，则·＝2＋3(m－3)＝2，则m＝3，所以＝(2,0)，则||＝2，故选B.
4．解析：由题意得2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
则|2a－b|＝＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－cos α＋sin α，则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α
＝cos(120°－α)．
因为0°≤α≤90°，所以30°≤120°－α≤120°.
又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°－α，
即两向量的夹角为120°－α.
(2)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝·＝＋＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．
[针对训练]
5．选D 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
6．解析：
以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.故cos∠DOE＝＝＝.
答案：
7．解析：因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
因为a，b的夹角θ为钝角，
所以
即所以λ＜1且λ≠－1.
所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,1)(共58张PPT)
6.3.5
平面向量数量积的坐标表示
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
平面向量数量积的坐标表示
设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有:
项目 坐标表示
数量积 a·b=___________
模
|a|=___________或|a|2=_______
x1x2+y1y2
+
两点间距离公式
垂直 a⊥b a·b=0 ____________
夹角
续表
|微|点|助|解|
关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点
(1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).
(2)公式a·b=|a||b|cos
与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.
(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0°. ( )
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b x1x2-y1y2=0. ( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. ( )
×
×
×
2.已知=(3,-4),则||等于( )
A.3 B.4
C. D.5
解析: ||==5.
√
3.若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是 ( )
A.12 B.3
C.-3 D.-12
解析: ∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12.
√
4.已知向量a=(-4,3),b=(5,12),则a·b= ( )
A.52 B.-3
C.-10 D.16
解析:由已知得a·b=-20+36=16.故选D.
√
5.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 .
解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 向量数量积的坐标表示
[例1] (1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( )
A.12 B.0
C.-3 D.-11
解析: ∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),
∴a+2b=(-5,6).∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
√
(2)已知矩形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=
2,则·等于( )
A.20 B.15
C.9 D.6
解析:因为四边形ABCD为矩形,建立平面直角坐标
系如图.A(0,0),M(6,3),N(4,4).则=(6,3),=(2,-1),
·=6×2-3×1=9.
√
|思|维|建|模|
数量积坐标运算的技巧
(1)进行向量的数量积运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.
(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,一般先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.
1.已知点P(2,4),Q(1,6),向量=(2,λ),若·=0,则实数λ的值为( )
A. B.-
C.2 D.1
解析:由P(2,4),Q(1,6)可得=(-1,2),又=(2,λ),所以·=-2+2λ=0,解得λ=1.故选D.
√
针对训练
2.矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,则·=( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,因为矩形ABCD中,
AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,所以A(0,0),B(2,0),
E(2,2),F(1,4),则=(2,2),=(-1,4),所以·=6.
√
题型(二) 向量的模
[例2] (1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于( )
A. B.
C. D.
解析:∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0,
解得y=-4.∴3a+b=(1,2),
则|3a+b|=.
√
(2)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点,则|+4|的最小值为( )
A.3 B.6
C.2 D.4
√
解析:如图,以B点为坐标原点,建立平面直角坐标系,
设AB=a,BP=x(0≤x≤a),因为AD=1,BC=2,所以P(0,x),
C(2,0),D(1,a).所以=(2,-x),=(1,a-x),4=(4,4a-4x).
所以+4=(6,4a-5x).
所以|+4|=≥6.所以当4a-5x=0,即x=a时,|+4|的最小值为6.故选B.
求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|==,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化
|思|维|建|模|
3.已知=(1,3),=(3,m),·=2,则||=( )
A.1 B.2
C. D.3
解析:因为=-=(2,m-3),则·=2+3(m-3)=2,则m=3,所以=
(2,0),则||=2,故选B.
针对训练
√
4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,0),则|2a-b|的最大值为 .
解析:由题意得2a-b=(2cos θ-,2sin θ),
则|2a-b|==
=,
当且仅当cos θ=-1时,|2a-b|取最大值2+.
2+
题型(三) 向量的夹角与垂直
[例3] 设平面上向量a=(cos α,sin α)(0°≤α≤90°),b=.
(1)求a与b的夹角θ.
解:由题意知,|a|=1,|b|=1,a·b=-cos α+sin α,
则cos θ===-cos α+sin α=cos(120°-α).
因为0°≤α≤90°,所以30°≤120°-α≤120°.
又0°≤θ≤180°,所以θ=120°-α,
即两向量的夹角为120°-α.
(2)求证:a+b与a-b垂直.
解:证明:因为(a+b)·(a-b)=·
=+=cos2α-+sin2α-=1--=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=计算出这两个向量的模.
(3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ
|思|维|建|模|
5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D.
针对训练
√
6.如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE
的值为 .
解析:以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=,=.
故cos∠DOE===.
7.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为钝角,则实数λ的取值范围为 .
解析:因为a=(1,-1),b=(λ,1),
所以|a|=,|b|=,a·b=λ-1.
因为a,b的夹角θ为钝角,
(-∞,-1)∪(-1,1)
所以即
所以λ<1且λ≠-1.
所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为1,则|a-b|=( )
A.2 B.
C.2 D.3
解析:由题图可知,a=(3,1),b=(1,2),
∴a-b=(2,-1),|a-b|==,故选B.
√
1
5
6
7
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11
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13
14
15
2
3
4
2.已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥b,则|b|= ( )
A. B.20
C.2 D.
解析:因为a⊥b,所以a·b=m-2=0,解得m=2.所以b=(2,-1).
所以|b|==,故选D.
√
1
5
6
7
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10
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12
13
14
15
3
4
2
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,
整理得λμ=-1.故选D.
√
1
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9
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15
3
4
2
4.(多选)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是( )
A.|a+b|=16
B.(a+b)·a=2
C.cos=
D.向量a+b在a上的投影向量为2a
√
√
1
5
6
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9
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15
3
4
2
解析:因为向量a=(1,0),b=(1,2),所以a+b=(1+1,0+2)=(2,2).所以|a+b|= =4,A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2,B正确.由向量的夹角公式,可得cos==,C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a,D正确.故选B、D.
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2
5.(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t= ( )
A.-6 B.-5
C.5 D.6
√
1
5
6
7
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15
3
4
2
解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,
b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为=,所以cos=cos,
即=,即=3+t,解得t=5,故选C.
1
5
6
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15
3
4
2
6.已知向量a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)= .
解析: ∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4.
4
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)·b,则|c|等于 .
解析:易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).所以|c|==8.
8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.已知向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是 .
解析:因为=(-1,k),=(2,1),所以=-=(3,1-k).
若A=90°,则·=0,∴-2+k=0,解得k=2;若B=90°,则·=0,
∴-3+k(1-k)=0,无解;若C=90°,则·=0,∴6+(1-k)=0,解得k=7.
2或7
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(10分)已知a=(1,2),b=(1,-1).
(1)若θ为2a+b与a-b的夹角,求θ的值;
解:因为a=(1,2),b=(1,-1),
所以2a+b=(3,3),a-b=(0,3).
所以cos θ===.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)若2a+b与ka-b垂直,求k的值.
解: ka-b=(k-1,2k+1),依题意(3,3)·(k-1,2k+1)=0,所以3k-3+6k+3=0.
所以k=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(12分)在平面直角坐标系中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
解:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).
所以|+|=2,|-|=4.
故所求的两条对角线的长分别为2,4.
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2
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解:由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t),由(-t)·=0,
得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0.从而5t=-11,所以t=-.
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B级——重点培优
11.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
√
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解析: a⊥b x2+x+2x=0 x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确.a∥b 2x+2=x2 x2-2x-2=0 x=
1±,故B、D错误.
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12.(多选)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若∠ABC为锐角,则实数m可能的取值是( )
A.-1 B.0
C. D.1
√
√
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解析:因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),所以=-=(-3,-1),
=-=(-1-m,-m).因为∠ABC为锐角,所以·=(-3,-1)·(-1-m,-m)
=3+3m+m>0,解得m>-.当∥时,(-3)×(-m)-(-1-m)×(-1)=0,解得m=.当∠ABC为锐角时,实数m的取值范围是∪.所以实数m可能的取值是0,1.故选B、D.
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2
13.在边长为12的正三角形ABC中,E为BC的中点,F在线段AC上且AF=
FC.若AE与BF交于M,则·= .
解析:如图所示,以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分
线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,6),B(-6,0),AF=
FC,F(2,4),设M(0,m),=λ=λ(8,4),即(6,m)=
λ(8,4),m=3,·=(0,3)·(-6,-3)=-27.
-27
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14.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=,∠BAD=90°.
若P为线段AB上一动点,则·的最大值为 .
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2
解析:以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(2,),D(0,),设P(x,0),其中0≤x≤3,则=(x-2,-),
=(x,-),∴·=x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-1)2+2.当x=3时,·有最大值6.
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15.(14分)在平面直角坐标系中,已知向量=,=,
=(其中m∈R),D为坐标平面内一点.
(1)若A,B,C三点共线,求m的值;
解:因为向量=,=,=,所以=-=(2,2),
=-=(m-1,4).由A,B,C三点共线知,∥,即2(m-1)-2×4=0,解得m=5.
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(2)若向量与的夹角为,求m的值;
解:由(1)得cos<,>=
==,
解得m=1.
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3
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2
(3)若四边形ABCD为矩形,求点D的坐标.
解:设D(x,y),则=(2,2),=-=(m-3,2),=-=(x-m,y-3).若四边形ABCD为矩形,则⊥,即·=2(m-3)+4=0,解得m=1.
由-=,得
解得x=-1,y=1,故D(-1,1).课时跟踪检测(十一) 平面向量数量积的坐标表示
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则|a－b|＝( )
A．2 B.
C．2 D．3
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a⊥b，则|b|＝( )
A. B．20
C．2 D.
3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
4．(多选)已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是( )
A．|a＋b|＝16
B．(a＋b)·a＝2
C．cos〈a，b〉＝
D．向量a＋b在a上的投影向量为2a
5．(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
6．已知向量a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________.
7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________.
8．已知向量＝(－1，k)，＝(2,1)，若△ABC是直角三角形，则k的取值可能是_______.
9．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值.
10．(12分)在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
B级——重点培优
11．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
12．(多选)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m可能的取值是( )
A．－1 B．0
C. D．1
13．在边长为12的正三角形ABC中，E为BC的中点，F在线段AC上且AF＝FC.若AE与BF交于M，则·＝________.
14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，AD＝，∠BAD＝90°.若P为线段AB上一动点，则·的最大值为______.
15．(14分)在平面直角坐标系中，已知向量＝，＝，＝(其中m∈R)，D为坐标平面内一点.
(1)若A，B，C三点共线，求m的值；
(2)若向量与的夹角为，求m的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求点D的坐标．
课时跟踪检测(十一)
1．选B 由题图可知，a＝(3,1)，b＝(1,2)，
∴a－b＝(2，－1)，|a－b|＝＝，故选B.
2．选D 因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，解得m＝2.所以b＝(2，－1)．所以|b|＝＝，故选D.
3．选D 因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
4．选BD 因为向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，所以a＋b＝(1＋1,0＋2)＝(2,2)．所以|a＋b|＝ ＝4，A错误．a·(a＋b)＝1×2＋0×2＝2，B正确．由向量的夹角公式，可得cos〈a，b〉＝＝，C错误．向量a＋b在a上的投影向量为·＝×a＝2a，D正确．故选B、D.
5．选C 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
6．解析：∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.
答案：4
7．解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)．所以|c|＝＝8.
答案：8
8．解析：因为＝(－1，k)，＝(2,1)，所以＝－＝(3,1－k)．
若A＝90°，则·＝0，∴－2＋k＝0，解得k＝2；若B＝90°，则·＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，无解；若C＝90°，则·＝0，∴6＋(1－k)＝0，解得k＝7.
答案：2或7
9．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，
所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．
所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1，2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0.所以k＝0.
10．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.从而5t＝－11，所以t＝－.
11．选C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误．
12．选BD 因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝－＝(－3，－1)，＝－＝(－1－m，－m)．因为∠ABC为锐角，所以·＝(－3，－1)·(－1－m，－m)＝3＋3m＋m>0，解得m>－.当∥时，(－3)×(－m)－(－1－m)×(－1)＝0，解得m＝.当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪.所以实数m可能的取值是0,1.故选B、D.
13．解析：如图所示，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,6)，B(－6,0)，AF＝FC，F(2,4)，设M(0，m)，＝λ＝λ(8，4)，即(6，m)＝λ(8,4)，m＝3，·＝(0，3)·(－6，－3)＝－27.
答案：－27
14．解析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3，0)，C(2，)，D(0，)，设P(x,0)，其中0≤x≤3，则＝(x－2，－)，＝(x，－)，∴·＝x(x－2)＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.当x＝3时，·有最大值6.
答案：6
15．解：(1)因为向量＝，＝，＝，所以＝－＝(2,2)，＝－＝(m－1,4)．由A，B，C三点共线知，∥，即2(m－1)－2×4＝0，解得m＝5.
(2)由(1)得cos?，?＝
＝＝，
解得m＝1.
(3)设D(x，y)，则＝(2,2)，＝－＝(m－3，2)，＝－＝(x－m，y－3)．若四边形ABCD为矩形，则⊥，即·＝2(m－3)＋4＝0，解得m＝1.
由－＝，得
解得x＝－1，y＝1，故D(－1,1)．