1.4 解直角三角形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

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1.4 解直角三角形
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．12
2．在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tan∠B，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
5．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，，AC＝4，那么AB的长为（　　）
A．3 B．5 C． D．
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，下列用线段比表示cosA的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．在如图每个小方格均为小正方形的网格中，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，若∠A＝α，BC＝4，则AC的长是（　　）
A．4sinα B． C． D．4tanα
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，点D是AB边上一点，BD＝5，，则AC＝　 　．
12．已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为 　 　．
13．已知△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，那么AB的长是 　 　．
14．已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝　 　．
15．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．若这条船继续向正北航行，再航行 　 　海里，小船与灯塔C的距离最短．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC＝3，BC＝4，则sin∠ACD的值为 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4．
（1）求△BOC的面积；
（2）求∠ACD的正弦值．
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
19．如图1是一本厚度为2cm的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图2，把这本字典放在桌面MN上，将上面的封面OA打开45°角到OB位置时，点B到OA的距离BE＝8cm．现将封面OA打开120°角到OC位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）．
（1）求字典的封面宽OB；
（2）求点C到桌面MN的距离CF．
20．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，sinB，求∠A的正切值为多少？
21．如图，在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝12，求AB的长．
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，，，求BC的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝3，，求BC的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO．
（1）求AB的长及∠BAO的正弦值．
（2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标．
25．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝14，AD＝12，sinB，求tan∠ACB的值．
1.4 解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
在Rt△ABC中，
cos∠ACB，
即，
所以AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．【答案】D
【分析】由锐角的正切定义，即可解决问题．
【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H，
∵A（5，12），
∴AH＝12，OH＝5，
∵∠AOH＝θ，
∴tanθ，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义．
3．【答案】B
【分析】过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
AB，
cos∠B．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键．
4．【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵tan∠B，
∴ADBD，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（BD）2+BD2＝102，
∴BD＝8，
∴BC＝16；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．【答案】B
【分析】先证明△ABC是直角三角形，再利用正弦的定义，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，，，，
∵AB2＝25，AC2＝20，BC2＝5，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．【答案】C
【分析】根据余弦的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
在Rt△ABC中，
cosA，
则，
所以AB．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】根据正切的定义结合正方形方格即可解答．
【解答】解：如图：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正切的定义，直角三角形中，一锐角的对边除以其邻边的值，称为此角的正切．
8．【答案】D
【分析】证明∠A＝∠DCB，根据余弦函数的定义判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴cosA＝cos∠DCB，
故选项A，B，C正确，选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是记住余弦函数的定义．
9．【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AC，BC，AB的长，再借助勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°即可解决问题．
【解答】解：由题知，
令网格中每个小正方形的边长为1，
则，
，
．
又因为，
即AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则tan∠ABC．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，通过勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴sinA，
∵∠A＝α，BC＝4，
∴AC．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】6或 ．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据sin∠DCB，可得出，设DE＝3k，CD＝5k，则CE＝4k，BE＝8﹣4k，在Rt△BDE中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE，BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利用相似三角形的性质可求出AC的长．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵sin∠DCB，
在Rt△CDE中，sin∠DCB，
∴，
设DE＝3k，CD＝5k，
由勾股定理得：CE4k，
∵BC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，
在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，
由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，
即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，
整理得：25k2﹣64k+39＝0，
解得：k＝1，或k，
当k＝1时，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC，
即3：AC＝4：8，
∴AC＝6，
当k，DE＝3k，BE＝8﹣4k，
同理：DE：AC＝BE：BC，
即，
∴AC．
综上所述：AC＝6或 ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
12．【答案】．
【分析】如图：过B作BE⊥AC，设BC＝2，则BG＝CG＝1，再根据直角三角形的性质可得；根据三角形的重心是中线的三等分点可得AG＝3；再运用等腰三角形的性质和勾股定理可得；运用正切的定义和勾股定理可得，最后根据正弦的定义即可解答．
【解答】解：如图：过B作BE⊥AC，设BC＝2，则BG＝CG＝1，
∵D是重心，BD⊥CD，
∴，
∴，AD＝2DG＝2，即AG＝3，
∵AD是中线，AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴，
∵
∴BE＝3CE，
∵BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝CE2+（3CE）2，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形重心的性质、正切、正弦的定义等知识点，掌握三角形的重心是中线的三等分点成为解题的关键．
13．【答案】10．
【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵cosA，AC＝6，
∴AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦”是解决本题的关键．
14．【答案】5．
【分析】先利用互余关系说明∠B与∠DAC的关系，再利用cosB、AD求出AC．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC上的高是AD，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°．
∵∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC．
∴cosB＝cos∠DAC．
∵AD＝4，
∴AC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握“同角的余角相等”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15．【答案】15．
【分析】首先根据题意求出AB＝15×2＝30，然后根据等边对等角得到BC＝AB＝30，过点C作CP⊥AB于点P，得到线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，
∴AB＝15×2＝30（海里），
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝30（海里），
如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴（海里），
∴再航行15海里，小船与灯塔C的距离最短．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．
16．【答案】．
【分析】利用互余关系先说明∠ACD＝∠B，在Rt△ABC中求出∠B的正弦即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°．
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握“同角的余角相等”、勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）可过点O作AB的平行线，借助于相似三角形的性质求出BC边上的高即可解决问题．
（2）过点A作CD边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题．
【解答】解：（1）过点O作AB的平行线，分别与AD，BC交于点M，N，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴OM⊥AD，ON⊥BC．
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
又∵MN＝AB＝3，
∴OM＝1，ON＝2，
∴．
（2）在Rt△ABC中，
AC．
过点D作BC的垂线，垂足为E，过点A作CD垂线，垂足为F，
在Rt△CDE中，
CD．
∵，
∴AF．
在Rt△CAF中，
sin∠ACD．
【点评】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．
18．【答案】（1）9；（2）．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝6，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC，tan∠DAC，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+6，
解得m＝3，
∴AC＝3m＝9；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝15，AC＝9，BD＝6，
∵，
∴，
解得DE，
∵AC＝9，CD＝2m＝6，∠C＝90°，
∴AD，
∴AE，
∴tan∠BAD，
即tan∠BAD的值是．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．【答案】（1）16cm；
（2）（）cm．
【分析】（1）依题意得∠BOE＝45°，BE＝82cm，∠BEO＝90°，在Rt△BEO中利用锐角三角函数可求出OB的长；
（2）延长EO交CF于H，依题意可得HF＝OD＝2cm，∠CHO＝90°，∠CDH＝60°，在Rt△OCH中利用锐角三角函数可求出CH的长，进而可得CF．
【解答】解：（1）依题意得：∠BOE＝45°，BEcm，∠BEO＝90°，
在Rt△BEO中，sin∠BOE，
∴OB16（m）；
（2）延长EO交CF于H，如图所示：
依题意得：∠EOC＝120°，OC＝OB＝16cm，∠CFD＝90°，OE∥MN，HF＝OD＝2cm，
∴∠CHO＝90°，∠CDH＝180°﹣∠EOC＝60°，
在Rt△OCH中，sin∠CDH，
∴CH＝CD sin∠CDH＝16 sin60°（cm），
∴CF＝CH+HF＝（）cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
20．【答案】．
【分析】根据正弦值及勾股定理求出BCAC，再根据正切定义求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinB，
∴ABAC，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AC2+BC2，
∵BC＞0，
∴BCAC，
∴∠A的正切值．
【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
21．【答案】6+6．
【分析】先作CD⊥AB于点D，然后根据三角形内角和，可以求得∠ACB的度数，从而可以得到∠ACD和∠DCB的度数，再根据直角三角形的性质和锐角三角形函数，即可得到AD和CD、BD的长，进而可以求得AB的长．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图，
∵∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠DCB＝45°，
∴ADAC＝6，∠DCB＝∠B，
∴CD＝AC sin60°＝126，CD＝BD，
∴AB＝AD+BD＝6+6．
【点评】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．【答案】．
【分析】过点A作BC边的垂线，构造直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°．
在Rt△ABD中，
sin45°，
则AD，
同理可得，BD＝2．
在Rt△ACD中，
sin∠C，
则AC．
由勾股定理得，
CD．
∴BC＝CD﹣BD．
【点评】本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形是解题的关键．
23．【答案】15．
【分析】根据已知条件可以设AC＝4x、BC＝5x，据此得DC＝5x﹣3，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，由此建立方程即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴设AC＝4x、BC＝5x，
而BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝5x﹣3，
∵∠ADC＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝CA，
∴5x﹣3＝4x，
∴x＝3，
∴BC＝15．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．
24．【答案】（1）；；
（2）（，0）或（，0）．
【分析】（1）先由点A（0，4），得OA＝4，在Rt△OAB中由tan∠ABO，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值；
（2）过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，由勾股定理得AD，AC＝5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC，则sin∠CAD，由此得CE，然后由三角形的面积公式得S△ACDAD CECD OA，得，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（0，4），
∴OA＝4，
在Rt△OAB中，tan∠ABO，
∴OBOA＝6，
由勾股定理得：AB，
∴sin∠BAO，
（2）过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD，
∵点C在x轴正半轴上，且OC＝3，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC5，
在Rt△AOB中，sin∠ABO，
即sin∠ABC，
∵∠CAD＝∠ABC，
在Rt△ACE中，AC＝5，sin∠CAD，
∴CE，
又∵OD＝t，OC＝3，
∴CD＝|t﹣3|，
由三角形的面积公式得：S△ACDAD CECD OA，
∴，
整理得：27t2﹣312t+68＝0，
解得：t1，t2，
∴点D的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
25．【答案】．
【分析】根据sinB，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出tan∠ACB的值．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴．
∴tan∠ACB的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
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