2.3 确定二次函数的表达式（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 2.3 确定二次函数的表达式（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-22 15:33:36 | ||
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文档简介
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2.3 确定二次函数的表达式
一．选择题（共10小题）
1．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5
C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
2．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2形式，下列变形正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x﹣1）2+5 D．y＝（x+1）2+3
3．将二次函数y＝x2﹣2x+2化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+1
4．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+4 B．y＝（x+4）2+4
C．y＝（x﹣4）2+8 D．y＝（x﹣2）2﹣4
5．用配方法将二次函数yx2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y（x﹣2）2﹣4 B．y（x﹣1）2﹣3
C．y（x﹣2）2﹣5 D．y（x﹣2）2﹣6
6．已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣4
7．形状与抛物线y＝﹣x2﹣2相同，对称轴是直线x＝﹣2，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A．y＝x2+4x+3
B．y＝﹣x2﹣4x+3
C．y＝﹣x2+4x+3
D．y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x+3
8．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2
C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
9．把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
10．把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
二．填空题（共6小题）
11．抛物线经过点A（2，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C．若OC＝2，则该抛物线解析式为 ．
12．写出一个与抛物线y＝3x2﹣2x+1开口方向相同的抛物线的表达式： ．
13．抛物线y＝ax2的图象经过点A（3，﹣3），这个函数的解析式为 ．
14．如果抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），那么k的值是
．
15．已知二次函数y＝2x2+bx+c可以写成y＝2（x﹣h）2﹣3，则b+c的取值范围是 ．
16．抛物线的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣1，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
18．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0）和点，顶点为C．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点C的坐标．
（3）当时，直接写出x的取值范围．
20．将二次函数y＝x2﹣8x+5配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
21．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
（1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）；
（2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．
22．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点D的坐标．
23．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围．
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值；
25．已知抛物线y＝ax2+2x（a≠0）的图象经过点A（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
2.3 确定二次函数的表达式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】把y＝x2﹣4x﹣1进行配方得到y＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）2，﹣5．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；顶点式y＝a（x﹣k）2+h，顶点坐标为（k，h）；交点式y＝（x﹣x1）（x﹣x2），x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
2．【答案】A
【分析】把解析式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数三种形式，解题的关键掌握完全平方公式，把二次函数解析式配成顶点式．
3．【答案】D
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2
＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4．【答案】A
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+8
＝x2﹣4x+4+4
＝（x﹣2）2+4，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：yx2﹣2x﹣4（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
6．【答案】A
【分析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2+4（a≠0），然后将（4，0）代入，可求得a的值．
【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是（2，4），则设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4（a≠0），
把（4，0）代入，得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
故这个二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据顶点坐标正确设出二次函数的表达式．
7．【答案】D
【分析】由题中给出的条件，对称轴和与y轴的交点坐标，可以确定c的值及a与b的关系，再从所给选项中判断出选项即可．
【解答】解：设所求抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由抛物线过点（0，3），可得：c＝3，
由抛物线形状与y＝﹣x2﹣2相同，
分为两种情况：①开口向下，则a＜0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x2．则b＜0，
由此可得出B选项符合题意．
②开口向下，则a＞0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x2．则b＞0，
由此可得出A选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D，
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的方法，对选择题，也可以用排除法，这样更简单．
8．【答案】D
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
9．【答案】B
【分析】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
10．【答案】C
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+3
＝2x2﹣8x+8﹣8+3
＝2（x2﹣4x+4）﹣5
＝2（x﹣2）2﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后利用待定系数法求出即可．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
∵抛物线经过点A（2，0），B（﹣1，0），可以设函数解析式是：y＝a（x﹣2）（x+1），
把（0，2）代入解析式得，2＝a（0﹣2）（0+1）
解得a＝﹣1，
则函数解析式是：y＝﹣2（x﹣2）（x+1）即y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
12．【答案】y＝3x2（答案不唯一）．
【分析】抛物线的形状开口方向和a值有关．
【解答】解：∵一个抛物线与抛物线y＝3x2﹣2x+1开口方向相同，
∴a＞0，
∴这个抛物线的解析式可以为y＝3x2，
故答案为：y＝3x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和函数的性质是关键．
13．【答案】．
【分析】把点A（3，﹣3）代入二次函数y＝ax2中，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：把点A（3，﹣3）代入y＝ax2中，
得﹣3＝a×32，
解得，
∴该函数的解析式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进行求解，是解决本题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k．
【解答】解：∵抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），
∴﹣k2+2＝1，
解得：k＝±1，
∵k+1≠0，
∴k＝1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式的知识点，解答本题的关键是理解抛物线与y轴的交点问题，本题难度不大．
15．【答案】b+c≥﹣5．
【分析】将顶点式展开得到b＝﹣4h，c＝2h2﹣3，代入b+c进行配方得到b+c＝2h2﹣4h﹣3＝2（h﹣1）2﹣5≥﹣5即可．
【解答】解：∵y＝2（x﹣h）2﹣3＝2x2﹣4hx+2h2﹣3，
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣3，
∴b+c＝2h2﹣4h﹣3＝2（h﹣1）2﹣5≥﹣5，
∴b+c≥﹣5，
故答案为：b+c≥﹣5，
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，求出b、c的代数式是关键．
16．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
【分析】根据题意设出顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，然后将（0，3）代入求解即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣1，
∴设顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将（0，3）代入得，4a﹣1＝3，解得a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解二次函数表达式．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到点（0，﹣3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），然后利用函数图象写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
18．【答案】（1）y＝2（x﹣1）2+1；
（2）二次函数图象的开口方向向上；对称轴是直线x＝1；顶点坐标是（1，1）．
【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+8＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1；
故二次函数的顶点式为y＝2（x﹣1）2+1；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x﹣1）2+1，
a＝2＞0，
∴二次函数图象的开口方向向上；对称轴是直线x＝1、顶点坐标是（1，1）．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
19．【答案】（1）yx2+2x；
（2）C（2，）；
（3）0≤x≤4．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入yx2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），
∴，
解得，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为yx2+2x；
（2）∵yx2+2x（x﹣2）2，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（3）∵y时，x＝0或4，
根据图象得当y时，0≤x≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
20．【答案】y＝（x﹣4）2﹣11．
【分析】根据配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣8x+5＝（x2﹣8x+16）﹣16+5＝（x﹣4）2﹣11，
所以y＝（x﹣4）2﹣11，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣11．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
21．【答案】（1）y＝3x2﹣1；
（2）y＝﹣x2+1．
【分析】（1）把（1，2）代入解析式求出a即可；
（2）根据二次函数的性质易得a＝﹣1，c＝1，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝2，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣1；
（2）因为抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，
所以a＝﹣1，
而抛物线y＝ax2+c的顶点为（0，1），则c＝1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）对称轴为直线x＝1，顶点D的坐标为（1，4）．
【分析】（1）由题意设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），代入点B（0，3）求得a的值即可得解；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点D的坐标即可．
【解答】解：（1）由题意设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入点B（0，3）得，3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点D的坐标为（1，4）．
【点评】本题主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．【答案】（1）y＝x2﹣4x+2；y＝x2﹣2；
（2）n＜﹣2．
【分析】（1）将（2m+1，7）代入 y＝x2﹣（m+2）x+m 求出m，即可求出答案；
（2）当m＞0时，求得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2，解方程得到抛物线与x轴交点坐标为（2，0），（2，0），当直线 y＝x+n 与抛物线 y＝x2﹣4x+2 只有1个公共点时，根据Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，得到n，于是得到结论．
【解答】解：（1）已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上，
∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，
解得m＝2 或 m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2；
（2）当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2
令 y＝x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（2，0），（2，0），
如图，当直线y＝x+n经过（2，0）时，20，
解得n＝﹣2，
当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，
于是得到x2﹣4x+2＝x+n，
整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0，
∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n，
∴n的取值范围是n＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
24．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）9．
【分析】（1）直接把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中求出a，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）根据题意得到x的范围为﹣2≤x≤2，再分别计算出x＝2和x＝﹣2所对应的函数值，则根据二次函数的性质得到对应的y的范围，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵点P（x，y）到y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤x≤2，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5；x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；x＝1时，y有最小值﹣4，
∴当﹣2≤x≤2时，﹣4≤y≤5，
即n＝﹣4，m＝5，
∴m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
25．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出二次函数图象的对称轴，根据抛物线性质可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝ax2+2x得：
3＝a+2，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∵1＞0，
∴抛物线y＝x2+2x的开口向上，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求出二次函数解析式．
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2.3 确定二次函数的表达式
一．选择题（共10小题）
1．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5
C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
2．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2形式，下列变形正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x﹣1）2+5 D．y＝（x+1）2+3
3．将二次函数y＝x2﹣2x+2化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+1
4．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+4 B．y＝（x+4）2+4
C．y＝（x﹣4）2+8 D．y＝（x﹣2）2﹣4
5．用配方法将二次函数yx2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y（x﹣2）2﹣4 B．y（x﹣1）2﹣3
C．y（x﹣2）2﹣5 D．y（x﹣2）2﹣6
6．已知顶点为（2，4）的抛物线过点（4，0），此抛物线的表达式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣4
7．形状与抛物线y＝﹣x2﹣2相同，对称轴是直线x＝﹣2，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A．y＝x2+4x+3
B．y＝﹣x2﹣4x+3
C．y＝﹣x2+4x+3
D．y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x+3
8．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2
C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
9．把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
10．把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
二．填空题（共6小题）
11．抛物线经过点A（2，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C．若OC＝2，则该抛物线解析式为 ．
12．写出一个与抛物线y＝3x2﹣2x+1开口方向相同的抛物线的表达式： ．
13．抛物线y＝ax2的图象经过点A（3，﹣3），这个函数的解析式为 ．
14．如果抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），那么k的值是
．
15．已知二次函数y＝2x2+bx+c可以写成y＝2（x﹣h）2﹣3，则b+c的取值范围是 ．
16．抛物线的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣1，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
18．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0）和点，顶点为C．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点C的坐标．
（3）当时，直接写出x的取值范围．
20．将二次函数y＝x2﹣8x+5配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
21．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
（1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）；
（2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．
22．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点D的坐标．
23．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围．
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值；
25．已知抛物线y＝ax2+2x（a≠0）的图象经过点A（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
2.3 确定二次函数的表达式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】把y＝x2﹣4x﹣1进行配方得到y＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）2，﹣5．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；顶点式y＝a（x﹣k）2+h，顶点坐标为（k，h）；交点式y＝（x﹣x1）（x﹣x2），x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
2．【答案】A
【分析】把解析式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数三种形式，解题的关键掌握完全平方公式，把二次函数解析式配成顶点式．
3．【答案】D
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2
＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4．【答案】A
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+8
＝x2﹣4x+4+4
＝（x﹣2）2+4，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：yx2﹣2x﹣4（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
6．【答案】A
【分析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2+4（a≠0），然后将（4，0）代入，可求得a的值．
【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是（2，4），则设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+4（a≠0），
把（4，0）代入，得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
故这个二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据顶点坐标正确设出二次函数的表达式．
7．【答案】D
【分析】由题中给出的条件，对称轴和与y轴的交点坐标，可以确定c的值及a与b的关系，再从所给选项中判断出选项即可．
【解答】解：设所求抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由抛物线过点（0，3），可得：c＝3，
由抛物线形状与y＝﹣x2﹣2相同，
分为两种情况：①开口向下，则a＜0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x2．则b＜0，
由此可得出B选项符合题意．
②开口向下，则a＞0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x2．则b＞0，
由此可得出A选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D，
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的方法，对选择题，也可以用排除法，这样更简单．
8．【答案】D
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
9．【答案】B
【分析】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
10．【答案】C
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+3
＝2x2﹣8x+8﹣8+3
＝2（x2﹣4x+4）﹣5
＝2（x﹣2）2﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【答案】y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后利用待定系数法求出即可．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
∵抛物线经过点A（2，0），B（﹣1，0），可以设函数解析式是：y＝a（x﹣2）（x+1），
把（0，2）代入解析式得，2＝a（0﹣2）（0+1）
解得a＝﹣1，
则函数解析式是：y＝﹣2（x﹣2）（x+1）即y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
12．【答案】y＝3x2（答案不唯一）．
【分析】抛物线的形状开口方向和a值有关．
【解答】解：∵一个抛物线与抛物线y＝3x2﹣2x+1开口方向相同，
∴a＞0，
∴这个抛物线的解析式可以为y＝3x2，
故答案为：y＝3x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和函数的性质是关键．
13．【答案】．
【分析】把点A（3，﹣3）代入二次函数y＝ax2中，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：把点A（3，﹣3）代入y＝ax2中，
得﹣3＝a×32，
解得，
∴该函数的解析式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进行求解，是解决本题的关键．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k．
【解答】解：∵抛物线y＝（k+1）x2+x﹣k2+2与y轴的交点为（0，1），
∴﹣k2+2＝1，
解得：k＝±1，
∵k+1≠0，
∴k＝1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式的知识点，解答本题的关键是理解抛物线与y轴的交点问题，本题难度不大．
15．【答案】b+c≥﹣5．
【分析】将顶点式展开得到b＝﹣4h，c＝2h2﹣3，代入b+c进行配方得到b+c＝2h2﹣4h﹣3＝2（h﹣1）2﹣5≥﹣5即可．
【解答】解：∵y＝2（x﹣h）2﹣3＝2x2﹣4hx+2h2﹣3，
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣3，
∴b+c＝2h2﹣4h﹣3＝2（h﹣1）2﹣5≥﹣5，
∴b+c≥﹣5，
故答案为：b+c≥﹣5，
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，求出b、c的代数式是关键．
16．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
【分析】根据题意设出顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，然后将（0，3）代入求解即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣1，
∴设顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将（0，3）代入得，4a﹣1＝3，解得a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解二次函数表达式．
三．解答题（共9小题）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把（1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到点（0，﹣3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），然后利用函数图象写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
18．【答案】（1）y＝2（x﹣1）2+1；
（2）二次函数图象的开口方向向上；对称轴是直线x＝1；顶点坐标是（1，1）．
【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+8＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1；
故二次函数的顶点式为y＝2（x﹣1）2+1；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x﹣1）2+1，
a＝2＞0，
∴二次函数图象的开口方向向上；对称轴是直线x＝1、顶点坐标是（1，1）．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
19．【答案】（1）yx2+2x；
（2）C（2，）；
（3）0≤x≤4．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入yx2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），
∴，
解得，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为yx2+2x；
（2）∵yx2+2x（x﹣2）2，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（3）∵y时，x＝0或4，
根据图象得当y时，0≤x≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
20．【答案】y＝（x﹣4）2﹣11．
【分析】根据配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣8x+5＝（x2﹣8x+16）﹣16+5＝（x﹣4）2﹣11，
所以y＝（x﹣4）2﹣11，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣11．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
21．【答案】（1）y＝3x2﹣1；
（2）y＝﹣x2+1．
【分析】（1）把（1，2）代入解析式求出a即可；
（2）根据二次函数的性质易得a＝﹣1，c＝1，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝2，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣1；
（2）因为抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，
所以a＝﹣1，
而抛物线y＝ax2+c的顶点为（0，1），则c＝1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）对称轴为直线x＝1，顶点D的坐标为（1，4）．
【分析】（1）由题意设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），代入点B（0，3）求得a的值即可得解；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点D的坐标即可．
【解答】解：（1）由题意设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入点B（0，3）得，3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点D的坐标为（1，4）．
【点评】本题主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．【答案】（1）y＝x2﹣4x+2；y＝x2﹣2；
（2）n＜﹣2．
【分析】（1）将（2m+1，7）代入 y＝x2﹣（m+2）x+m 求出m，即可求出答案；
（2）当m＞0时，求得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2，解方程得到抛物线与x轴交点坐标为（2，0），（2，0），当直线 y＝x+n 与抛物线 y＝x2﹣4x+2 只有1个公共点时，根据Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，得到n，于是得到结论．
【解答】解：（1）已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上，
∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，
解得m＝2 或 m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2；
（2）当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2
令 y＝x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（2，0），（2，0），
如图，当直线y＝x+n经过（2，0）时，20，
解得n＝﹣2，
当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，
于是得到x2﹣4x+2＝x+n，
整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0，
∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n，
∴n的取值范围是n＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
24．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）9．
【分析】（1）直接把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中求出a，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）根据题意得到x的范围为﹣2≤x≤2，再分别计算出x＝2和x＝﹣2所对应的函数值，则根据二次函数的性质得到对应的y的范围，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵点P（x，y）到y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤x≤2，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5；x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；x＝1时，y有最小值﹣4，
∴当﹣2≤x≤2时，﹣4≤y≤5，
即n＝﹣4，m＝5，
∴m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
25．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出二次函数图象的对称轴，根据抛物线性质可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝ax2+2x得：
3＝a+2，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∵1＞0，
∴抛物线y＝x2+2x的开口向上，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求出二次函数解析式．
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