第2章 二次函数（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（b，c）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知抛物线y（1﹣a）x﹣1（a＜0），则它的顶点M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
4．二次函数y＝﹣x2+x图象的开口方向（　　）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．
C．y＝2x2﹣1 D．
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④若点（﹣3，m），（5，n）在抛物线上，则m＝n，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知抛物线y＝ax2﹣2x﹣3a的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，﹣3），其中x1＜﹣1＜x2＜3，则下列说法错误的是（　　）
A．y1＞y2
B．抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
C．当x＞1，y的值随x值的增大而增大
D．此抛物线向上平移3个单位后与坐标轴有3个交点
8．将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　）
A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝x2﹣3 D．y＝x2+3
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＜0；④4ac﹣b2＞8a；⑤a≤﹣1，其中，结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．抛物线y＝x2经过变换后，得到抛物线y＝x2﹣2，则这个变换方式可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+1与y轴的交点坐标是 　 　．
12．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒） 　 　．
13．已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 　 　；
（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 　 　．（用含a的代数式表示）
14．若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是 　 　．
15．二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象的顶点坐标是 　 　．
三．解答题（共9小题）
16．若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（2，3）．
①求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
②若点（x，2）在抛物线上，求a的取值范围；
（2）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上的两点，若存在实数t，对任意的t≤x1＜x2≤t+2，都有|y1﹣y2|≤4，直接写出a的取值范围．
18．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴于点B，交y轴于点C，直线经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，PD∥AC交y轴于点D，若设线段PD的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AD，点E为抛物线上第四象限上一点，AD＝AE，连接CE交x轴于点F，若∠ACE+∠ADE＝180°，求点P的横坐标．
19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线与直线AB交于点．点D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．二次函数y＝﹣x2+（x﹣1）a+x，其中a为实数．
（1）判断点（1，0）是否在该抛物线上；
（2）求该二次函数顶点的纵坐标；（用含a的代数式表示）
（3）若将该二次函数y＝﹣x2+（x﹣1）a+x图象向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为 　 　．（直接写出答案）
23．掷实心球是2024年郑州市高中阶段学校招生体育考试的抽考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球的行进路线是—条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处．
（1）求y关于x的函数表达式（不写x的取值范围）；
（2）根据郑州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.4m时，此项考试得分为满分10分，请判断该男生在此项考试中是否能得满分，并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值；
（2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值；
（3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．求d关于m的函数解析式．
第2章 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】二次函数开口向上，则二次项系数大于0，与y轴交于负半轴，则常数项小于0，再根据第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x＞0，
∴a＞0，c＜0，b＜0，
∴点P（b，c）所在的象限是第三象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，判断点所在的象限，数形结合是解答本题的关键．
2．【答案】A
【分析】利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，然后求得Δ＞0，即可判断顶点M一定在第一象限．
【解答】解：∵抛物线y（1﹣a）x﹣1（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x，
∵a＜0，
∴0，
∴对称轴在y轴的右侧，
∵Δ＝（1﹣a）2﹣41+a2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴顶点M一定在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，判断出抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个交点是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题．
【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是y＝（x+1）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．【答案】A
【分析】根据二次函数的系数即可选择．
【解答】解：由二次函数y＝﹣x2+x，可知﹣1＜0，
∴二次函数y＝﹣x2+x图象的开口方向向下，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．【答案】C
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：y是x的二次函数的是y＝2x2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量．
6．【答案】C
【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
【解答】解：①∵对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③由图象得，与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
故③正确；
④∵点（﹣3，m），（5，n）在抛物线上，则m＝n，
故④正确；
其中正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．
7．【答案】D
【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后用函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵点C（0，﹣3）在二次函数y＝ax2﹣2x﹣3a的图象上，
∴﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵x1＜﹣1＜x2＜3，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
故A正确，不符合题意；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＞1，y的值随x值的增大而增大，
故B，C正确，不符合题意；
将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线解析式为y＝x2﹣2x，
∴新抛物线过原点，
∴新抛物线与坐标轴有2个交点，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、平移的性质和二次函数的性质，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键．
8．【答案】C
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律：上加下减是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵01，
又∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝2，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵2，
而a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，所以④错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．
∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1，所以⑤错误；
故选：A．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
10．【答案】D
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解答】解：y＝x2的顶点坐标是（0，0）．
y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2）．
所以将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度得到抛物线y＝x2﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
二．填空题（共5小题）
11．【答案】（0，﹣2）．
【分析】依据题意，计算出自变量为0对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3（x﹣1）2+1＝﹣3×（0﹣1）2+1＝﹣2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要能借助二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行运算是关键．
12．【答案】2．
【分析】根据球弹起后又回到地面时h＝0，得到0＝10t﹣5t2，解方程即可得到答案．
【解答】解：球弹起后又回到地面时h＝0，即0＝10t﹣5t2，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝2，
∴球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．【答案】（1）﹣4；
（2）m．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可求得答案；
（2）联立可得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，整理为x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，由根的判别式得Δ＜0，直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，由a＞0，得点M在点N上方，根据题意可得：M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），即可得出MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，可得对称轴为m，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣4＝（x﹣a）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣4），
∴抛物线顶点的纵坐标是﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）联立抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与线y＝﹣x﹣5得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，
整理得x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，
∴Δ＝[﹣（2a﹣1）]2﹣4×1×（a2+1）＝﹣4a﹣3，
∵a＞0，
∴Δ＝﹣4a﹣3＜0，
∴直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，
∵a＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4开口向上，
∴点M在点N上方，
∵点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，
∴M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），
∴MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，
∴对称轴为m，
∴当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是m．
故答案为：m．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根的判别式等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．【答案】a＞0．
【分析】由二次函数y＝ax2的图象开口向上，即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，
∴a＞0，
故答案为：a＞0．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握开口方向是解题的关键．
15．【答案】（3，1）．
【分析】根据顶点式直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
三．解答题（共9小题）
16．【答案】（1）k＝﹣1；
（2）“依赖系数”k＝﹣3；
（3）．
【分析】（1）两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，则2+2k＝4+4k，即可求解；
（2）由y＝2ax2+x+m，则y1﹣y2＝2a（）+（x1﹣x2）＝k（x1﹣x2），进而求解；
（3）由DA＝DC得到A（﹣3m，0），求出 F（x3，0），而D是CE的中点，则点E在圆D上，即可求解．
【解答】解：（1）∵两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，
∴2+2k＝4+4k，
∴k＝﹣1；
（2）∵抛物线1：y＝2ax2+x+m 与抛物线2：y＝ax2﹣x＝n相交于 A（x1，y1），B （x2，y2） 两点，
∴y1＝kx1＝y2＝kx2．
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y＝2ax2+x+m，
则y1﹣y2＝2a（）+（x1﹣x2）＝k（x1﹣x2），
∵x≠x，
∴2a（x1+x2）+1＝k，
联立抛物线1和2得：ax2+x+m＝ax2﹣x﹣n，
∴ax2+2x+m+n＝0 的两根为x1和x2，
，
∴k＝﹣3；
（3）∵抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n的交点A（x1，y1）在x轴上，
∴y＝2x1+m＝0，
∴，
∴，
∵DA＝DC，D（0，﹣n），C（0，m），
∴，
∴4m2+7mn﹣2n2＝0，
∴n＝4m 或 ．
∴当 时，A（0，0），
则 m＝0，
∵m≠0，
∴n＝4m，
∴A（﹣3m，0），
∴直线AB：y＝﹣3x﹣9m，
∴E（0，﹣9m），
∴18am2﹣3n+m＝0，
∴，即 ，
设F（x3，0），
则
∴x3＝12m，
∵D（0，﹣4m），C（0，m），
∴D是CE的中点，
∴CE为圆D的直径，点E在圆D上，
∠EGC＝90°，
∴∠ECG＝∠OFE
∴．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识、新定义等，有一定的综合性，难度适中．
17．【答案】（1）①（1，﹣a+3）；②a≥l或a＜0；（2）﹣1≤a≤1．
【分析】（1）①把点（2，3）代入y＝ax2+bx+3（a≠0），可得a，b之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标；
②分两种情况讨论，即a＞0或a＜0两种情况，与顶点的纵坐标对比，列不等式即可；
（2）由函数的对称性可得当x1，x2在对称轴同一侧时，且x2﹣x1＝2时，|y1﹣y2|取最大值，根据抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为x＝0，则b＝0，根据题意可得|y1﹣y2|＝|4a|≤4，即可解答．
【解答】解：（1）①把点（2，3）代入y＝ax2+bx+3（a≠0），
可得3＝4a+2b+3，
可得2a＝﹣b，
则抛物线的顶点横坐标为1，
当x＝1时，y＝a+b+3＝a﹣2a+3＝﹣a+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+3）．
②当a＞0时，可得﹣a+3≤2，
解得a≥l，
∴a≥1，
当a＜0时，可得﹣a+3≥2，
解得a≤l，
∴a＜0
综上所述，a≥l或a＜0．
（2）由t≤x1＜x2≤t+2可得x2﹣x1≤2，
由函数的对称性可得当x1，x2在对称轴同一侧时，且x2﹣x1＝2时，|y1﹣y2|取最大值，
由于抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为x＝0，则b＝0，
则可得|y1﹣y2|＝|aa|＝|a（x1+x2）（x1﹣x2）|＝|2a（x1+x2）|≤4，
当x1＝0或x2＝0时，|x1+x2|取最小值为2，当最小值存在时，则存在实数t符合条件，
则|y1﹣y2|＝|4a|≤4，
解得：﹣1≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象上点的坐标特征，学会结合函数图象和性质进行作答是解题的关键．
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）点P的横坐标是．
【分析】（1）先求出点A（﹣3，0），C（0，4），再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，过点P作PK⊥y轴于点K，再求出，即可求出答案；
（3）过点D作DM⊥AC交CA延长线于点M，DN⊥CE于点N，证明△DMA≌△DNE（AAS），得到DM＝DN，再求出F（3，0），待定系数法求出直线CF的解析式为．联立与求出点，设点D（0，m），过点E作EQ⊥OD于点Q，则，根据AD2＝OA2+OD2，DE2＝EQ2+DQ2求得，则，由 求出t的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4经过A，C两点，
∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A、点C的坐标为：A（﹣3，0），C（0，4），
抛物线y＝ax2﹣ax+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴于点B，交y轴于点C，把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣ax+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵OC＝4，OA＝3，
∴AC＝5，
∴，
过点P作PK⊥y轴于点K，如图2，
∴PK＝t，
∵PD∥AC，
∴∠CDP＝∠ACO，
∴，
∴；
（3）过点D作DM⊥AC交CA延长线于点M，DN⊥CE于点N，如图3，
∴∠DMA＝DNE＝90°，
∵四边形ADEC的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠ACE+∠ADE＝180°，
∴∠CAD+∠CED＝180°，
∵∠CAD+∠MAD＝180°，
∴∠CED＝∠MAD，
∵AD＝DE，
∴△DMA≌△DNE（AAS），
∴DM＝DN，
∴CD平分∠ACF，
∵CO⊥AF，
∴CA＝CF，
∴OF＝OA＝3，
∴F（3，0），
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CF的解析式为．
联立与组成方程组得：
，
解得x1＝0，x2＝5，
∴，
设点D（0，m），过点E作EQ⊥OD于点Q，
∴，
∴AD2＝OA2+OD2，DE2＝EQ2+DQ2，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
∴点P的横坐标是．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和正确添加辅助线是解题的关键．
19．【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）见解答；
（3）﹣1≤y＜3．
【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当1＜x＜4时对应的y的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图形上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
20．【答案】（1）yx2x+2；
（2）设存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO，点P的横坐标为．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明∠H＝∠CAO，则tanH＝tan∠CAO，由PH＝OP，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）设存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO，理由如下：
延长DP到H，设PH＝OP，连接OH，如图：
∵PH＝OP，
∴∠H＝∠POH，
∴∠OPD＝∠H+∠POH＝2∠H，
∵∠OPD＝2∠CAO，
∴∠H＝∠CAO，
∴tanH＝tan∠CAO，
∴，
∴DH＝2OD，
设P（t，t2t+2），则OD＝﹣t，PDt2t+2，
∴DH＝2OD＝﹣2t，
∴PH＝DH﹣PD＝﹣2t﹣（t2t+2）t2t﹣2，
∵PH＝OP，
∴t2t﹣2，
∴（t2﹣t﹣2）2﹣（t2+t﹣2）2＝t2，
解得t＝0（舍去）或（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
21．【答案】（1）；
（2）存在，点Q的坐标为（1，1）或或（5，3）．
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求得点C、D坐标以及直线AB的解析式，根据平行四边形的性质得到PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3，设，则，由解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意，将点代入中，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形．
由得顶点D坐标为，
设直线AB的解析式为y＝kx+t，
将点代入，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
当x＝2时，，∴，
∴，
∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，CD在抛物线对称轴上，
∴PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3，
由题意，设，则，
∴，
∴①或②，
解①得m＝1或m＝2（舍去），则Q（1，1）；
解②得m＝﹣2或m＝5，则或Q（5，3），
综上，符合条件的Q坐标为（1，1）或或（5，3）．
【点评】本题是二次函数与几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平行四边形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．求解距离时注意绝对值符号的运用．
22．【答案】（1）点（1，0）在抛物线上；
（2）顶点纵坐标为；
（3）﹣3．
【分析】（1）把（1，0）代入抛物线解析式进行验证即可；
（2）按照顶点坐标公式求值即可；
（3）根据平移的性质得出平移后抛物线顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣12+（1﹣1）a+1＝0，
∴点（1，0）在抛物线上；
（2）y＝﹣x2+（x﹣1）a+x＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
∴顶点纵坐标：；
（3）∵将该二次函数y＝﹣x2+（x﹣1）a+x图象向下平移3个单位长度，
∴所得抛物线顶点纵坐标为3（a﹣1）2﹣3，
∵0，
∴所得抛物线顶点纵坐标的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质．
23．【答案】（1）；
（2）该男生在此项考试中能得满分，理由见解析．
【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣5）2+4．把代入即可求解；
（2）计算y＝0时的自变量的值，即可进行判断．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣5）2+4．
把代入表达式得：，
解得．
∴．
（2）该男生在此项考试中能得满分．理由如下：
令y＝0，即，
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
∵12＞11.4，
∴该男生在此项考试中能得满分．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法是解题关键．
24．【答案】（1）b＝2，c＝3；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F，先证明△PAE≌△DPF（AAS），得PE＝DF，根据P（m，﹣m2+2m+3），表示出点D的横坐标，根据直线l的解析式为x＝1，点D在直线l上，则m2﹣m﹣3＝1，且点P在直线l的右侧时，即1＜m＜3，得出m的值；
（3）先根据待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再分当﹣1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧两种情况讨论．
【解答】解：（1）b＝2，c＝3；理由如下：
抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
故b＝2，c＝3；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F，
∴∠PEA＝∠F＝90°，
∵PD⊥PA，PA＝PD，
∴∠PAE+∠APE＝90°，∠DPF+∠APE＝90°，
∴∠PAE＝∠DPF，
∴△PAE≌△DPF（AAS），
∴PE＝DF，
∵P（m，﹣m2+2m+3），A（﹣1，0），
∴PE＝DF＝﹣m2+2m+3，点D的横坐标为m﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣m﹣3，
直线l的解析式为x＝1，点D在直线l上，
∴m2﹣m﹣3＝1，且点P在直线l的右侧时，即1＜m＜3，
∴；
（3）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
x＝0时，y＝3，即C（0，3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得：，
故直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
y＝﹣x+3＝﹣m2+2m+3时，x＝m2﹣2m，即Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），
当﹣1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，d＝PQ＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m；
当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧，d＝PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m；
故．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是运用分类讨论的思想方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)