第3课时 用“SSS”判定三角形全等
知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等
1如图,下列三角形中,与△ABC全等的是(C)
A.① B.② C.③ D.④
2如图,已知AB=AD,根据“SSS”只需补充条件 DC=BC 就可以判定△ABC≌△ADC.
练易错 对两个全等三角形用文字语言描述时,需要对对应字母进行分类讨论
3如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,在方格的格点中找出符合条件的P点(不与点A,B,C重合),则点P有 3 个.
4已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC,试说明∠B=∠E.
解:∵AF=DC(已知),
∴AF-CF=DC- CF ,
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌ △DEF (SSS),
∴∠B= ∠E (全等三角形的对应角相等).
5 (2025·唐山期中)如图所示,A,D,B,E四点在同一条直线上,若
AD=BE,AC=DF,BC=EF,
求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)∠E+∠CBE=180°.
【证明】(1)∵AD=BE,∴AD+DB=BE+DB,即AB=DE,在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(SSS);
(2)由(1)可知,△ABC≌△DEF,
∴∠CBA=∠E,
∵A,D,B,E四点在同一条直线上,
∴∠CBA+∠CBE=180°,
∴∠E+∠CBE=180°.
6 (2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】(1)∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
知识点2 “SSS”的实际应用
7我国传统工艺中,油纸伞(如图1)制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.图2是撑开的油纸伞的截面示意图,已知AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△ AFG ,其依据是 SSS .
8新趋势·数学文化徐光启是中国明代数学家,他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作.《几何原本》第Ⅰ卷命题9:“一个角可以切分为两个相等的角”,即作一个已知角的平分线.欧几里得给出以下的作图法:如图,在AB和AC上分别取点D和E,使AE=AD,连接DE,以DE为一边作等边△DEF,连接AF,则射线AF平分∠BAC.此法的关键是得到△ADF≌△AEF,进而得出∠FAB=∠FAC.这里判断△ADF≌△AEF的依据是 (A)
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
9两组邻边分别相等的四边形叫做筝形,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积=AC·BD;④AO=OC.其中正确的有(A)
A.4个 B.1个
C.2个 D.3个
10[教材再开发·P37例3拓展]如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥BC,正确的为 ①②③④ .(填序号)
11 (2025·张家口质检)如图,C为BE上一点,AB=AC,BE=CD.
(1)请补充条件 ,并用“SSS”证明△ABE≌△ACD;
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=40°,求∠DAE的度数;
(3)在(1)的条件下,求证:∠DCE=∠BAC.
【解析】(1)补充:AE=AD,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(SSS).
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠BAE=∠CAD.
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠CAD=∠DAE+∠CAE,
∴∠DAE=∠BAC=40°.
(3)∵△ABE≌△ACD,
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC+∠B+∠ACB=∠DCE+∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠DCE=∠BAC.
12推理能力已知AD=CB,E,F是AC上两动点(不与A,C重合),且有DE=BF.
(1)若E,F两点运动到如图①所示的位置,且有AF=CE,试说明:△ADE≌△CBF;
(2)若E,F两点运动到如图②所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗 请说明理由;
(3)若E,F两点不重合,且AF=CE,AD和CB平行吗 请说明理由.
【解析】(1)∵AF=CE,
∴AF+EF=EF+CE,即AE=CF,
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(2)成立.
理由:∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)平行.
理由如下:∵△ADE≌△CBF,∴∠A=∠C,
∴AD∥BC.第2课时 用“ASA”“AAS”判定三角形全等
知识点1 用“ASA”证明两个三角形全等
1 (2025·连云港质检)如图,小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形,那么小明画图的依据是 ASA .
2(2025·天津期末)如图,已知点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD=60°,AB=CE,求证:BC=DE.
【证明】∵∠B=∠ACD=60°,
∴∠BAC+∠ACB=120°,∠ACB+∠DCE=120°,
∴∠BAC=∠DCE.
∵AB=CE,∠B=∠E,
∴△ABC≌△CED(ASA),
∴BC=ED.
知识点2 用“AAS”证明两个三角形全等
3下列各图中a,b,c为△ABC的边长,根据图中标注数据,判断甲、乙、丙、丁四个三角形和△ABC不一定全等的是 (A)
4已知:如图,点D为线段BC上一点,BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC.求证:DE=BC.
【证明】∵DE∥AC,∴∠EDB=∠C,
在△BDE和△ACB中,,
∴△BDE≌△ACB(AAS),
∴DE=BC.
知识点3 “ASA”与“AAS”的实际应用
5如图,为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离,在与B点同侧的河岸上选择了一点C,测得∠ABC=65°,∠ACB=30°,再在M处立了标杆,使∠CBM=65°,∠MCB=30°,测得MB的长是15米,则A,B两点间的距离为 (B)
A.10米 B.15米
C.20米 D.30米
6新趋势·实践探究如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案,下列说法不正确的是 (D)
①先确定直线AB,过点B作BF⊥AB;
②在BF上取C,D两点,使得△;
③过点D作DE⊥BF;
④作射线□,交DE于点M;
⑤测量☆的长度,即AB的长.
A.△代表BC=CD B.□代表AC
C.☆代表DM D.该方案的依据是AAS
7如图,已知∠CAB=∠DAB,则下列:①∠C=∠D;②AC=AD;③∠CBA=∠DBA;④BC=BD条件中,不能判定△ABC≌△ABD的是(D)
A.① B.② C.③ D.④
8如图,将两块相同的三角尺(含30°角)按图中所示位置摆放,若BE交CF于点D,AC交BE于点M,AB交CF于点N,则下列结论中错误的是 (D)
A.∠EAC=∠FAB B.CM=BN
C.△ACN≌△ABM D.FN=DN
9如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为 (-4,0),(-2,0),(4,0) 时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.
10[教材再开发·P46T17拓展]如图,△ABC中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)若∠B=∠ACB,CE=3,CF=4,求BD的长.
【解析】(1)∵CF∥AB,∴∠FCE=∠DAE.
∵E是边AC的中点,∴AE=CE,
又∵∠AED=∠CEF,
∴△AED≌△CEF(ASA),
∴AD=CF.
(2)∵E是边AC的中点,∴AC=2CE=6.
∵∠B=∠ACB,
∴AB=AC=6.
由(1)知AD=CF=4,
∴BD=AB-AD=6-4=2.
11推理能力、几何直观如图所示,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,请问,线段AB,DC和线段BC有何大小关系 并说明理由.
【解析】BC=AB+DC.
理由:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°,
在△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,
在△DCE中,∠EDC+∠DEC=90°,
∵∠BEA+∠DEC=90°,
∴∠BEA=∠CDE,
在△ABE和△ECD中,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AB=EC,BE=CD,
∴BC=BE+EC=DC+AB.第2课时 用“ASA”“AAS”判定三角形全等
知识点1 用“ASA”证明两个三角形全等
1 (2025·连云港质检)如图,小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形,那么小明画图的依据是 .
2(2025·天津期末)如图,已知点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD=60°,AB=CE,求证:BC=DE.
知识点2 用“AAS”证明两个三角形全等
3下列各图中a,b,c为△ABC的边长,根据图中标注数据,判断甲、乙、丙、丁四个三角形和△ABC不一定全等的是 ( )
4已知:如图,点D为线段BC上一点,BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC.求证:DE=BC.
知识点3 “ASA”与“AAS”的实际应用
5如图,为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离,在与B点同侧的河岸上选择了一点C,测得∠ABC=65°,∠ACB=30°,再在M处立了标杆,使∠CBM=65°,∠MCB=30°,测得MB的长是15米,则A,B两点间的距离为 ( )
A.10米 B.15米
C.20米 D.30米
6新趋势·实践探究如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案,下列说法不正确的是 ( )
①先确定直线AB,过点B作BF⊥AB;
②在BF上取C,D两点,使得△;
③过点D作DE⊥BF;
④作射线□,交DE于点M;
⑤测量☆的长度,即AB的长.
A.△代表BC=CD B.□代表AC
C.☆代表DM D.该方案的依据是AAS
7如图,已知∠CAB=∠DAB,则下列:①∠C=∠D;②AC=AD;③∠CBA=∠DBA;④BC=BD条件中,不能判定△ABC≌△ABD的是( )
A.① B.② C.③ D.④
8如图,将两块相同的三角尺(含30°角)按图中所示位置摆放,若BE交CF于点D,AC交BE于点M,AB交CF于点N,则下列结论中错误的是 ( )
A.∠EAC=∠FAB B.CM=BN
C.△ACN≌△ABM D.FN=DN
9如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为 时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.
10[教材再开发·P46T17拓展]如图,△ABC中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)若∠B=∠ACB,CE=3,CF=4,求BD的长.
11推理能力、几何直观如图所示,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,请问,线段AB,DC和线段BC有何大小关系 并说明理由.第3课时 用“SSS”判定三角形全等
知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等
1如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2如图,已知AB=AD,根据“SSS”只需补充条件 就可以判定△ABC≌△ADC.
练易错 对两个全等三角形用文字语言描述时,需要对对应字母进行分类讨论
3如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,在方格的格点中找出符合条件的P点(不与点A,B,C重合),则点P有 个.
4已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC,试说明∠B=∠E.
5 (2025·唐山期中)如图所示,A,D,B,E四点在同一条直线上,若
AD=BE,AC=DF,BC=EF,
求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)∠E+∠CBE=180°.
6 (2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
知识点2 “SSS”的实际应用
7我国传统工艺中,油纸伞(如图1)制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.图2是撑开的油纸伞的截面示意图,已知AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△ ,其依据是 .
8新趋势·数学文化徐光启是中国明代数学家,他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作.《几何原本》第Ⅰ卷命题9:“一个角可以切分为两个相等的角”,即作一个已知角的平分线.欧几里得给出以下的作图法:如图,在AB和AC上分别取点D和E,使AE=AD,连接DE,以DE为一边作等边△DEF,连接AF,则射线AF平分∠BAC.此法的关键是得到△ADF≌△AEF,进而得出∠FAB=∠FAC.这里判断△ADF≌△AEF的依据是 ( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
9两组邻边分别相等的四边形叫做筝形,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积=AC·BD;④AO=OC.其中正确的有( )
A.4个 B.1个
C.2个 D.3个
10[教材再开发·P37例3拓展]如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥BC,正确的为 .(填序号)
11 (2025·张家口质检)如图,C为BE上一点,AB=AC,BE=CD.
(1)请补充条件 ,并用“SSS”证明△ABE≌△ACD;
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=40°,求∠DAE的度数;
(3)在(1)的条件下,求证:∠DCE=∠BAC.
12推理能力已知AD=CB,E,F是AC上两动点(不与A,C重合),且有DE=BF.
(1)若E,F两点运动到如图①所示的位置,且有AF=CE,试说明:△ADE≌△CBF;
(2)若E,F两点运动到如图②所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗 请说明理由;
(3)若E,F两点不重合,且AF=CE,AD和CB平行吗 请说明理由.第5课时 用“HL”判定直角三角形全等
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1如图,已知在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ( )
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC D.OB=OD
2如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= ( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
3如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .
4已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
知识点2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ( )
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
6 (2024·镇江中考)如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD.
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °.
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
7新课标·社会主义先进文化杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 米.
8两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是 ( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过点E作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,如果AC=3 cm,则AD+DE等于 ( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
10如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
11如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
12几何直观、推理能力如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等 14.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SAS”判定三角形全等
知识点1 应用“SAS”证明两个三角形全等
1根据如图所给信息,可得x= (C)
A.16 B.18
C.20 D.16或18
练易错 用“SAS”判定两个三角形全等时,忽视角必须为夹角
2下列说法正确的是 (D)
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
3如图,AB=AD,AC平分∠BAD,判定△ABC≌△ADC的依据是 SAS .
4如图,已知AB=AD,AC=AE,请添加一个条件 ∠BAC=∠DAE或∠BAD=∠CAE ,能使用“SAS”判定△ABC≌△ADE.
5(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
【证明】∵点E为边AC的中点,
∴AE=EC.∵DE=EF,∠AED=∠CEF,
∴△AED≌△CEF(SAS),
∴∠DAE=∠FCE,∴CF∥AB.
知识点2 “SAS”的实际应用
6 [教材再开发·P34练习T1变式]如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
【解析】∵AC=BD,OA=OD,
∴AC-OA=BD-OD,即OC=OB.
在△COD和△BOA中,,
∴△COD≌△BOA(SAS),∴CD=AB.
∵△COD的周长为103 m,
∴OC+OD+CD=OC+OA+CD=103 m,
即AC+CD=103 m.
∵AC=55 m,∴CD=48 m,∴AB=48 m.
7在校内劳动课上,小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架.已知点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,AB=DE,BF=EC.若△ABC的周长为24 cm,FC=3 cm,则制作该风筝框架需用材料的总长度至少是多少
【解析】∵BF=EC,BC=BF+FC,EF=EC+CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴C△DEF=C△ABC=24 cm.
∵CF=3 cm,∴制作该风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45(cm).故制作该风筝框架需用材料的总长度至少是45 cm.
8(2025·大连质检)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等 (C)
A.BE B.AE C.DE D.DP
9(2025·广州质检)如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD和△ACD的面积相等;②∠BAD=∠CAD;③BF∥CE;④CE=AE.其中正确的有 (B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A= 72° .
11 (2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
12几何直观、抽象能力两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(注意:结论中不得含有未标识的字母);
(2)请判断DC与BE的位置关系,并证明;
(3)若CE=2,BC=4,求△DCE的面积.
【解析】(1)△ABE≌△ACD.理由:
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)DC⊥BE.设AE,CD交于点F.如图,
∵△ABE≌△ACD,∴∠AEB=∠ADC.
∵∠ADC+∠AFD=90°,∴∠AEB+∠AFD=90°.
∵∠AFD=∠CFE,∴∠AEB+∠CFE=90°,
∴∠FCE=90°,∴DC⊥BE.
(3)∵CE=2,BC=4,∴BE=6.∵△ABE≌△ACD,∴CD=BE=6,∴S△DCE=CE·CD=×2×6=6.第5课时 用“HL”判定直角三角形全等
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1如图,已知在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 (A)
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC D.OB=OD
2如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= (B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
3如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 AB=DC或AC=DB .
4已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
【证明】∵DE=BF,
∴DE+EF=BF+EF,
∴DF=BE;
在Rt△ADF和Rt△CBE中,
∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL),
∴AF=CE.
知识点2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (D)
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
6 (2024·镇江中考)如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD.
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °.
【解析】(1)在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)∵∠DAB=70°,∠D=90°,
∴∠DBA=90°-70°=20°,
由(1)知△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA=20°.
答案:20
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
7新课标·社会主义先进文化杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 20 米.
8两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是 (A)
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过点E作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,如果AC=3 cm,则AD+DE等于 (B)
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
10如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 5或10 时,△ABC和△PQA全等.
11如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
【解析】∵∠CMD=90°,
∴∠CMA+∠DMB=90°,
又∵∠CAM=90°,∴∠CMA+∠ACM=90°,∴∠ACM=∠DMB,
在△ACM与△BMD中,
∴△ACM≌△BMD(AAS),
∴AC=BM=3 m,
∴AM=AB-BM=12-3=9(m),
∴这个人的行走时间为9÷0.5=18(s).
答:这个人行走了18 s.
12几何直观、推理能力如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等
【解析】①当P运动到AP=BC时,△ABC和△QPA全等,
∵∠C=∠QAP=90°,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当P运动到与C重合,即AP=AC时,△ABC和△QPA全等;
∵在Rt△ABC和Rt△PQA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综合上述,当P运动到AP=BC或点P与C重合时,△ABC和△QPA全等.第4课时 尺规作图
知识点1 作一个角等于已知角
1(2025·温州期中)如图,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是 ( )
A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧
B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧
C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧
D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧
2如图,已知∠MAN=55°,点B为AN上一点,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AN,AM于点D,E,以点B为圆心,以AD长为半径作弧,交线段AB于点F,以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G,连接BG并延长交AM于点C,则∠BCM的度数是 .
知识点2 作角的和差
3已知∠α和∠β,作一个角等于∠α+2∠β.(保留作图痕迹,不必写作法)
知识点3 作平行线
4如图1,图2,点C是∠AOB上一点,利用尺规过点C作CN∥OA,下列说法错误的是( )
A.图1的原理是同位角相等,两直线平行
B.图1中以点E为圆心,以MD为半径作弧,得到弧FG
C.图2的原理是两直线平行,内错角相等
D.图2中以点C为圆心,以OM为半径作弧,得到弧NE
5尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
已知:如图,点D是三角形ABC边AB上一点.
求作:点E,使DE∥BC,DE=DB.(找到满足条件的一个点E即可)
知识点4 作三角形
6如图,已知△ABC,用尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF,请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是 ( )
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
7已知∠α和线段a,用尺规作△ABC,使∠A=2∠α,AB=2a,∠B=3∠α,作法如下:(1)在AN上截取AB=2a,(2)作∠MAN=2∠α,(3)以B为圆心,BA为一边作∠ABE=3∠α,BE交AM于点C.△ABC就是所求作的三角形.则正确的作图顺序是 .(只填序号)
8如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠BCD=∠AOB.以下是排乱的作图过程,则正确的作图顺序是 ( )
①以C为圆心,OE长为半径画弧MN,交OB于点M.
②作射线CD,则∠BCD=∠AOB.
③以M 为圆心,EF长为半径画弧,交弧MN于点 D.
④以O为圆心,任意长为半径画弧EF,分别交OA,OB于点E,F.
A.①②③④ B.③②④①
C.④①③② D.④③①②
9(2025·长春期末)下列尺规作图中,不一定能判定直线a平行于直线b的是 ( )
10如图,已知∠AOB,以点O为圆心,以任意长为半径画弧MN,分别交OA,OB于点M,N,再以点N为圆心,以MN长为半径画弧PQ,交弧MN于点C,画射线OC.若∠AOB=31°52'12″,则∠AOC的度数为 度.
11如图,已知AD∥BC,∠B=30°,以D为圆心,适当长为半径画弧,交AD于点M,交BD于点N,再以点M为圆心,MN长为半径画弧,两弧交于点E,过点D作射线DE,则∠NDE= .
12如图,以点B为顶点、射线BC为一边,作∠EBC,使∠EBC=∠A.
13已知:如图,BD是△ABC的角平分线.
(1)在边BC上求作点E,使得DE∥AB(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,请画出∠DEC的平分线EF,点F在CD上,并证明:BD∥EF.
14几何直观、应用意识如图,一艘船在水流的作用下,从A点航行到B点,此时,小明的船在C处,看到B点在他的正北方.
(1)请帮小明的船只,设计一条与航线AB平行的航线.(运用尺规作图,保留作图痕迹)
(2)两河岸直线l,直线a之间的距离知道,但小明想知道航线AB的里程,又不便测量,你能用学习的全等三角形的知识,画图帮他设计吗 并说明你的理由.14.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SAS”判定三角形全等
知识点1 应用“SAS”证明两个三角形全等
1根据如图所给信息,可得x= ( )
A.16 B.18
C.20 D.16或18
练易错 用“SAS”判定两个三角形全等时,忽视角必须为夹角
2下列说法正确的是 ( )
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
3如图,AB=AD,AC平分∠BAD,判定△ABC≌△ADC的依据是 .
4如图,已知AB=AD,AC=AE,请添加一个条件 ,能使用“SAS”判定△ABC≌△ADE.
5(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
知识点2 “SAS”的实际应用
6 [教材再开发·P34练习T1变式]如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
7在校内劳动课上,小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架.已知点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,AB=DE,BF=EC.若△ABC的周长为24 cm,FC=3 cm,则制作该风筝框架需用材料的总长度至少是多少
8(2025·大连质检)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等 ( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
9(2025·广州质检)如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD和△ACD的面积相等;②∠BAD=∠CAD;③BF∥CE;④CE=AE.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A= .
11 (2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
12几何直观、抽象能力两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(注意:结论中不得含有未标识的字母);
(2)请判断DC与BE的位置关系,并证明;
(3)若CE=2,BC=4,求△DCE的面积.第4课时 尺规作图
知识点1 作一个角等于已知角
1(2025·温州期中)如图,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是 (D)
A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧
B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧
C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧
D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧
2如图,已知∠MAN=55°,点B为AN上一点,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AN,AM于点D,E,以点B为圆心,以AD长为半径作弧,交线段AB于点F,以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G,连接BG并延长交AM于点C,则∠BCM的度数是 110° .
知识点2 作角的和差
3已知∠α和∠β,作一个角等于∠α+2∠β.(保留作图痕迹,不必写作法)
【解析】如图所示,∠AOB=α,∠BOC=2β,
则∠AOC即为所求.
知识点3 作平行线
4如图1,图2,点C是∠AOB上一点,利用尺规过点C作CN∥OA,下列说法错误的是(C)
A.图1的原理是同位角相等,两直线平行
B.图1中以点E为圆心,以MD为半径作弧,得到弧FG
C.图2的原理是两直线平行,内错角相等
D.图2中以点C为圆心,以OM为半径作弧,得到弧NE
5尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
已知:如图,点D是三角形ABC边AB上一点.
求作:点E,使DE∥BC,DE=DB.(找到满足条件的一个点E即可)
【解析】如图所示,点E即为所求;
先过点D作DF∥BC,再以D为圆心,BD的长为半径画弧交DF于E,点E即为所求.
知识点4 作三角形
6如图,已知△ABC,用尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF,请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是 (A)
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
7已知∠α和线段a,用尺规作△ABC,使∠A=2∠α,AB=2a,∠B=3∠α,作法如下:(1)在AN上截取AB=2a,(2)作∠MAN=2∠α,(3)以B为圆心,BA为一边作∠ABE=3∠α,BE交AM于点C.△ABC就是所求作的三角形.则正确的作图顺序是 (2)(1)(3) .(只填序号)
8如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠BCD=∠AOB.以下是排乱的作图过程,则正确的作图顺序是 (C)
①以C为圆心,OE长为半径画弧MN,交OB于点M.
②作射线CD,则∠BCD=∠AOB.
③以M 为圆心,EF长为半径画弧,交弧MN于点 D.
④以O为圆心,任意长为半径画弧EF,分别交OA,OB于点E,F.
A.①②③④ B.③②④①
C.④①③② D.④③①②
9(2025·长春期末)下列尺规作图中,不一定能判定直线a平行于直线b的是 (C)
10如图,已知∠AOB,以点O为圆心,以任意长为半径画弧MN,分别交OA,OB于点M,N,再以点N为圆心,以MN长为半径画弧PQ,交弧MN于点C,画射线OC.若∠AOB=31°52'12″,则∠AOC的度数为 63.74 度.
11如图,已知AD∥BC,∠B=30°,以D为圆心,适当长为半径画弧,交AD于点M,交BD于点N,再以点M为圆心,MN长为半径画弧,两弧交于点E,过点D作射线DE,则∠NDE= 60° .
12如图,以点B为顶点、射线BC为一边,作∠EBC,使∠EBC=∠A.
【解析】如图,∠EBC,∠E'BC为所求.
13已知:如图,BD是△ABC的角平分线.
(1)在边BC上求作点E,使得DE∥AB(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,请画出∠DEC的平分线EF,点F在CD上,并证明:BD∥EF.
【解析】(1)如图所示,点E即为所求;
(2)如图所示,点F即为所求,
∵DE∥AB,∴∠ABC=∠DEC,
∵BD是△ABC的角平分线,EF平分∠DEC,
∴∠DBC=∠ABC,∠FEC=∠DEC,
∴∠DBC=∠FEC,
∴BD∥EF.
14几何直观、应用意识如图,一艘船在水流的作用下,从A点航行到B点,此时,小明的船在C处,看到B点在他的正北方.
(1)请帮小明的船只,设计一条与航线AB平行的航线.(运用尺规作图,保留作图痕迹)
(2)两河岸直线l,直线a之间的距离知道,但小明想知道航线AB的里程,又不便测量,你能用学习的全等三角形的知识,画图帮他设计吗 并说明你的理由.
【解析】(1)如图,CD即为所求.
(2)过点C向正南方向作射线CM,在射线CM上截取CF=BC,在直线l上截取CE=CA,连接EF,则测量EF的长度即为航线AB的里程.理由:
在△ABC和△EFC中,,
∴△ABC≌△EFC(SAS),∴AB=EF.
