第2课时 角的平分线的判定
1用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是 ( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
练易错 出现三角形时,既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论
2如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
3如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,则∠DAC= °.
4如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
6如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:
①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;
④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .
8如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是 .
9(2025·大连质检)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
(1)如图1,若∠A=46°,求∠E的度数;
(2)如图2,过点E作EM⊥BC,EN⊥BA,垂足分别为M,N,若AN=2,CM=4,求AC的长.
10几何直观、推理能力小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是 .
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.第2课时 角的平分线的判定
1用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是 (D)
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
练易错 出现三角形时,既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论
2如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (D)
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
3如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,则∠DAC= 25 °.
4如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
【解析】AD是∠BAC的平分线,理由如下:
∵AB=10,S△ABD=15,DE⊥AB,
∴DE==3,∴DE=CD,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴AD是∠BAC的平分线.
5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
【解析】(1)∵DF⊥AB,∴∠DFA=90°,
∴∠DFA=∠C=90°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴CD=FD,
在△CDE和△FDB中,
∴△CDE≌△FDB(SAS).
(2)∵∠C=90°,∠B=40°,
∴∠BAC=90°-∠B=50°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAC=25°,
∵△CDE≌△FDB,
∴∠CED=∠B=40°,
∴∠ADE=∠CED-∠CAD=40°-25°=15°.
6如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:
①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;
④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= 150° .
8如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是 27 .
9(2025·大连质检)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
(1)如图1,若∠A=46°,求∠E的度数;
(2)如图2,过点E作EM⊥BC,EN⊥BA,垂足分别为M,N,若AN=2,CM=4,求AC的长.
【解析】(1)∵CE平分∠ACD,BE平分∠ABC,
∴∠ACE=∠ECD=∠ACD,
∠ABE=∠CBE=∠ABC,
∵∠BAC=46°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=46°,
∴∠ECD-∠EBD=∠ACD-∠ABC=×46°=23°,
∵∠E=∠ECD-∠EBD,∴∠E=23°;
(2)连接AE,过点E作EF⊥AC于F,
∵BE平分∠ABC,EM⊥BC,EN⊥BA,
∴EM=EN,
同理,EF=EM,
∴EF=EN,
在Rt△FCE和Rt△MCE中,
∴Rt△FCE≌Rt△MCE(HL),
∴CF=CM=4,
同理,AF=AN=2,
∴AC=AF+CF=2+4=6.
10几何直观、推理能力小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是 .
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.
【解析】(1)因为AB⊥OM,AC⊥ON,AB=AC,根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以点A在∠MON的平分线上.
答案:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
(2)OA平分∠MON仍然成立;
证明:如图,过点A作AG⊥OM,AH⊥ON,AG交OM于点G,AH交ON于点H.
∴∠AGB=∠AHC=90°,
又∵∠MON=90°,∴∠GAH=90°,
∴∠GAB+∠BAH=90°,
又∵∠BAC=90°=∠BAH+∠HAC,
∴∠GAB=∠HAC,
在△GAB和△HAC中,
∴△GAB≌△HAC(AAS),∴AG=AH,
又∵AG⊥OM,AH⊥ON,
∴OA平分∠MON.14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
知识点1 用尺规作已知角的平分线及证明
1数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是 ( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
2如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
知识点2 角平分线的性质
3如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是 ( )
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
4如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是( )
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
5如图,OC平分∠AOB,PM=7 cm,∠BOC=30°,则∠AOB= ,PN= .
6如图,已知点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.求证:OB=OC.
7如图,点P是∠ACB的平分线CD上一点,PE⊥BC于点E,点F为射线CA上一点.若PE=6,则PF长的最小值是 ( )
A.4 B.5.5 C.6 D.8
8如图,AD是△BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
9[教材再开发·P53T8拓展]如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF= .
10如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
(2)若AB=21,AD=9,求DF的长.
11创新意识、几何直观在△ABC中,D是BC边的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD= ;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= . 14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
知识点1 用尺规作已知角的平分线及证明
1数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是 (D)
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
2如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
【解析】如图:
知识点2 角平分线的性质
3如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是 (A)
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
4如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是(B)
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
5如图,OC平分∠AOB,PM=7 cm,∠BOC=30°,则∠AOB= 60° ,PN= 7 cm .
6如图,已知点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.求证:OB=OC.
【证明】∵点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,
∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°.
在△BEO和△CDO中,
,
∴△BEO≌△CDO(ASA),∴OB=OC.
7如图,点P是∠ACB的平分线CD上一点,PE⊥BC于点E,点F为射线CA上一点.若PE=6,则PF长的最小值是 (C)
A.4 B.5.5 C.6 D.8
8如图,AD是△BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC的长是 (D)
A.3 B.4 C.6 D.5
9[教材再开发·P53T8拓展]如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF= 6 cm .
10如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
(2)若AB=21,AD=9,求DF的长.
【解析】(1)∵AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,
∴CE=CF,∠BEC=∠F=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),
∴BE=DF.
(2)∵AC平分∠BAF,∴∠EAC=∠FAC,
∵∠AEC=90°,∴∠AEC=∠F,
在△ACE和△ACF中,
∴△ACE≌△ACF(AAS),
∴AE=AF,∴AB-BE=AD+DF,
∵AB=21,AD=9,BE=DF,
∴21-DF=9+DF,
∴DF=6,∴DF的长是6.
11创新意识、几何直观在△ABC中,D是BC边的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= 1∶1 ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD= m∶n ;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= 9 .
